1、常系数线性方程组常系数线性方程组(),1dxAxf tdt（）,()An nf tatb 这里系数矩阵 为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:()0,f t 若则对应齐线性微分方程组为(2)dxAxdt本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.常系数线性方程组易知（2）有形如(),0,(3)tte r r,.r的解 其中常数 和向量 是待定的将(3)代入(2)得,tte rAe r0,te因上式变为()0,(4)EA r常系数线性方程组方程(4)有非零解的充要条件是:det()0,EA结论结论(2)()tte r微分方程组有非零解的充要条件是,.Ar是矩阵 的特征根是与 对应的特征向
2、量,(2)dxAxdt()0,(4)EA r常系数线性方程组定理定理3.11212,;,(),nnr rr 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们相应的特征值为不必互不相同 那么矩阵1212(),ntttnte r erert 是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.(2)dxAxdt2A从而方程组（）的基本解组归结为求 的n个线性无关的特征向量。常系数线性方程组证明证明:由上面讨论知,每一个向量函数,1,2,jtjerjn都是（2)的解,因此矩阵是(2)的解矩阵,12,nr rr 由于线性无关所以12det(0)det,nr rr 0()(2).t故是的基解矩阵1212(),ntttnte
3、r erer常系数线性方程组(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关的特征向量。常系数线性方程组例1 求方程组5281815331610dxxdt 的通解.解解A系数矩阵 的特征方程为2det()3(1)0EA因此特征根为1230,1,1;它们相的特征向量为1232231,1,0;121rrr 常系数线性方程组故基解矩阵为223()1012ttttteeteee 故通解为123223()()1012ttttteecx tt Ceceec 1211c2212tce330;1tce 常系数线性方程组(2)iii矩阵A有n 重特征值 时，若对应的线性无关的特，
4、则也可找到A的n个线性无征向关量有n 个特征值。1333536624xdx求齐次线性微分方程组t例的通解。d21333532(4)06642(4AE 解：先求特征值所以 二重），常系数线性方程组212331232223331112233300066600010011111041012110ttAErrrrrrrrec e 1对于 ，所以，分别取及，得，对于 ，可以求得 所以通解为x(t)=c43110112tc e 常系数线性方程组3.2(3)iiiAnni为 的 重特征值，对应的线性无关特征向量少于n个，则用定理可找到 个线性无关的解。11212012101021()()1!3.22!)0)
5、iiniiinniiiiintnniiiiAnntttx terrrrrAErrAE rrAE rrAE r设 为 的 重特征值，则方程组（2）有 个形如的线性无关的解，其中 为（的非零解（，（，（定理，常系数线性方程组3例常系数线性方程组（4 4）若实系数线性齐次方程组（）若实系数线性齐次方程组（2 2）有）有复值解复值解()()()x tu tiv t则其实部则其实部 和虚部和虚部()u t都是（都是（2 2）的解）的解.()v t证明证明 因为因为()()()x tu tiv t是方程组（是方程组（2 2）的解，所以有的解，所以有()()()()()()dx tdu tdv tiA tu
6、 tiv tdtdtdt()()()()A t u tiA t v t由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，常系数线性方程组所以有所以有()()()(),()()du tdv tA t u tA t v tdtdt即即和和()u t是方程组（是方程组（2 2）的解）的解.()v t实矩阵实矩阵A A有复特征根一定共轭成对出现，即如果有复特征根一定共轭成对出现，即如果aib是特征根，则共轭复数是特征根，则共轭复数aib也也是特征根，是特征根，对应的特征向量也与对应的特征向量也与对应的特征对应的特征向量共轭，因此方程组（向量共轭，因此方程组（2 2
7、）出现一对）出现一对共轭共轭的复值解的复值解.常系数线性方程组例例 求解方程组求解方程组1521dxxdt解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为2159021 故有特征根故有特征根123,3ii 且是共轭的且是共轭的.13i对应的特征向量对应的特征向量12(,)Trr r满足方程满足方程常系数线性方程组12(1 3)50i rr取取15r 则则得得21 3,ri(5,1 3)Tri是是1对应的特征向量，因此原微分方程组有解对应的特征向量，因此原微分方程组有解33355()1 3(1 3)itititex teii e5cos35 sin3cos33sin3(sin33cos3)t
8、itttitt5cos35sin3cos33sin3sin33cos3ttitttt常系数线性方程组故故5cos35sin3(),()cos33sin3sin33cos3ttu tv ttttt且且和和()u t是原方程的两个线性无关解，故是原方程的两个线性无关解，故()v t原方程组的通解为原方程组的通解为125cos35sin3()cos33sin3sin33cos3ttx tcctttt常系数线性方程组 例例3.5常系数线性方程组考虑常系数非齐次线性微分方程组考虑常系数非齐次线性微分方程组 (1)(1)(2)(2)其对应的齐次线性微分方程组为其对应的齐次线性微分方程组为(),dxAxF
9、tdtdxAxdt维列向量维列向量这里这里A是是n n实常数矩阵实常数矩阵,()F tn是是函数函数.根据解的结构定理知根据解的结构定理知,方程方程(1)的通解为的通解为(2)的通解与方程的通解与方程(1)的一个特解之和的一个特解之和.前面我们前面我们 研究了方程研究了方程(2)通解的求法通解的求法,这一节我们只研究这一节我们只研究(1)的特解即可的特解即可.常系数线性方程组 方程组（方程组（2 2）的基解矩阵）的基解矩阵为为(),X t因此常系数非齐次方程组（因此常系数非齐次方程组（1 1）的通的通解为解为0()()()ttx tX t CX ts F s ds（(3.8)(3.8)这里这里
10、C C为任意常数列向量为任意常数列向量.方程组（方程组（1 1）满足初始条件）满足初始条件00()x tx的解为的解为00()()x tX ttx(3.9)(3.9)0()()ttX ts F s ds这里的基解矩阵满足：X(0)=E常系数线性方程组例例 求解初值问题求解初值问题1000212032co,1s2tdxxdtet0(0)1.1x 解解:首先首先,我们求基解我们求基解矩阵矩阵常系数线性方程组2det()(1)(25)0.AE 因此矩阵因此矩阵A有特征根有特征根1231,12,1 2.ii 对对11,有特征向量有特征向量1(2,3,2),Tr 进而得到对应进而得到对应的齐次方程组的一
11、个解的齐次方程组的一个解12()3.2tx te A的特征方程为的特征方程为常系数线性方程组对对212,i 有特征向量有特征向量2(0,1,).Tri因此因此(1 2)000()1(cos2sin2)1011i ttx teetitii 00cos2sin2.sin2cos2ttetiettt常系数线性方程组所以所以 对应的齐次方程有解对应的齐次方程有解2300()cos2,()sin2.sin2cos2ttx tetx tettt这样可以得到齐次方程组的基解矩阵这样可以得到齐次方程组的基解矩阵200()3cos2sin2.2sin2cos2ttttttteXteeteteetet 常系数线性
12、方程组因此因此且且110023(0)102101X1()()(0)X tXt X常系数线性方程组10033cos2sin2cos2sin2.2231sin2cos2sin2cos22tetttttttt由公式由公式(3.9)得得,原方程的解为原方程的解为000()()1()()01cos2tsx tX tX tXsdses 常系数线性方程组0200cos2sin2()cos2 sin2cos2sin2cos 2ttettX tss dstts001 cos4cos2sin2()8cos2sin2sin428ttettX ttttt常系数线性方程组00sin2cos2cos4 cos2sin4 sin2cos2sin228cos2sin2cos2sin4 cos2sin2 cos4sin228tttttttttettettttttttt01cos2(1)sin2.215(1)cos2sin224tetttttt
