1、1推广推广第七章第七章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 2第一节第一节7.1.1、二元函数的概念、二元函数的概念7.1.2、二元函数的极限和连续、二元函数的极限和连续7.1.3、偏导数、偏导数7.1.4、全微分、全微分机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数多元函数 7.1.5、复合函数的微分法、复合函数的微分法7.1.6、隐函数的微分法、隐函数的微分法3 )(0oMMU00 MM1.邻域邻域点集,),(0PMU称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域
2、)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成.)(0MU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PM)()(2020yyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.1.1、二元函数的概念、二元函数的概念4在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),(),U(0yxM。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动 目录 上页 下页 返回 结束 52.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称
3、P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.6(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束),(PUE邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)7D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折
4、线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动 目录 上页 下页 返回 结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;8例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo219 整个平面 点集 1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称
5、为无无10.,z,),(P,上的一个二元函数是定义在则称对应唯一一个实数按对应规则中任意点对若存在对应规则是平面点集设DfRfyxDfDRDf:记作)()(DPPfz或定义定义1.数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .点集 D 称为函数的定义域定义域;11二元函数在三维空间的几何图形二元函数在三维空间的几何图形Dyxfz定定义义域域是是设设二二元元函函数数),(),(,),(yxfzDyx 对对应应唯唯一一一一个个),(,(3yxfyxR 确确定定唯唯一一一一点点从从而而在在三三维维空空间间 ),(,),(),(:yxfzDyxzyxP 点点集集的的图图形形称称为为二二元元函函数数),(
6、yxfz 三维空间的三维空间的 曲面曲面xyzoDS 12xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo137.1.2、二元函数的极限和连续、二元函数的极限和连续定义定义2.设 二元函数,R),(2DPPf点,),(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数20200)()(yyxxPP
7、其中或Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存在正数,切1 1、二元函数的极限二元函数的极限14例例1.证明)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),(yxf,022时当yx22yx 222yx,总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 页）见教材 75.(3)(lim212yxyx例例2.证明15 若当点
8、),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.例例3.讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 16定义：定义：（二次极限）（二次极限）下面给出下面给出二次极限二次极限的概念的概念得的极限得的极限所所再让再让先让先让点点设有二元函数设有二元函数),(),(),(),(,),(),(0000
9、000yxyxyxyxDyxPyxfz ),(limlim00yxfxxyy.的的二二次次极极限限后后对对称称为为先先对对yx ),(yx),(0yx),(0yx),(00yxxyo17仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3 目录 上页 下页 返回 结束 18且且则则两两个个二二次次
10、极极限限都都存存在在存存在在且且存存在在如如果果,),(lim),(lim,),(lim0000yxfyxfyxfyyxxyyxx),(limlim),(limlim),(lim000000yxfyxfyxfxxyyyyxxyyxx 可以证明可以证明3192、二元函数的连续性二元函数的连续性 定义定义3.设 二元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点.则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续,20例如例如,函数0,00,),(22
11、2222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故(0,0)为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.21.),(),(,),(),(,),(,),(,),(),()(:211上上连连续续也也在在区区域域复复合合函函数数则则有有时时当当并并且且上上连连续续在在区区域域且且函函数数上上连连续续都都在在区区域域若若函函数数复复合合函函数数连连续续性性定定理理DyxvyxufDyxvyxuDyxDvufDyxvvyxuu 22定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动
12、 目录 上页 下页 返回 结束,0)1(K)()2(Pf,Mm*(4)f(P)必在D 上一致连续.;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)23内容小结内容小结1.区域 邻域:,),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2.二元函数概念二 元函数),(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR机动 目录 上页 下页 返回 结束 24APfPP)(lim0,0,0 时，当00 PP有)(APf3
13、.二元函数的极限4.二元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的二元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切二元初等函数在定义区域内连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 257.1.3机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、偏导数的定义偏导数的定义3、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 2、偏导数的几何意义偏导数的几何意义26定义定义1.),(yxfz 在点),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限
14、设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:270),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,),(,),(1yxfyxfx),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy记为yy00y机动 目录 上页 下
15、页 返回 结束 或 y 偏导数存在,yzyfyz28偏导数记号是一个例例1.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数),Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,29例例2.求223yyxxz解法解法1:xz)2,1(xz解法解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回
16、 结束 30二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的31函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回
17、 结束 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!323、高阶偏导数、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:33类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶
18、偏导数,再关于 y 的一阶)(yyxznn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为11nnxz34yxe22例例3.求函数yxez2.23xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 350,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy
19、0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 36证证:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxy
20、yx则)()(00 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令37),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030)1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx,0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx，连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y38内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏
21、导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 392、全微分在近似计算中的应用、全微分在近似计算中的应用 应用 7.1.4一元函数 y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容本节内容:1、全微分的定义、全微分的定义 全微分40一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数
22、),(yxf在点(x,y)的全微分全微分,记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在D 内可微.yBxA41(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微定理1：函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定义:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即42定理定理2 2(必要条件)若函数 z=f
23、(x,y)在点(x,y)可可微微,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd),(),(yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证:由全增量公式,)(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回 结束 43反例反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff 但)0,0()0,0(yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意注意:定理2 的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0,02
24、2 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 44 ),(yyxxf定理定理3(充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),(yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx45zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz),(yxyx在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx注意到
25、,故有)(o46例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.yxez 解解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexzyexezd2dd22)1,2(例例2.计算函数的全微分.zyeyxu2sin解解:udxd1yyd)cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 47可知当二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页
26、返回 结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)（1）计算函数的近似值）计算函数的近似值48例例3.3.计算的近似值.02.204.1解解:设yxyxf),(,则),(yxfx取,2,1yx则)02.2,04.1(04.102.2fyfxffyx)2,1()2,1()2,1(08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 49半径由 20cm 增大解解:已知,2hrVV,100,20hr)1(2005.01002022V即受压后圆柱体体积减少了.cm2003例例4.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则
27、 rrh2hr 21,05.0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体50分别表示 x,y,z 的绝对误差界,（2）误差估计误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 则51特别注意特别注意时，yxz)1(yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大
28、很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 52内容小结内容小结1.微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 533.微分应用 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差yyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束),(yxf54作业
29、作业P110 题15（2）,（4）,（6）题1 6（1）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 557.1.5一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数的微分法 56)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztz
30、ddddddz则复合函数证证:设 t 取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,57,0t令,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd58若定理中 说明说明:),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu,易知:,0)0,0()0,0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvz
31、tuuzdddd010100)0,0()0,0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.59例例1.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.60推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,),
32、(wvufz 设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,)(,)(twtvtu61又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目
33、录 上页 下页 返回 结束 62例例2.设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 63例例3.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 64设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束
