1、一、开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制一、开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制开环系统频率特性的一般形式为 njjvmiiKjTjjTKjG11)1()()1()(00)0()(,)()(A)0(0jGKv，型系统90)(,)(,0902180)(,)(,290190)(,)()(1vAvAvAv，型系统1、起点：即特性总是以顺时针方向趋于原点，即特性总是以顺时针方向趋于原点，并以并以 的角度终止于原点，如下图所的角度终止于原点，如下图所示。示。0,11njjmiiTTKAmn0)(,Amn2)(2)()(mnnm 2、终点：一般实际系统 2mn3 3、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。、幅相特性与负实
2、轴和虚轴的交点。特性与虚轴的交点的频率由下式求出 特性与负实轴的交点的频率由下式求出 如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当由由0 0增大增大到到过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。可能出现凹部。0)()(ImQjGK0)()(RePjGK例例1 1：设开环系统的传递函数
3、为设开环系统的传递函数为 ，)1)(1()(21sTsTKsG系统的开环幅相曲线。系统的开环幅相曲线。试绘出试绘出解：解：)1)(1()(21TjTjKjG分母有理化并整理得)1)(1()()1)(1()1()(22221221222212221TTTTKjTTTTKjG)1)(1()1()(222212221TTTTKP)1)(1()()(22221221TTTTKQ22221211)(TTKA2111tantan)(TT当当 时，时，。00)0(P0)0(QKA)0(0)0(当当 时，时，。0)(P0)(Q0)(A180)(令令 ，0)(P0)1(221TTK即即 ，得得 ，代入，代入 中
4、得中得2111TT)(Q21211)(TTTTKQ设设K10，T11，T25时时，分别代入，分别代入 ，中得不同值时中得不同值时 和和的结果如下：的结果如下：)(P)(P)(Q)(Q00.10.20.30.40.60.81.02.01.007.53.851.550.340.590.790.770.38004.755.775.084.142.651.721.150.240)(Q)(P在在G（s）平面上绘出幅相频率特性曲线如下图所示：）平面上绘出幅相频率特性曲线如下图所示：例例2:2:设开环系统的传递函数为设开环系统的传递函数为 ,试绘出幅相曲线。试绘出幅相曲线。)1)(1()(21sTsTsKs
5、G 解：解：)1)(1()(21TjTjjKjG)1)(1()()(22221221TTTTKP)1)(1()1()(222212221TTTTKQ22221211)(TTKA2111tantan90)(TT经分母有理化可得 幅频特性和相频特性为这是型系统。解解:1、起点、起点 当 0时，可计算出 ，,显然当0时，G(j)的渐近线是一条过实轴上 点，且平行于虚轴的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是)()0(21TTKP)0(A2)0(0)(P0)(Q0)(A23)(0)(Q )0(Q)(21TTK)()0(21TTKP 2.终点终点 当 时，。该系统 m=0，n=3，故特
6、性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。3.幅相曲线与实轴的交点幅相曲线与实轴的交点 令 ，可得 ，将此1值代入式P()表达式中，可得幅相曲线与实轴的交点为 ，交点对应的频率为 ，可以证明2111TT2121TTTKT211TT)(212121TTKTTTKT 幅相曲线如下图所示。:G(S)3.S)TS)(1T(1SK212解例图图与与虚虚轴轴的的交交点点由由此此得得出出这这时时得得令令Nyquist )K(T)ImG(j T1 0)ReG(j )ImG(j)ReG(j)G(j -360)G(j 0|)G(j|-180)G(j|)G(j|0 T-180)G(j T1T1|)G(j|)T)(1T(
7、1)(j)G(j 21212121222221221223TTTTarctgarctgTKjjK :)T(T G(S)4.12)1(1)SK(T21解例STS -90)G(j 0|)G(j|-90)G(j|)G(j|0)()()(-90)G(j 1T1K|)G(j|)T(1)1(T1)()G(j 2121222221222212221QTTKParctgTarctgTTTTKjTTkReK(T1-T2)Im部部。的的全全部部零零点点均均具具有有负负实实现现在在却却变变成成辅辅助助函函数数有有负负实实部部的的全全部部极极点点均均具具是是原原系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件由由上上述述关关系系
8、知知由由此此我我们们看看到到选选取取辅辅助助函函数数开开环环传传函函为为函函为为右右图图所所示示系系统统的的闭闭环环传传辅辅助助函函数数)(,)(,)()()Z-(S)Z-)(SZ-k(SG(S)H(S)1F(S)()(bsbsbsbG(S)H(S)(S)G G(S)H(S)1G(S)(S)G .121n2121011-m1-mmmkBSFSGpspspsspspspssBvnvvnvGB(S)零点极点相同F(S)零点极点相同GK(S)零点极点G(s)C(s)R(s)H(s)不包围原点表示次逆时针包围原点表示次顺时针包围原点表示点的次数按顺时针方向包围原平面上的映射在运动沿以顺时针方向当点在这
9、种情况下的任何极点与零点不通过而内平面的封闭轨线部极点与零点均分布在的全以及点数目其中包括重极点与重零的零点数目为极点数目为又设为单值连续正则函数点外平面的有限个奇除在是复变量的多项式之比设、幅角原理FNNFNFFSFSSSSFSSSSFSFZSFPSSF 0 0N 0NP-ZN )(,.)(,)(,)(,)(.,)(2-2)iZ-(SF(S),2)(,)(,S(a)S)iZ-(S )nP-(S-)1P-(S-)nZ-(S)1Z-(SF(S)nP-(S)1P-(S)nZ-(S)1Z-k(SF(S)()(,B,F(S),S :所以其余均为零外等于除了时而不含极点与其他零点含零点内只当的相位角变化
10、即向量复数路线变动时的按图表示这里的变化的相位角了这个变化造成回到点点出发沿它从的变化也相应这样变化时回到原来的位置当一圈顺时针转绕从这点移动使上选择点在有关幅角定理的说明iZSiZSiZSSFSFBFSiZSAjwSA.Zi(a)SBFReImF(S)(b)(3)(2),(1),R(3),-(2)(1),s.s,a.s (1).s :3面。段就封闭了整个右半平因此的圆弧组成的趋于无穷大段由半径的整个虚轴组成到两段是由其中轨线。称为封闭轨线为平面右半部的个可选包括虚轴在内的整况下在虚轴无开环极点的情的情况平面虚轴上无开环极点轨迹平面的推导稳定判据、NyquistsNyquistNyquistj
11、w(3)(1)(2)r0ss环极点的情况相同。同时和虚轴不含开内都将包围在修正轨线半部的全部零点与极点平面右所以也将趋于零时当一些面积由于这些修正回避掉的的右侧绕过按反时针方向从这些点以无穷小为半径的圆弧点为圆心则在这些点增补以该平面的原点或虚轴上时有若干个极点处于所以当函数函数的任何极点不能通过由于应用幅角定理时的情况平面原点处有开环极点,.,0,)(,)(,.SSrSFSFSSb(1)(2)r=0(3)ImResF(s)。故函数的零极点数相等的曲线所包围说明即则其曲线不包围原点若其图形如图所示函数做出。轨迹按平面上的轨迹平面上的0P-ZN,F(S),0,)(NyquistF(S)Nyqui
12、stF(S)2(SNSF(1,j0)ReImF(S)图。时的完整开环频率响应可以通过对称关系画出绘制的频率响应因此通常平面的实轴对称于与由于时完整开环频率响应在这两部分构成闭环系统运动向沿虚轴从段在第运动向沿虚轴从段在第的关系。响应与闭环系统的开环频率平面上映射在顺时针运动一周时沿下面分析当点-0 )()(,)()()()()()(),()(-)()(|)()(|)()(0 ,0 s (2)()(|)()(|)()(-0-,0 s (1)H(jG(jG(S)H(S)()(,SjHjGsHsGjHjGjHjGjHjGjHjGjejHjGjssHsGjjjHjGjejHjGjssHsGjjSHSG
13、F点。不包围时变到本从当平面上的开环频率响应件为条则闭环系统稳定的充要即平面左半部的全部极点均分布在若的极点数目平面右半部位于为开环传递函数中其次按逆时针方向包围时变到本从当平面上的开环频率响应件是闭环系统稳定的充要条稳定判据)0,1(,),)H(jG(j )H(jG(j ,0,P,sG(s)H(s).sG(s)H(s),)0,1(,),)H(jG(j)H(jG(j:jPPjNyquistradjHjGjerKrjrerssansnassbmsmbKjrerssHsGjrersjsjs顺时针转过沿半径为无穷大的圆弧到平面上的映射轨线由这说明增补段在时到当00)()(0lim 0lim)11()
14、11(0lim)()(0lim 00例例1 1:设开环系统的传递函数为 ，试绘出系统的开环幅相曲线并判断闭环系统的稳定性。1)(sKsGK 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性解：解：21)1(1)(jKjKjGK21)(KP21)(KQ21)(KA1tan180)(当 0时，P(0)K，Q(0)0，起始于(K，0)点；时，P()0,Q()0,A()0,()90，沿负虚轴趋于原点。当 由 0 时，P()0，Q()0，亦即 ()在180 到90 之间，故幅相曲线在第三象限，开环幅相曲线如下图所示。开环传递函数在右半 s 平面上的开环极点数P 1。当 从变化到，奈氏曲线反时针包围(1，0)点的圈
15、数 R 与 K有关。当K1时，R 1，Z P R 110，故闭环稳定；当 K1时，R 0，Z P R 101，故闭环不稳定，右半 s 平面有一个根。例例2:2:设系统开环传递函数为 ，试用奈氏判据判闭环系统的稳定性。)52)(2(2.5)(2ssssGK解：解：绘出该系统的开环幅相曲线如图所示，曲线起点在实轴 P(0)5.2处，终点在原点，用分析法可得 2.5时，曲线与负虚轴相交，交点为-5.06。当 3时，曲线与负实轴相交，交点为 2.0。开环系统右半 s 平面的极点数为0。当从 时，奈氏曲线以顺时针包围(1，0)点两圈，即 R 2。Z P R 0(2)2，Z0，故系统不稳定，在右半 s 平
16、面有2个根。例例3 3：系统开环传递函数为 没有极点位于右半s平面，P=0。系统不稳定222142221221)(1)()(TTTTTTKP)(1)1()(2221422212212TTTTTTKQ121 2121 20(0)()(0)1()()0PK TTQKTTPQTTTT 在 时，在时，0,)1)(1()(21KsTsTKsGK例例4 4：系统 ,)12)(1(14)(2sssssGK解：绘制奈图如下：P=0,N=-1,Z=P-2N=0-2（1）20 系统一定不稳定，并有两个闭环极点在s平面的右半部。（两个右根）试由奈氏判据判断系统稳定性。-1)(jQ)(P000例例5 5：一个系统的开环传递函数为 ，判断系统的稳定性。系统稳定系统稳定1,1)(KTsKsGK
