1、专题4 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。（2）当三角形有一个内角大于120时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线
2、的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等（1）如图，分别以ABC中的AB、AC为边，作等边ABD、等边ACE（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：ADCABE（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边BCF，连接AF，必过点P，有PAB=BPC=CPA=120在图三的模型里有结论：（1）BPD=60；（2）连接AP，AP平分DPE有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【例题】1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且ABC=ABE=60，G为对角线B
3、D（不含B点）上任意一点，将ABG绕点B逆时针旋转60得到EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）ABCD【解析】如图，将ABG绕点B逆时针旋转60得到EBF，BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，BFG是等边三角形BF=BG=FG，AG+BG+CG=FE+GF+CG根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF=180-120=60，BC=4，BF=2，EF=2，在RtEFC中，EF2+FC2=EC2，EC=4CBE=120，BEF=30，EBF=ABG=30，EF=BF=FG，EF=
4、CE=，故选：D2、如图，将绕点逆时针旋转60得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_【解析】如图，将MOG绕点M逆时针旋转60，得到MPQ，显然MOP为等边三角形，OMOGOPPQ，点O到三顶点的距离为：ONOMOGONOPPQ，当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ONOMOG最小，此时，NMQ75+60135，过Q作QANM交NM的延长线于A，则MAQ=90，AMQ180-NMQ=45，MQMG4，AQAMMQcos45=4，NQ，故答案为：3、如图，四边形 是菱形，B=6，且ABC=60 ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，
5、则AM+BM+CM 的最小值为_【解析】将BMN绕点B顺时针旋转60度得到BNE，BM=BN，MBN=CBE=60，MN=BM MC=NEAM+MB+CM=AM+MN+NE当A、M、N、E四点共线时取最小值AEAB=BC=BE=6，ABH=EBH=60，BHAE，AH=EH，BAH=30，BH=AB=3，AH=BH=，AE=2AH=故答案为4、如图，ABC中，BAC30且ABAC，P是底边上的高AH上一点若AP+BP+CP的最小值为2，则BC_【解析】如图将ABP绕点A顺时针旋转60得到AMG连接PG，CMAB=AC，AHBC，BAP=CAP，PA=PA，BAPCAP（SAS），PC=PB，M
6、G=PB，AG=AP，GAP=60，GAP是等边三角形，PA=PG，PA+PB+PC=CP+PG+GM，当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，AP+BP+CP的最小值为2，CM=2，BAM=60，BAC=30，MAC=90，AM=AC=2，作BNAC于N则BN=AB=1，AN=，CN=2-，BC=故答案为5、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.EA DB CNM FEA DB CNM 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处
7、时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.【解析】ABE是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.，即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形，BMMN.AMBMCMENMNCM.根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长过E点作EFBC交CB的
8、延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将ADE绕点D逆时针旋转90得到DCF，连接EF；把图形补充完整（无需写画法）； 求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值【解析】（1）如图DCF即为所求；四边形ABCD是正方形，BCAB2，B90，DAEADC45，ACAB4，ADE绕点D逆时针旋转90得到DCF，DCFDAE45，AECF，ECFACDDCF90，设AECFx，EF2y，则EC4x，y（4x）2x22x28x160（0x4）即y2（x2）28，20，x2时，y有最小值，最小值为8，当x4时，y最大值16，8EF216（2）如图中，将ABE绕点A顺时针旋转60得到AFG，连接EG，DF作FHAD于H由旋转的性质可知，AEG是等边三角形，AEEG，DFFGEGDE，BEFG，AEBEDE的最小值为线段DF的长在RtAFH中，FAH30，AB=AF，FHAF，AH，RtDFH中，DF，BEAEED最小值为
