1、精品文档第一部分:坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是
2、平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作M.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极
3、坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1) (2) 过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面
4、直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。
5、应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示,设圆的半径为,点M从初始位置出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动,设M,则。这就是圆心在原点,半径为的圆的参数方程,其中的几何意义是转过的角度。圆心为,半径为的圆的普通方程是,它的参数方程为:。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心,焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为,其中参数称为离心角;焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角,通常规定参数的范围为。注:椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四
6、个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在0到的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当时,相应地也有,在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点为中心,焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为,其中。焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为,其中以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点,倾斜角为的直线的普通方程是而过,倾斜角为的直线的参数方程为。注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点,倾斜角为的直线的参数方程为,其中表示直线上以定点为起点,任一点为终点的有向线段的数量,当点在上方时,0;
7、当点在下方时,0;当点与重合时,=0。我们也可以把参数理解为以为原点,直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系(一)平面直角坐标系中的伸缩变换例在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换(1)求点经过变换所得的点的坐标;(2)点B经过变换得到点,求点的坐标;(3)求直线经过变换后所得到直线的方程;(4)求双曲线经过变换后所得到曲线的焦点坐标。(二)极坐标与直角坐标的互化例2在极坐标系中,如果为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标。(三)求曲线的极坐标方程例已知P,Q分别在AOB的两边OA,OB上,AOB=,POQ的面积为8
8、,求PQ中点M的极坐标方程。(四)极坐标的应用例如图,点A在直线x=4上移动,OPA为等腰直角三角形,OPA的顶角为OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状。二、参数方程(一)把参数方程化为普通方程例已知曲线C:(t为参数), C:(为参数)。(1)化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线(t为参数)距离的最小值。(二)椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求的最大值解答: (三)直线参数方程的应用例过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,求的值及相应的的值。解析:(四)
9、圆的参数方程的应用例已知曲线C的参数方程是为参数),且曲线C与直线=0相交于两点A、B(1)求曲线C的普通方程;(2)求弦AB的垂直平分线的方程(3)求弦AB的长【感悟高考真题】1在极坐标系中,点(2,)到圆 的圆心的距离为( )(A)2 (B) (C) (D) 2在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是( )(A) (B) (C) (D)3在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为,在极坐标系(与直角坐标系xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为的交点个数为_4直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x
10、轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为的交点个数为_5.(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为=,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 .6(2011陕西高考理科T15C)直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:(为参数)和曲线:上,则的最小值为 7(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:(为参数)和曲线:上,则的最小值为 8.(2011.天津高考理科.T11).已知抛物线的参数方程为(为参数)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与圆相切,则=_.
11、9.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和,它们的交点坐标为 .10(2)在直角坐标系xOy中,直线的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为.(I)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l位置关系;(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.11.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线(为参数)平行的直线的普通方程。12.(2011新课标全国高考理科23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数)M
12、是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.13.(2011新课标全国高考文科23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.14.(2011辽宁高考理科23)(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,曲线C2的参数方程为
13、.在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=a与C1,C2各有一个交点当a=0时,这两个交点间的距离为2,当a=时,这两个交点重合(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当a=-时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积15. 极坐标和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(D)A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线16极坐标方程(p-1)()=(p0)表示的图形是(A)两个圆 (B)两条直线 (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线17在极坐标系(,)
14、(00,0)可写为_4过点平行于极轴的直线的极坐标方程是()Acos4 Bsin4 Csin Dcos 答案:C5曲线的参数方程是(t是参数,t0),它的普通方程是()A(x1)2(y1)1 By Cy1 Dy16直线cos2关于直线对称的直线方程为()Acos2 Bsin2 Csin2 D2sin7已知直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的斜率为 ()A1 B1 C. D8直线3x4y90与圆:,(为参数)的位置关系是 ()A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但不过圆心9设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为_10在极坐标系中,直线sin2被圆4截得的弦长为
15、_二、填空题11在极坐标系中,直线截圆2cos(R)所得的弦长是_12直线2x3y10经过变换可以化为6x6y10,则坐标变换公式是_13(皖南八校2011届高三第二次联考)已知平面直角坐标系xOy内,直线l的参数方程式为(t为参数),以Ox为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位),圆C的极坐标方程为,则直线l的圆C的位置关系是 。14.已知曲线的参数方程为,分别以t和为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 .15.已知2x2+3y2-6x=0 (x,yR),则x2+y2的最大值为 .16.从极点O作直线与另一直线lcos=4相交于点M,在OM上取一点P,使OMOP=12,则点P的轨迹
16、方程为 .三、解答题17在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r3,(1)求圆C的极坐标方程;(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且|OQ|QP|32,求动点P的轨迹方程18在极坐标系中,直线l的极坐标方程为(R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。欢迎您的下载,资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习资料等等打造全网一站式需求12欢迎下载。