1、 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv一、分部积分公式一、分部积分公式例例1 211xxe dx2211xxxee dx2212xeee 2222eeeee定积分的分部积分法21xxde已积出的部分已积出的部分 要求值要求值 2402tanxxdx240sec1xxdx24400tan2xxdx24400tantan32xxxdx240ln cos432
2、x 22ln4232 定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 220cos212xxed 22220011cos2cos2(2)22xxexx edx 22011122sin2xeedx2222001111sin2sin2222xxeexxde220112sin2xexdex2201sin214xexdxe 2203sin2xexdx vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa 分部积分过程：解 (4)例 1 计算xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210)1(1121121621222102210
3、xdxdxxx123121122102xxdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210)1(1121121621222102210 xdxdxxx 123121122102x 解 例 2 计算10dxex (5)vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa 分部积分过程：解 10101022 tttxxtdetdtedxe令2 222 2101010ttteedtete10101022 tttxxtdetdtedxe令10101022 tttxxtdetdtedxe令10101022 tttxxtdetdtedxe令 2 222 2101010ttte
4、edtete 例例2 2 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .12312 则则例例3 3 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例4 4 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1
5、021)1ln(xdx102)1ln(xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx .3ln2ln35 例例5 5 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10
6、)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x).11(cos21 ,0sin)1(11 dtttf例例6 6 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1
7、(sin)1(nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ),2,1(m,2200 dxI,1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 .bababavduuvudv二、小结二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题设
8、设)(xf 在在 1,0上连续，且上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求，求 10)2(dxxfx.思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 一、一、填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn=_；3 3、dxxex10_；4 4、exdxx1ln_；5、10arctan xdxx_.二、二、计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、ed
9、xx1)sin(ln；2 2、eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）为自然数）4 4、01)1cos(sinxdxnxn.三三、已已知知xxf2tan)(,求求 40)()(dxxfxf.四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0(ff证证明明：3sin)()(0 xdxxfxf.一、一、1 1、!)!1(nn；2 2、2!)!1(nn；3 3、e21；4 4、)1(412 e；5 5、23ln21)9341(.二、二、1 1、211cos1sin ee；2 2、)11(2e；练习题答案练习题答案 3 3、为奇数为奇数为偶数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；4 4、为正偶数时为正偶数时当当为正奇数时为正奇数时当当nnnn,!)!1(2,0；5 5、0.0.三、三、8.8.
