1、3 高斯定理高斯定理3 高斯定理高斯定理一一.线和线和 线密度线密度EE1.线上任一点的切线方向表示该点处线上任一点的切线方向表示该点处 的方向；的方向；2.垂直于垂直于 的单位面积内穿过的的单位面积内穿过的 线数正比于线数正比于 的大小。的大小。EEEEEq 线规则线规则:E【注注】：实际按一定比例取整。：实际按一定比例取整。3 高斯定理高斯定理q 线性质线性质:E1.线始于线始于“+q”或或 远处，远处，止于止于“-q”或或 远处；远处；2.任意两条任意两条 线不相交；线不相交；3.静电场中，静电场中，线不形成闭合线。线不形成闭合线。EEE1.穿过面元穿过面元S的电通量的电通量SESEec
2、os2.穿过有限大曲面穿过有限大曲面 S 的电通量的电通量 eSdESEsiiiSe0lim3.闭合曲线面闭合曲线面 S 的电通量的电通量seSdE二二.线的线的通量通量EiSnE电通量电通量ES1)A点点,90 0,e 为负为负(入入)。【约定约定】：闭面外法线为正，则：闭面外法线为正，则 【例如例如】：nEBEnA 闭面的电通量闭面的电通量3 高斯定理高斯定理E线穿出闭面通量为正；线穿出闭面通量为正；E线穿入闭面通量为负。线穿入闭面通量为负。三三.高斯定理高斯定理1.穿过以点电荷穿过以点电荷 q 为中为中心的球面的电通量心的球面的电通量如图如图1.16,设球面设球面 S 的的半径为半径为
3、r，S 面上各处面上各处dSrqSdEde204120d4SSrq首先讨论穿过闭合曲面首先讨论穿过闭合曲面 的通量。的通量。E穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0E,420rqE处处沿处处沿 S 面法向，面法向，1SeedSrqSd412022044rrq,0qe即穿过以穿过以q为为中心的球面的电通量中心的球面的电通量E+qSEndSdS”dS”Sq穿过包围穿过包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量 dSr立体角立体角d 定义为定义为222cosdsdsdsdrrr2 r dsdrdsdsn2.穿过包围点电荷穿过包围点电荷 q 任意闭面的电通
4、量任意闭面的电通量SESEecosddd在闭面在闭面S 内作一以内作一以 q为中心的任意半径的球面为中心的任意半径的球面S”，见下图。，见下图。由由1.的结论可知，穿过的结论可知，穿过S”的电通量为的电通量为 q/0，元立体角元立体角d 内的电通量为内的电通量为200d44qdsqr将将d 锥面延长，在闭面锥面延长，在闭面S 上截出一面元上截出一面元dS Sqd40qSed400qEndSdS”dS”Sq 穿过包围穿过包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量 dSrEn设设dS与与q距离距离r，与与 的夹角的夹角，则穿过则穿过dS 的电通量的电通量rSSddcosd2而而dqe04d故故
5、则则穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0E同样，同样，同同S”处处,420rqE3.穿过不包围点电荷任意闭面的电通量穿过不包围点电荷任意闭面的电通量sdESdnSdnEq 穿过不包围穿过不包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量024ddddqErSEe由由024ddddqrESEe得得0ddee则则0ddeee穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0E仍然，仍然，同上方法，如图，同上方法，如图，,204rqE,204rqE3 高斯定理高斯定理综上综上4.穿过包围多个点电荷闭面的电通量穿过包围多个点电荷闭
6、面的电通量,21mqqq设闭面包围设闭面包围m 个点电荷个点电荷mEEEE21闭面上处处有闭面上处处有mmEEEEcoscoscoscos2211SESESESEmmdcosdcosdcosdcos2211即即medddd21则则me21021)(meqqq或或穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷的代数和除以通量等于闭面包围的电荷的代数和除以0EViSqSE01d3 高斯定理高斯定理高斯定理：高斯定理：其中，其中，V是闭面是闭面S 所包围的空间。所包围的空间。VSEVeSd1d0或或 的散度的散度EVESEVSdd由高斯定理由高斯定理eE01可得可得静电场中穿过任一闭面的静电场中穿
7、过任一闭面的 通量等于闭面内通量等于闭面内电荷的代数和除以真空的介电常数电荷的代数和除以真空的介电常数0E【讨论讨论】：1.静电场是有源场；静电场是有源场；（有势场，保守力场，无旋场）（有势场，保守力场，无旋场）2.电力线的连续性；电力线的连续性；（起始于正电荷，终止于负电荷；（起始于正电荷，终止于负电荷；不中断，不闭合）不中断，不闭合）3.两电力线不相交；两电力线不相交；4.应用：求解电场。应用：求解电场。（详见下一部分）（详见下一部分）SE【例例 1】：点电荷点电荷q 的的场强。场强。【解解】：设任一点：设任一点P 至电荷距离为至电荷距离为r，以电荷为中心、以电荷为中心、r 为半径为半径作
8、球面作球面S，则，则P点在点在S上，如图。上，如图。SSSESEdcosd24drESES所以穿过高斯面所以穿过高斯面S 的电通量的电通量根据高斯定理根据高斯定理0SdqSE比较两式得比较两式得204rqE由于静电场的分布是球对称的，由于静电场的分布是球对称的，304rrqE或或【讨论讨论】：P qr 点电荷的场点电荷的场1.如何选取高斯面如何选取高斯面S；3 高斯定理高斯定理2.如何利用对称性；如何利用对称性；四四.高斯定理的应用高斯定理的应用 在矢量场中高斯定理具有重要理论意义，在静电场中还具有实在矢量场中高斯定理具有重要理论意义，在静电场中还具有实际应用价值。满足一定对称条件下，用高斯定
9、理求解电场较简便。际应用价值。满足一定对称条件下，用高斯定理求解电场较简便。3 高斯定理高斯定理【例例 2】：均匀球面电荷的：均匀球面电荷的场强分布。场强分布。1.设球面外任一点设球面外任一点P 至球心至球心r，以以 r 为半径作同心球面为半径作同心球面S1，则，则P点在点在S1上，如图。上，如图。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面面S1 的电通量的电通量S1Pq11dcosdSSSESE24d1rESES根据高斯定理根据高斯定理0S1dqSE比较两式得比较两式得204rqE304rrqE或或【解解】：设球面电荷半径为：设球面电荷半径为R，电量，
10、电量q沿球面均布。沿球面均布。球面电荷外的场球面电荷外的场同位于中心的点电荷同位于中心的点电荷q 的场。的场。2.设球面内任一点设球面内任一点Q至球心至球心r，由于静电场的分布是球对称的，所由于静电场的分布是球对称的，所以穿以穿 过高斯面过高斯面S2 的电通量的电通量 球面内的场球面内的场q22dcosdSSSESE24d2rESES根据高斯定理根据高斯定理0d2SSE比较两式得比较两式得0EQS2 以以 r 为半径作同心球面为半径作同心球面S2，则则Q点在点在S2上，如图。上，如图。均匀球面电荷内外电均匀球面电荷内外电场的分布曲线见图。场的分布曲线见图。0 (rR)综上综上ROE0r E-r
11、 曲线曲线3 高斯定理高斯定理【例例 2】：均匀球体电荷的：均匀球体电荷的场强分布。场强分布。1.设球体外任一点设球体外任一点P 至球心至球心r，以以 r 为半径作同心球面为半径作同心球面S1，则，则P点在点在S1上，如图。上，如图。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面面S1 的电通量的电通量11dcosdSSSESE24d1rESES根据高斯定理根据高斯定理0S1dqSE比较两式得比较两式得204rqE304rrqE或或【解解】：设球体电荷半径为：设球体电荷半径为R，电量，电量q沿球体均布。沿球体均布。同位于中心的点电荷同位于中心的点电荷q 的场
12、。的场。球体电荷外的场球体电荷外的场qS1P3 高斯定理高斯定理2.设球体内任一点设球体内任一点Q至球心至球心r，由于静电场的分布是球对称的，由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面所以穿过高斯面S2 的电通量的电通量 球体内的场球体内的场q22dcosdSSSESE24d2rESES根据高斯定理根据高斯定理303S2dRqrSE 以以 r 为半径作同心为半径作同心球面球面S2，则，则Q点在点在S2上，如图。上，如图。均匀球体电荷内外均匀球体电荷内外电场分布见图。电场分布见图。)(420RrrqE综上综上比较两式得比较两式得304RqrE)(430RrRqrQS2rROE03Rr E-r 曲
13、线曲线【讨论讨论】：1.高斯面的选取；高斯面的选取；(对称，过对称，过P 点）点）2.对称分析；（对称分析；（E 为常量，为常量，cos 为常量）为常量）3.同类问题：多重球面、球壳、球体电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重球面、球壳、球体电荷，电荷非均匀分布等；4.不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；5.特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。3 高斯定理高斯定理补偿法补偿法多重球形多重球形r,krk 是常量是常量非均匀球体非均匀球体【例例 4】：均匀长直细棒电荷线密度为：均匀长直细棒电荷线密度
14、为 ,求其场强分布。求其场强分布。【解解】：设任一点：设任一点P 至电荷的距离为至电荷的距离为r，以电荷为轴、半径为以电荷为轴、半径为r作圆柱面作圆柱面S，柱高，柱高 l，如图，如图，SeSEd321dddSSSSESESESESdcos33dSSE由于静电场的分布是轴对称的，由于静电场的分布是轴对称的，所以穿过高斯面所以穿过高斯面S 的电通量的电通量根据高斯定理根据高斯定理00d1lqeS1S2+lPS3长直电荷的场长直电荷的场比较两式得比较两式得rE02，方向沿径向。，方向沿径向。rlE23 高斯定理高斯定理【例例 5】：均匀长圆柱面电荷：均匀长圆柱面电荷的电场分布。的电场分布。设圆柱面电
15、荷面密度设圆柱面电荷面密度 为常量，为常量，柱面半径为柱面半径为R。【解解】：1.设圆柱面电荷外任一点设圆柱面电荷外任一点P 至圆柱面轴线的距离为至圆柱面轴线的距离为r，PlS1rR柱面外的场柱面外的场1dSeSErlE21据高斯定理据高斯定理002d1Rlqe比较得比较得rRE01，方向沿径向。，方向沿径向。作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S1，侧面过，侧面过P点，柱高点，柱高 l，如图。，如图。设设S1 侧面场强大小为侧面场强大小为E1，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得2.设圆柱面内任一点设圆柱面内任一点Q至圆柱面轴线的距离为至圆柱面轴线的距离为r，
16、作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S2，侧面过，侧面过Q点，柱高点，柱高 l，如图。，如图。设设S2 侧面场强大小为侧面场强大小为E2，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得2dSeSErlE22据高斯定理据高斯定理0d10qe所以所以02E3 高斯定理高斯定理lS2rRQ柱面内的场柱面内的场综上综上)(0)(0RrRrrREROE0rE-r 曲线曲线长直圆柱面电荷电场分布可用长直圆柱面电荷电场分布可用E-r 曲线表示，见图。曲线表示，见图。3 高斯定理高斯定理【例例 6】：均匀长圆柱体电荷：均匀长圆柱体电荷的电场分布。的电场分布。设圆柱电荷体密度设圆柱电荷体密
17、度 为常量，为常量，柱面半径为柱面半径为R。【解解】：1.设圆柱体电荷外任一点设圆柱体电荷外任一点P 至圆柱体轴线的距离为至圆柱体轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S1，侧面过，侧面过P点，柱高点，柱高 l，如图。，如图。设设S1 侧面场强大小为侧面场强大小为E1，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得PlS1rR柱体外的场柱体外的场1dSeSErlE21据高斯定理据高斯定理020d1lRqe比较得比较得rRE0212，方向沿径向。，方向沿径向。3 高斯定理高斯定理2.设圆柱体内任一点设圆柱体内任一点Q至圆柱体轴线的距离为至圆柱体轴线的距离为r，
18、作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S2，侧面过，侧面过Q点，柱高点，柱高 l，如图。，如图。设设S2 侧面场强大小为侧面场强大小为E2，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得2dSeSErlE22据高斯定理据高斯定理020d1lrqe所以所以022rErRQ柱体内的场柱体内的场综上综上)(2)(2002RrrRrrREROE02RrE-r 曲线曲线长直圆柱体电荷电场分布可用长直圆柱体电荷电场分布可用E-r 曲线表示，见图曲线表示，见图1.35。lS2【讨论讨论】：1.高斯面的选取；高斯面的选取；(P 点在端面行吗？）点在端面行吗？）2.对称分析；（有限长直电荷行
19、吗？）对称分析；（有限长直电荷行吗？）3.同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等；4.不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；5.特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。3 高斯定理高斯定理rkrk 是常量是常量多重圆柱形多重圆柱形非均匀圆柱体非均匀圆柱体补偿法补偿法ES2由高斯定理由高斯定理【例例 7】：均匀无限大平面电荷：均匀无限大平面电荷场强的分布。场强的分布。【解解】：设电荷面密度：设电荷面密度 为常量，为常量，任一点任一点P 至电荷的距离
20、为至电荷的距离为r，取高斯面为垂直并对称于取高斯面为垂直并对称于电荷平面，横截面积电荷平面，横截面积 S，则端面则端面S1 过过P 点，点，如图。如图。3 高斯定理高斯定理由对称分析可得由对称分析可得0dSSES321ddddSSSSSESESESESESdcos211d2SSESE 2比较得比较得02E，方向垂直向外。，方向垂直向外。无限大平面电荷的场无限大平面电荷的场无限大平面电荷的电场与到电荷平面的距离无关，是匀强电场。无限大平面电荷的电场与到电荷平面的距离无关，是匀强电场。ES1S3【讨论讨论】：3 高斯定理高斯定理1.高斯面的选取；高斯面的选取；(P 点在侧面上行吗？非圆柱面行吗？）点在侧面上行吗？非圆柱面行吗？）2.对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？）对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？）3.同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；+-两平行两平行 平面电荷平面电荷非均匀非均匀 平板电荷平板电荷=kxxo均匀均匀 平板电荷平板电荷xo非均匀非均匀 平板电荷对平板电荷对xo=kx
