1、 1 三角形 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理 解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例 1】 已知一个三角形中两条边的长分别是a、b， 且ba ， 那么这个三角形的周长L的取值范围是 （ ） A、bLa33 B、aLba2)(2 C、abLba262 D、baLba23 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在ABC 中，AC5，中线 AD7，则 AB 边的取值范围是（ ） A、1AB29
2、B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解， 这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例 2】如图，已知ABC 中，ABC450，ACB610，延长 BC 至 E，使 CEAC，延长 CB 至 D，使 DB AB，求DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE 的度数，即可求得DAE 的度数。 略解：ABDB，ACCE D 2 1 ABC，E 2 1 ACB DE 2 1 （ABCACB）530 DAE1800（DE）1270 探索与创新： 【问题一】如图，已知点
3、A 在直线l外，点 B、C 在直线l上。 （1）点 P 是ABC 内任一点，求证：PA； （2）试判断在ABC 外，又和点 A 在直线l的同侧，是否存在一点 Q，使BQCA，并证明你的结论。 n m ll 问题一图 CB A C B A 分析与结论： （1）连结 AP，易证明PA； （2）存在，怎样的角与A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造ABC 的外接O，易知弦 BC 所 对且顶点在弧 AmB，和弧 AnC 上的圆周角都与A 相等，因此点 Q 应在弓形 AmB 和 AnC 内，利用圆的有关性 质易证明（证明略） 。 【问题二】如图，已知 P 是等边ABC 的 BC 边上任意一点，过
4、 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、PD，垂足为 E、 D。问：AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系？ 分析与结论： （1）DE 是AED 与四边形 EBCD 的公共边，只须证明 ADAEBEBCCD （2）既有等边三角形的条件，就有 600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角 的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解：在等边ABC 中，BC600 例 2 图 EDCB A 问题二图 E D PCB A 2 又PEAB 于 E，PDAC 于 D BPECPD300 不妨设等边ABC 的边长为 1，BEx，CDy，那么：BPx2，PCy2， 2 1 y
5、x，而 AEx1， ADy1 AEAD 2 3 )(2yx 又BECDBC 2 3 1)( yx ADAEBEBCCD 从而 ADAEDEBEBCCDDE 即AED 的周长等于四边形 EBCD 的周长。 评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。 跟踪训练： 一、填空题： 1、三角形的三边为 1，a1，9，则a的取值范围是 。 2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。 3、在ABC 中，若C2（AB） ，则C 度。 4、如果ABC 的一个外角等于 1500，且BC，则A 。 5、如果ABC 中，ACB900，C
6、D 是 AB 边上的高，则与A 相等的角是 。 6、如图，在ABC 中，A800，ABC 和ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC 。 7、如图，CE 平分ACB，且 CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD 的周长为 28 cm，则 DB 。 8、纸片ABC 中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图） ，若1200，则2 的度数为 。 9、在ABC 中，A500，高 BE、CF 交于点 O，则BOC 。 10、若ABC 的三边分别为a、b、c，要使整式0)( m cbacba，则整数m应为 。 第 6 题 图 F E D C B A 第 7 题图 E
7、 D C BA 第 8 题图 2 1 C B A 二、选择题： 1、若ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（ ） A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个 2、在ABC 中，ABAC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（ ） A、300 B、360 C、450 D、720 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（ ） A、7 B、11 C、7 或 11 D、不能确定 4、在ABC 中，B500，ABAC，则A 的取值范围是（ ） A、00A1800 B、00A800 C、500A1300 D、800A13
8、00 3 5、若、是三角形的三个内角，而x，y，z，那么x、y、z中，锐角的个数 的错误判断是（ ） A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角 6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 三、解答题： 1、有 5 根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？ 2、长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为 什么？ 3、如图，在ABC 中，A
9、960，延长 BC 到 D，ABC 与ACD 的平分线相交于 1 A， 1 ABC 与 1 ACD 的 平分线相交于 2 A，依此类推， 4 ABC 与 4 ACD 的平分线相交于 5 A，则 5 A的大小是多少？ 4、如图，已知 OAa，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动） ，AON600，填空： （1）当 OP 时，AOP 为等边三角形； （2）当 OP 时，AOP 为直角三角形； （3）当 OP 满足 时，AOP 为锐角三角形； （4）当 OP 满足 时，AOP 为钝角三角形。 2 A 1 A 第 3 题图 DCB A a 0 60 第 4 题图 NPO A 一、
10、填空题： 1、79a；2、2；3、1200；4、300或 1200；5、DCB；6、500；7、8cm； 8、600；9、1300；10、偶数。 二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1、6 种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12） 2、可以，设延伸部分为a，则长为a2，a3，a5的三条线段中，a5最长， 0)5()3()2(aaaa 只要0a，长为a2，a3，a5的三条线段可以组成三角形 设长为a5的线段所对的角为，则为ABC 的最大角 又由12)5()3()2( 2222 aaaa 当012 2 a，即32a时，ABC 为直角三角形。 3
11、、30 4、 （1）a； （2）a2或 2 a ； （3） 2 a OPa2； （4）0OP 2 a 或 OPa2 2.全等三角形全等三角形 4 知识考点： 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题， 灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角 形全等。 精典例题： 【例 1】如图，已知 ABBC，DCBC，E 在 BC 上，AEAD，ABBC。求证：CECD。 分析：作 AFCD 的延长线（证明略） 评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加 辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线
12、；延长某已 知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。 例 1 图 F E D CB A 例 2 图 2 1 E D C B A 问题一图 P E 43 2 1 CB A 【例 2】如图，已知在ABC 中，C2B，12，求证：ABACCD。 分析：采用截长补短法，延长 AC 至 E，使 AEAB，连结 DE；也可在 AB 上截取 AEAC，再证明 EBCD（证 明略） 。 探索与创新： 【问题一】阅读下题：如图，P 是ABC 中 BC 边上一点，E 是 AP 上的一点，若 EBEC，12，求证：AP BC。 证明：在ABE 和ACE 中，EBEC，AEAE，12 ABEACE（第一步
13、） ABAC，34（第二步） APBC（等腰三角形三线合一） 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你 认为正确的证明过程。 略解：不正确，错在第一步。 正确证法为： BECE EBCECB 又12 ABCACB，ABAC ABEACE（SAS） 34 又ABAC APBC 评注： 本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题， 其目的是考查学生阅读理解能力， 证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。 【问题二】 众所周知， 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等， 你能想办法安排
14、和外理这三个条件， 使这两个三角形全等吗？ 请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2） （3） （4） 。 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1） ：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三 角形全等。方案（2） ：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3） ：若此角为已知两边的夹角，则这两个三 角形全等。 5 评注： 这是一道典型的开放性试题， 答案不是唯一的。 如方案 （4） ： 若此角为钝角， 则这两个三角形全等。 （5） ： 若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况， 这类题目要求学生依据问题提供的题设条件
15、，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让 命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。 跟踪训练： 一、填空题： 1、若ABCEFG，且B600，FGEE560，则A 度。 2、如图，ABEFDC，ABC900，ABDC，那么图中有全等三角形 对。 3、如图，在ABC 中，C900，BC40，AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DCDB35，则点 D 到 AB 的 距离是 。 第 2 题图 F E D CB A 第 3 题 图 DCB A 第 4 题图 H E DCB A 4、 如图， 在ABC中， ADBC， CEAB， 垂足分别为D、 E， AD、 CE交
16、于点H， 请你添加一个适当的条件： ， 使AEHCEB。 5、如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，BE 与 AD 相交于点 O，写出一组相等的线段 （不包括 ABCD 和 ADBC） 。 6、如图，EF900，BC，AEAF。给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CD DN。其中正确的结论是 （填序号） 。 二、选择题： 1、如图，ADAB，EAAC，AEAD，ABAC，则下列结论中正确的是（ ） A、ADFAEG B、ABEACD C、BMFCNG D、ADCABE 填空第 5 题图 O E D CB A 填空第 6 题图 2 1 F N M E D
17、 C B A 选择第 1 题图 M GF E D CB A 2、如图，AEAF，ABAC，EC 与 BF 交于点 O，A600，B250，则EOB 的度数为（ ） A、600 B、700 C、750 D、850 3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ） A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等 选 择 第 2 题 图 O F E C B A 选择第 4 题图 P DCB A 4、如图，在ABC 中，AD 是A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，设 PBm，PCn，ABc，AC 6 b，则)(nm 与)(cb 的大小关系
18、是（ ） A、nmcb B、nmcb C、nmcb D、无法确定 三、解答题： 1、如图，12，34，ECAD。求证：ABE 和BDC 是等腰三角形。 解答题第 1 题图 D 4 3 2 1 E C BA 解答题第 2 题图 DF E C B A 2、如图，ABAE，ABCAED，BCED，点 F 是 CD 的中点。 （1）求证：AFCD； （2）在你连结 BE 后，还能得出什么新结论？请再写出两个。 3、 （1）已知，在ABC 和DEF 中，ABDE，BCEF，BACEDF1000，求证：ABCDEF； （2）上问中，若将条件改为 ABDE， ，BCEF，BACEDF700，结论是否还成立，
19、为什么？ 4、如图，已知MON 的边 OM 上有两点 A、B，边 ON 上有两点 C、D，且 ABCD，P 为MON 的平分线上 一点。问： （1）ABP 与PCD 是否全等？请说明理由。 （2）ABP 与PCD 的面积是否相等？请说明理由。 解答题第 4 题图 D P N M O C B A 解答题第 5 题图 D E F C B A 5、如图，已知 CEAB，DFAB，点 E、F 分别为垂足，且 ACBD。 （1）根据所给条件，指出ACE 和BDF 具有什么关系？请你对结论予以证明。 （2）若ACE 和BDF 不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。 参考答案 一、填空题
20、： 1、32；2、3；3、15；4、AHBC 或 EAEC 或 EHEB 等； 5、DCDE 或 BCBE 或 OAOE 等；6、 二、选择题：BBDA 三、解答题： 1、略； 2、 （1）略； （2）AFBE，AF 平分 BE 等； 3、 （1）略； （2）不成立，举一反例即能说明； 4、 （1）不一定全等，因ABP 与PCD 中，只有 ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定 全等。 （2）面积相等，因为 OP 为MON 平分线上一点，故 P 到边 AB、CD 上的距离相等，即ABP 中 AB 边上的 高与PCD 中 CD 边上的高相等，又根据 ABCD（即底边也相等）从而A
21、BP 与PCD 的面积相等。 7 5、 （1）ACE 和BDF 的对应角相等； （2）略 4.直角三角形、勾股定理、面积直角三角形、勾股定理、面积 知识考点： 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有 关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。 精典例题： 【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，A600，BD900，BC2，CD3，则 AB？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。 答案：3 3 8 例 1 图 3 2 E D CB A 例 2
22、图 Q PCB A 【例 2】如图，P 为ABC 边 BC 上一点，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB 的度数。 分析：本题不能简单地由角的关系推出ACB 的度数，而应综合运用条件 PC2PB 及APC600来构造出含 300角的直角三角形。这是解本题的关键。 答案：ACB750（提示：过 C 作 CQAP 于 Q，连结 BQ，则 AQBQCQ） 探索与创新： 【问题一】如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN300，点 A 处有一所中学，AP160 米，假设 汽车行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学
23、校是否会受到噪声 的影响？如果受影响，已知汽车的速度为 18 千米小时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：从学校（A 点）距离公路（MN）的最近距离（AD80 米）入手，在距 A 点方圆 100 米的范围内，利用 图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。 略解：作 ADMN 于 D，在 RtADP 中，易知 AD80。所以这所学校会受到噪声的影响。以 A 为圆心，100 米为半径作圆交 MN 于 E、F，连结 AE、AF，则 AEAF100，根据勾股定理和垂径定理知：EDFD60，EF120， 从而学校受噪声影响的时间为： 150 1 18000 120 t（小时）24（秒） 评注：本题是一道
24、存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。 问题一图 F E D AQ P N M y x 图 12 C B A 问题二图 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏 8 力如图 12，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米的 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级， 每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米时的速度沿北偏东 300方向往 C 移动， 且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
25、 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解： （1）如图 1，由点 A 作 ADBC，垂足为 D。 AB220，B30AD110（千米） 。 由题意知， 当 A 点距台风中心不超过 160 千米时， 将会受到台风的影响。 故该城市会受到这次台风的影响。 （2）由题意知，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。则 AEAF160。当台风中心 从E处 移 到F处 时 ， 该 城 市 都 会 受 到 这 次 台 风 的 影 响 。 由 勾 股 定 理 得 ： 153050270110160 2222 ADAE
26、DE。EF6015（千米） 。 该台风中心以 15 千米时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为154 15 1560 （小时） 。 （3）当台风中心位于 D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 12 20 110 6.5（级） 。 评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意 义，由题意可分析出，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，会受台风影响，若过 A 作 ADBC 于 D，设 E，F 分 别表示 A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则 AEAF160；当台风中心位于 D 处时，A 市受台风影 响的风力
27、最大。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如果直角三角形的边长分别是 6、8、x，则x的取值范围是 。 2、如图，D 为ABC 的边 BC 上的一点，已知 AB13，AD12， ，BD5，ACBC，则 BC 。 第 2 题图 13 12 5 DCB A 第 3 题 图 D CB A 第 5 题图 D CB A 3、如图，四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2231，且B900，则DAB 。 4、等腰ABC 中，一腰上的高为 3cm，这条高与底边的夹角为 300，则 ABC S 。 5、如图，ABC 中，BAC900，B2C，D 点在 BC 上，AD 平分BAC，若 AB1，则 BD 的长为
28、 。 6、已知 RtABC 中，C900，AB 边上的中线长为 2，且 ACBC6，则 ABC S 。 7、如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，腰长为 8cm，AC、BD 相交于 O 点，且AOD600，设 E、F 分别为 CO、 AB 的中点，则 EF 。 9 第 7 题图 F E O D CB A 第 8 题图 E Q P D C B A 第 9 题图 D C B A 8、如图，点 D、E 是等边ABC 的 BC、AC 上的点，且 CDAE，AD、BE 相交于 P 点，BQAD。已知 PE1，PQ 3，则 AD 。 9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
29、最大的正方形的边长为 7cm，则正 方形 A、B、C、D 的面积的和是 。 二、选择题： 1、如图，已知ABC 中，AQPQ，PRPS，PRAB 于 R，PSAC 于 S，则三个结论：ASAR；QPAR； BRPQSP 中（ ） A、全部正确 B、仅和正确 C、仅正确 D、仅和正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的 2 倍，并且有一个角是 300，那么这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 3、在四边形 ABCD 中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD3，则ACB 的度数是（ ） A、大于 900 B、小于 900 C、等于
30、 900 D、不能确定 第 1 题 图 S R Q PC B A 第 4 题图 O CB A 4、如图，已知ABC 中，B900，AB3，BC3，OAOC6，则OAB 的度数为（ ） A、100 B、150 C、200 D、250 三、解答题： 1、阅读下面的解题过程：已知a、b、c为ABC 的三边，且满足 42222 acbca 4 b，试判断ABC 的形状。 解： 42222 acbca 4 b )()( 2222222 bababac 222 cba ABC 是直角三角形。 问： （1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结
31、论是 。 2、已知ABC 中，BAC750，C600，BC33，求 AB、AC 的长。 10 3、如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DCBE，DGCE 于 G。 （1）求证：G 是 CE 的中点； （2）B2BCE。 第 3 题 图 G E DCB A 第 4 题图 C BA 4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，ACB900，BC60 米，A360。 （1）若入口 E 在边 AB 上，且与 A、B 等距离，请你在图中画出入口 E 到 C 点的最短路线，并求最短路线 CE 的长（保留整数） ； （2）若线段 CD 是一条水渠，并且 D 点在边 AB 上，已知水渠
32、造价为 50 元米，水渠路线应如何设计才能使 造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。 参考数据：sin3600.5878，sin5400.8090 5、已知ABC 的两边 AB、AC 的长是方程023) 32( 22 kkxkx的两个实数根，第三边 BC5。 （1）k为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； （2）k为何值时，ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。 参考答案 一、填空题： 1、10 或72；2、16.9；3、1350；4、33cm2；5、13 ；6、5；7、4 8、7；9、49 二、选择题：BDCB 三、解答题： 1、 （1）； （2）略； （3）
33、直角三角形或等腰三角形 2、提示：过 A 作 ADBC 于 D，则 AB23，AC32 3、提示：连结 ED 4、 （1）51 米； （2）若要水渠造价最低，则水渠应与 AB 垂直，造价 2427 元。 5、 （1）2； （2）k4 或 3，当k4 时，面积为 12。 5.角平分线、垂直平分线角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在ABC 中，ABAC，B300，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，求证： CF2BF。 分析一：要证明 CF2BF，由于 BF 与 CF 没有
34、直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，根据其性质可连结 AF，则 BFAF。问题转化为证 CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF900，则根据含 300角的直角三角形的 性质可得 CF2AF2BF。 分析二：要证明 CF2BF，联想B300，EF 是 AB 的中垂线，可过点 A 作 AGEF 交 FC 于 G 后，得到含 300 角的 RtABG，且 EF 是 RtABG 的中位线，因此 BG2BF2AG，再设法证明 AGGC，即有 BFFGGC。 11 例题图 1 F E CB A 例题图 2 GF E CB A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 ADBC 于 D，则
35、 BDCD，考虑到B300，不妨设 EF1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图 3 DF E CB A 问题图 3 2 1 E DCB A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图， ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD 。 分析：要证 AC AB DC BD ，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似，现在 B、D、 C 在同一条直线上，ABD 与ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
36、我们注意到在比例式 AC AB DC BD 中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD、CD、AB 的第四比 例项 AE，这样，证明 AC AB DC BD 就可以转化为证 AEAC。 证明：过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 E CEAD E1 32 21 E3AEAC CEAD AE AB DC BD AC AB DC BD （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可） ； （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ） 数形结合思想 转化思想 分类
37、讨论思想 答案：转化思想 （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD 是ABC 中BAC 的角平分线，AB5 cm，AC4 cm， BC7 cm，求 BD 的长。 答案： 9 35 cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。 跟踪训练： 一、填空题： 12 1、如图，A520，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，那么OCB 。 2、如图，已知 ABAC，A440，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则DBC 。 第 1 题 图 O CB A 第 2 题图 N M D CB A 第 3 题图 E D C B A 第 4 题图 E A BC D 3、 如图， 在
38、ABC 中， C900， B150， AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点， E 为垂足， 若 BD8， 则 AC 。 4、如图，在ABC 中，ABAC，DE 是 AB 的垂直平分线，BCE 的周长为 24，BC10，则 AB 。 5、如图，EG、FG 分别是MEF 和NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是MBC 和NCB 的角平分线，交 点是 P，F、C 在 AN 上，B、E 在 AM 上，若G680，那么P 。 填空第 5 题图 G P MEB N C F A 选择第 1 题图 F E D CB A 选择第 2 题图 4 3 2 1 D C BA 二、选择题： 1、如图，
39、ABC 的角平分线 CD、BE 相交于点 F，且A600，则BFC 等于（ ） A、800 B、1000 C、1200 D、1400 2、如图，ABC 中，12，34，若D360，则C 的度数为（ ） A、820 B、720 C、620 D、520 3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为 23 两部分，若这个三 角形的周长为 30cm，则此三角形三边长分别是（ ） A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，RtABC 中，C9
40、00，CD 是 AB 边上的高，CE是中线，CF 是ACB 的平分 线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ） A、0 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题： 1、如图，RtABC 的A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D，求证：MAMD。 选择第 4 题图 EF D C BA 13 第 1 题图 M D C B A 第 2 题 图 E F DCB A 第 3 题 图 E F DCB A 2、在ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 上，且 D
41、EEC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DFAC，求证：AE 平分 BAC。 3、如图，在ABC 中，B22.50，C600，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD26，AEBC 于点 E， 求 EC 的长。 4、如图，在 RtABC 中，ACB900，ACBC，D 为 BC 的中点，CEAD，垂足为 E，BFAC 交 CE 的延长线 于点 F，求证 AB 垂直平分 DF。 第 4 题图 E F D C B A 参考答案 一、填空题： 1、380；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题： 1、过 A 作 ANBC 于 N，证DDAM； 2、延
42、长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，证DEFCEG 3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线，ADBD26，BDAB22.50 ADE450，AE 2 2 AD26 2 2 6 又C600 EC32 3 6 3 AE 4、证ACDCBF 6.平行四边形平行四边形 知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题： 14 【例 1】已知如图：在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，点 E、F 分别在 BC 和 AD 边上，AFCE，EF 和对角 线 BD 相交于点 O，求证：点 O 是 BD 的中点。 分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明 BODO 略证：连结 B
43、F、DE 在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，ADBC 又AFCE FDBE，FDBE 四边形 BEDF 是平行四边形 BODO，即点 O 是 BD 的中点。 【例 2】已知如图：在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。 分析：欲证四边形 EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由 E、F、G、 H 分别是各边上的中点， 可联想到三角形的中位线定理， 连结 AC后，EF 和 GH 的关系就 明确了，此题也便得证。 （证明略） 变式 1：顺次连结矩形四边中
44、点所得的四边形是菱形。 变式 2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。 变式 3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。 变式 4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。 变式 5：若 ACBD，ACBD，则四边形 EFGH 是正方形。 变式 6：在四边形 ABCD 中，若 ABCD，E、F、G、H 分别为 AD、BC、BD、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。 娈式 6 图 H G F E D CB A 娈式 7 图 N M Q PE D C BA 变式 7：如图：在四边形 ABCD 中，E 为边 AB 上的一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，P、Q、M、N 分别 是
45、AB、BC、CD、DA 边上的中点，求证：四边形 PQMN 是菱形。 探索与创新： 【问题】已知如图，在ABC 中，C900，点 M 在 BC 上，且 BMAC，点 N 在 AC 上，且 ANMC，AM 和 BN 相交于 P，求BPM 的度数。 分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想 到构造等腰直角三角形，从而应该平移 AN。 略证：过 M 作 MEAN，且 MEAN，连结 NE、BE，则四边形 AMEN 是平行四边形，得 NEAM，MEAN， ACBC MEBC 在BEM 和AMC 中， MECM，EMBMCA900，BMAC BEMAMC BEAM
