1、专题07 半角模型在三角形中应用【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。【知识总结】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。解题技巧：在图1中，AEB由AND旋转所得，可得AEMAMN，BM+DN=MN，AMB=AMN，AB=AHCMN的周长等于正
2、方形周长的一半在图2中将ABC旋转至BEF，易得BEDBCD同理得到边角之间的关系；总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转证全等得到相关结论.1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，则BEDFEF.简证：如图，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，使得AD与AB重合，通过证明AEFAEG即可得到BEDFEF.2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，则AE平分BEF，AF平分DFE.证明：如图，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，使得AD与AB重合；将ABE绕点A逆时针旋转90得到ADH，使得AB与AD重合.
3、旋转，1H，又AFEAFH，2H，12；旋转，4G，又AEFAEG，3G，34，即AE平分BEF，AF平分DFE.3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，则.简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，过点A作AHEF交EF于点H，则AHAB.简证：由上述结论可知AE平分BEF，又ABBC，AHAB.5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，则.简证：由结论1可得EFBEDF，则CECFEFCECFBEDF2AB.6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是
4、BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：如图，将AND绕点A顺时针旋90得到AGB，连接GM.通过证明AMGAMN得MNMG，DNBG，GBE90，即可证.7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则BME DFN AMN BAN DMA AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：连接AC，DAFEAC，ADBACB，ECANDA，又AMNAFE，.【
5、补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.9.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得DAMBNA，即.10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在RtCEF中，化简得，.11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论8可得ECANDA，同理可得.12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别与BD相
6、交于点M、N，则当BEDF时，EF最小，最小，最大.证明：如图，作AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AHEF.EAF45，EOF90，设，则，来当点A、O、P、C四点共线时，即BEDF，、EF、均有最小值，有最大值【基础训练】1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.将ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是_,AFB=_.如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且PAQ=45，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.解析：ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到ABF,
7、DE=BF,AFB=AED.将ADQ绕点A按顺时针方向旋转90，则AD与AB重合，得到ABE，如图2，则D=ABE=90即点E,BP共线，EAQ=BAD=90，AE=AQ,BE=DQPAQ=45PAE=45PAQ=PAE在APE和APQ中AE=AQPAE=PAQAP=APAPEAPQ(SAS)PE=PQ而PE=PB+BE=PB+DQDQ+BP=PQABD2、如图，已知ABC中，BAC=90，AB=AC,D,E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD，当DAE=45时，求证：DE=DE；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.解析：因为ABD绕点
8、A旋转，得到ACDAD=AD，DAD=BAC=90DAE=45EAD=DAD-DAE=45在AED和AED中AE=AEEAD=AEDAD=ADAEDAEDDE=DE由（1）得AEDAED，ED=ED在ABC中，AB=AC,BAC=90B=ACB=45ABD绕点A旋转，得到ACDBD=CD,B=ACD=45BCD=ACB+ACD=45+45=903、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分EBC求证：BE=AE+CF解析：将CBF逆时针旋转90得到ABG,由旋转的性质可得AG=CF,G=BFC,ABG=CBFBF平分EBC,EBG=ABF=BFCG=EBGE
9、G=EBBE=AE+CF.4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且EAF=45，将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG，求证：EF=BE+DF.解析：如图，由题意得：ABEADGBAE=DAG,AE=AG,BE=DGFG=BE+DFBAE+FAD=FAD+DAGEAF=45，BAD=90BAE+FAD=90-45，FAG=45，EAF=FAG在EAF和GAF中，AE=AGEAF=GAFAF=AFEAFGAF（SAS）EF=FG,而FG=BE+DFEF=BE+DF来5、在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD
10、=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系，如图1，ABC是周长为9的等边三角形，则AMN的周长Q=_如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是_;QL=_点M,N在边AB,AC上，且当DMDN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE可得MBDECD(SAS)DM=DE,BDM=CDEEDM=BDC-MDN=60同理可得MDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BMAMN的周长Q=AM+AN+MN=
11、AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB等边ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6（2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时QL=23（3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）【巩固提升】1、已知：AOB和COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH（1）如图1所示，若AB8，CD2，求OH的长；（2）将COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论（1）证明：如图1中，AOB和COD均为等腰直角三角形，AB8，CD2，OAAB4，ODC
12、D，AD， OAB与OCD为等腰直角三角形，AOBCOD90，OCOD，OAOB，在AOD与BOC中，AODBOC（SAS），BCAD，点H为线段BC的中点，OHBC；（2）结论：OHAD，OHAD，如图2中，延长OH到E，使得HEOH，连接BE，点H是BC中点，BHCH，BEHCHO（SAS），OE2OH，EBCBCO，OBEEBC+OBCBCO+OBC180BOC，AOBCOD90，AOD180BOCOBE，OBOA，OCOD，BEOODA（SAS），OEAD，OHOEAD由BEOODA，知EOBDAO，DAO+AOHEOB+AOH90，OHAD2、（1）问题发现如图1，在OAB中，OAO
13、B，AOB50，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50得到点C，则AC与BD的数量关系是 （2）类比探究如图2，将COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由（3）拓展延伸COD绕点O在平面内旋转，当旋转到ODAB时，请直接写出BOD度数解析：问题发现（1）将点D绕点O顺时针旋转50得到点C，OCOD，且OAOB，ACBD，（2）结论仍然成立，理由如下：将COD绕点O在平面内旋转，CODAOB，BODAOC，且AOBO，CODO，AOCBOD（SAS）ACBD；（3）OAOB，AOB50，OABOBA65，当点D在点O左侧，ODAB，BOD+OBA180，BOD
14、115，当点D在点O右侧，ODAB，BODOBA653、如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D、E分别是AB、AC边的中点将ABC绕点A顺时针旋转a角（0a180），得到ABC（如图2），连接DB，EC（1）探究DB与EC的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：当旋转角的度数为 时，则DBAE；在旋转过程中，当点B，D，E在一条直线上，且AD时，此时EC的长为 解析：（1）DBEC，理由如下：ABAC，D、E分别是AB、AC边的中点，ADAE，由旋转可得，DAEBAC90，ABAC，DABEAC，且ABAC，ADAEADBAEC（SAS），DBEC，（2）当DBAE时，BDADAE9
15、0，又ADAB，ABD30，DAB60，旋转角60，如图3，当点B，D，E在一条直线上，AD，AB2，ADE，ABC是等腰直角三角形，BCAB4，DEAD2，由（1）可知：ADBAEC，ADBAEC，BDCE，ADBDAE+AED，AECAED+DEC，DECDAE90，BC2BE2+CE2，16（2+EC）2+CE2，CE1，4、如图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90，得到线段DE，连接AE（1）如图，当CDAC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE AD（2）如图，当CDAC时，（1）中结论是否成立？若成立，请
16、加以证明；若不成立，请说明理由（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式解析：（1）ABC是等腰直角三角形，ACB90，CABC，ACBC，BAC45ACCD，BCAC，ABBD，BACBDC45，ABD90，将DB绕点D逆时针旋转90，得到线段DE，BDDE，BDE90，DEABBD，ABDE，四边形ABDE是平行四边形，且ABD90，四边形ABDE是矩形，且ABBD，四边形ABDE是正方形，ABAE，ADAB，AB+AEAD，（2）结论仍然成立；如图过点D作DFBC交AB的延长线于点F，B
17、CDF，ADFACB90，FABC45，FDAF45，ADDF，AFAD，ADFEDB90，ADEBDF，且DEDB，ADDF，ADEFDB（SAS），AEBF，AB+AEAB+BFAFAD；（3）不成立，当点D在线段AC上时，如图，过点D作DFBC，AFDABC45，ACBADF90，DAFAFD45，ADDF，AFAD，EDB90ADF，ADEBDF，且ADDF，DEBDADEFDB（SAS）AEBF，ABBFAF，ABAEAD；当点D在CA的延长线上时，如图，过点D作DFBC，交BA延长线于点F，AFDABC45，ACBADF90，DAFAFD45，ADDF，AFAD，EDB90ADF，
18、FDBEDA，且ADDF，DEBDADEFDB（SAS），AEBF，AB+AFBF，AB+ADAE5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为 如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0a45），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45a90）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tanGAC，AG6，求BCE的面积解析：（1）AC BC，CG EC，AGACCG BCEC BE，（2）结论：如图中，所示，连接CGACGBCE，ACGBEC，（
19、3）如图中，连接CG，、ACGBEC，GACEBCAGCBEC90，AG6，BE，又tanEBCtanGAC，EBC30，在RtBEC中，tanEBC，EC，6、已知，在RtACB中，ACB90，ACBC，D是AB上一点（不与点AB重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90得到CE，连接BE（1）如图1，求证：EBD90（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG若AG：CG7：5BD2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角（1）证明：ACB90，ACBC，AABC45，将CD绕点C逆时针旋转90得到CE，DCE90，CDCE，ACDBCE，在AC
20、D和BCE中，ACDBCE（SAS），CBEA45，ABC+CBE90，EBD90；（2）解：由（1）得：ACDBCE，EBD90，ADBE，BD2AD，BD2BE，tanBDE；作DMAC于M，如图2所示：则DMBC，ADM是等腰直角三角形，2，AMDM，CM2AM2DM，tanBCEtanACDAG：CG7：5，设AG7x，则CG5x，AC12x，DMAMAC4x，MGAGAM3x，DG5x，DGCG，GDCACD，tanGDCtanACD；综上所述，图2中所有正切值为的角为BDE、ACD、BCE、GDC7、已知：在ABC中，BAC2B，ADBC，点D为BC的中点（1）如图1，求B的度数；
21、（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CHDF，垂足为点H，若DHCF+HF，探究F与FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得BPDF，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD12：5，GCPD3时，求GC的长（1）ADBC，D为BC中点，ABAC，CB，BAC2B，B+BAC+C180，B+2B+B180，B45；（2）F2FDC，理由如下：在DH上取一点N使HNHF，CHDF，HNHF，CNCF，FCNF，DHCF+HF，DHDN+HN，CFDN，CNCF，CFDN，CNDN，FDCNC
22、D，CNFFDC+NCD，F2FDC；（3）连接PC交DF于K，过点C作CMEG于M，由（2）知F2FDC，设FDC，则F2，BPDF，BPD2，ADBC，D为BC中点，BPCP，PCDPBD，BPD2，PCDPBD902，PKDPCD+FDC90，ADBC，ADF90FDC90，PKDADF，PKPD，由EF沿着EC折叠可知FECGEC，CMCH，由（1）知ABC45，ADBC，BAD45，BAC2ABC，DAC45，AED45+，FECCEGAED45+，HEG90+2，DEG902，EGC90，EKCPKD90，EGCEKC，又GMCKHC90，GMCKHC（AAS），GCCK，由BP：PD12：5，设BP12x，PD5xGCCKCPPKBPPK12x5x7xGCPD3，7x5x3x1.5GC7x10.5
