1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.【解析】【分析】（1）利用t表示出C
2、D以及AE的长，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）DEF为直角三角形，分EDF=90和DEF=90两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：在RtABC中，C=90A=30，AB=AC=60=30cm，CD=4t，AE=2t，又在RtCDF中，C=30，DF=CD=2t，DF=AE；（2）能，DFAB，DF=AE，四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即604t=2t，解得：t=10，当t=10时，AEFD是菱形；（3）若DEF为直角
3、三角形，有两种情况：如图1，EDF=90，DEBC，则AD=2AE，即604t=22t，解得：t=，如图2，DEF=90，DEAC，则AE=2AD，即，解得：t=12，综上所述，当t=或12时，DEF为直角三角形.2（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线
4、时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）AF的长为1或+1【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论试题解析：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，A
5、F=EF=AD=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=
6、AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+13（1）如图1，将矩形折叠，使落在对角线上，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_.（2）小明手中有一张矩形纸片，.（画一画）如图2，点在这张矩形纸片的边
7、上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点，分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点分别落在点，处，若，求的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求；【算一算】首先求出GD=9-，由矩形的性质得出ADBC，BC=AD=9，由平行线的性质得出DGF=BFG，由翻折不变性可知
8、，BFG=DFG，证出DFG=DGF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB=FB，由此即可解决问题【详解】（1）如图1所示：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADB=DBC=42，由翻折的性质可知，DBE=EBC=DBC=21，故答案为21（2）【画一画】如图所示： 【算一算】如3所示：AG=，AD=9，GD=9-，四边形ABCD是矩形，ADBC，BC=AD=9，DGF=BFG，由翻折不变性可知，BFG=DFG，DFG=DGF，DF=DG=， CD=AB=4，C=90，在RtCDF中，由勾股定理得：CF=，BF=BC-CF=9，由翻折
9、不变性可知，FB=FB=，BD=DF-FB=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题4在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OABC，记旋转角为：（1）如图，当45时，求BC与AB的交点D的坐标；（2）如图，当60时，求点B的坐标；（3）若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）当45时，延长OA经过点B，在RtBAD中，OBC4
10、5，AB，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，证明OMCCNB，可得CNOM，BNCM3，即可得出点B的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC的中点，所以PKOC3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围【详解】解：（1）A（6，0）、C（0，6），O（0，0），四边形OABC是边长为6的正方形，当45时，如图，延长OA经过点B，OB6，OAOA6，OBC45，AB，BD（），CD6（）=，BC与AB的交点D的坐标为（，6）；（2）如图，过点C作
11、x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，OCB90，OCM90BCNCBN，OCBC，OMCCNB90，OMCCNB（AAS），当60时，AOC90，OC6，COM30，CNOM，BNCM3，点B的坐标为；（3）如图，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，P为线段BC的中点，PKOC3，P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，AK3，AP最大值为，AP的最小值为，AP长的取值范围为.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹5定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三
12、角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积【答案】（1）见
13、解析；（2）12；探究：2或2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得AOE和AOB是友好三角形；（2）AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE、ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ，求出ADC的面积即可求出ABC的面积试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四边形ABFE
14、是平行四边形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形（2）AOE和DOE是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=3，AOB与AOE是友好三角形，SAOB=SAOE，AOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=46-243=12探究：解：分为两种情况：如图1，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OB，AO=CO，四边形ADCB是平行四边形，BC=AD=2，过B作BMAC于M，AB=
15、4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即C和M重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=，ABC的面积是BCAC=22=2；如图2，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OA，BO=CO，四边形ABDC是平行四边形，AC=BD=2，过C作CQAD于Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2ADCQ=221=2；即ABC的面积是2或2考点：四边形综合题6（1）问题发现：如图，在等边三角形ABC中，点M为B
16、C边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为 ；（2）深入探究：如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使ABC=AMN，AM=MN，连接CN，试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长【答案】（1）NCAB；理由见解析；（2）ABC=ACN；理由见解析；（3）；【解析】分析：（1）根据ABC
17、，AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且BAC=MAN=60从而得到BAC-CAM=MAN-CAM，即BAM=CAN，证明BAMCAN，即可得到BM=CN（2）根据ABC，AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且ABC=AMN，根据相似三角形的性质得到，利用等腰三角形的性质得到BAC=MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到ABC=BAC=45，MAN=45，根据相似三角形的性质得出，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案详解：（1）NCAB，理由如下：ABC与MN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN
18、=60，BAM=CAN，在ABM与ACN中， ，ABMACN（SAS），B=ACN=60，ANC+ACN+CAN=ANC+60+CAN=180，ANC+MAN+BAM=ANC+60+CAN=BAN+ANC=180，CNAB； （2）ABC=ACN，理由如下：=1且ABC=AMN，ABCAMN，AB=BC，BAC=（180ABC），AM=MNMAN=（180AMN），ABC=AMN，BAC=MAN，BAM=CAN，ABMACN，ABC=ACN；（3）如图3，连接AB，AN，四边形ADBC，AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=45，BACMAC=MANMAC即BAM=CAN，ABMAC
19、N，=cos45=，BM=2，CM=BCBM=8，在RtAMC，AM=，EF=AM=2点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键7如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（2，4）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由.（2）若点C在第二象限
20、运动，且四边形DEFG为菱形时，求点四边形OABC对角线OB长度的取值范围.（3）若在点C的运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从X轴负半轴经过Y轴正半轴，运动至X轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长.【答案】（1）正方形（2）（3）2【解析】分析:（1）连接OB，AC，说明OBAC，OB=AC，可得四边形DEFG是正方形.（2）由四边形DEFG是菱形，可得OB=AC，当点C在y轴上时，AC=，当点C在x轴上时，AC=6, 故可得结论；（3）根据题意计算弧长即可.详解：（1）正方形，如图1，证明连接OB，AC，说明OBAC，OB=AC，可得四边形DEFG是正方形.（2）如图2，由四边
21、形DEFG是菱形，可得OB=AC，当点C在y轴上时，AC=，当点C在x轴上时，AC=6, ；（3）2.如图3，当四边形DEFG是正方形时，OBAC，且OB=AC，构造OBEACO，可得B点在以E（0，4）为圆心，2为半径的圆上运动.所以当C点从x轴负半轴到正半轴运动时，B点的运动路径为2 .图1 图2 图3
22、点睛：本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质以及弧长的计算.灵活运用正方形的判定定理和菱形的性质运用是解题的关键.8已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PEPB ，PE交射线DC于点E，过点E作EFAC，垂足为点F（1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PE；在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，PEC能否为等腰三角
23、形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1要证PB=PE，只需证到PGBPHE即可；连接BD，如图2易证BOPPFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长详解：（1）证明：过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1四边形ABCD是正方形，P
24、GBC，PHDC，GPC=ACB=ACD=HPC=45PG=PH，GPH=PGB=PHE=90PEPB即BPE=90，BPG=90GPE=EPH在PGB和PHE中，PGBPHE（ASA），PB=PE连接BD，如图2四边形ABCD是正方形，BOP=90PEPB即BPE=90，PBO=90BPO=EPFEFPC即PFE=90，BOP=PFE在BOP和PFE中， BOPPFE（AAS），BO=PF四边形ABCD是正方形，OB=OC，BOC=90，BC=OBBC=1，OB=，PF=点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示同理可得：PB=PE
25、，PF=（3）若点E在线段DC上，如图1BPE=BCE=90，PBC+PEC=180PBC90，PEC90若PEC为等腰三角形，则EP=ECEPC=ECP=45，PEC=90，与PEC90矛盾，当点E在线段DC上时，PEC不可能是等腰三角形若点E在线段DC的延长线上，如图4若PEC是等腰三角形，PCE=135，CP=CE，CPE=CEP=22.5APB=1809022.5=67.5PRC=90+PBR=90+CER，PBR=CER=22.5，ABP=67.5，ABP=APBAP=AB=1AP的长为1点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股
26、定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键9已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，BAC=90，如图1所示（1）填空：AB= ，BC= （2）将ABC绕点B逆时针旋转，当AC与x轴平行时，则点A的坐标是当旋转角为90时，得到BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式在的条件下，旋转过程中AC扫过的
27、图形的面积是多少？（3）将ABC向右平移到ABC的位置，点C为直线AB上的一点，请直接写出ABC扫过的图形的面积【答案】（1）：5；5；（2）（0，2）；直线BD的解析式为y=x+3；S=；（3）ABC扫过的面积为【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；（2）因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；过点C作CFOA与点F，证明AOBCFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据ACBD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解
28、答利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90圆心角的扇形面积减去以AB为半径90圆心角的扇形面积求出答案；（3）利用平移的性质进而得出ABC扫过的图形是平行四边形的面积试题解析：（1）一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（-4，0），B（0，3），AO=4，BO=3，在RtAOB中，AB=，等腰直角三角形ABC，BAC=90，BC=；（2）如图1，B（0，3），OB=3，AB=5，AO=AB-BO=5-3=2，A（0，-2）当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），如图2，过点C作CFOA与点F，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，AB
29、=AC，BAO+CAF=90，OBA+BAO=90，CAF=OBA，在AOB和CFA中，AOBCFA（AAS）；OA=CF=4，OB=AF=3，OF=7，CF=4，C（-7，4）A（-4，0）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：，则直线AC解析式为y=x，将ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90时，得到BDE，ABD=90，CAB=90，ABD=CAB=90，ACBD，设直线BD的解析式为y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，直线BD的解析式为y=x+3；因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90圆心角的扇形面积减去以AB为半径90圆心角的扇形面积，所
30、以可得：S=；（3）将ABC向右平移到ABC的位置，ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3，求得C的横坐标为，平行四边CAAC的面积为（7+）4=，三角形ABC的面积为55=ABC扫过的面积为：考点：几何变换综合题10（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处（1）求矩形ABCD的边AD的长（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示设DPx cm，DMy cm，试求y与x的函数关
31、系式，并指出自变量x的取值范围（3）当折痕MN的端点N在AB上时，求当PCN为等腰三角形时x的值；当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD3；（2）y=其中，0x3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及RtMPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQCD，根据RtNPQ的勾股定理进行求解；（4）根据RtADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据RtPBC的勾股定理可得：AD3（2）由折叠可知AMMP，在RtMPD中，y=其中，0x3.（3）当点N在AB上，x3， PC3，而PN3，NC3.PCN为等腰三角形，只可能NCNP过N点作NQCD，垂足为Q，在RtNPQ中，解得x=（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形设MPy，在RtADM中，即 y= S=考点：函数的性质、勾股定理.
