1、专题5 费马点中的对称模型与最值问题【专题说明】利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。【例题】1、如图，在ABC中，ACB=90，AB=AC=1，P是ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值【分析】如图，以AD为边构造等边ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值至于点P的位置？这不重要！如何求BD？考虑到ABC和ACD都是特殊的三角形，过点D作DHBA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果2、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_【分析】依然构造60旋转
2、，将三条折线段转化为一条直线段分别以AD、AM为边构造等边ADF、等边AMG，连接FG，易证AMDAGF，MD=GFME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FHBC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值3、如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，则的周长的最小值为_.【解析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的周长最短，最短的值是CD的长点P关于OA的对称点为C，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=3，COD=COA+POA+POB+DO
3、B=2POA+2POB=2AOB=60，COD是等边三角形，CD=OC=OD=3PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=34、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）ABCD【解析】分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（1，3），Q点坐标为（3，1），连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB
4、=4+2=6，故选B5、如图所示，点为内一点，点分别在上，求周长的最小值【解析】如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，且，为等边三角形，即周长的最小值为8.6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点
5、，将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）y=x2x，y=（x+1）（x3）A（1，0），B（3，0）当x=4时，y=E（4，）设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=直线AE的解析式为y=x+（2）设直线CE的解析式为y=mx，将点E的坐标代入得：4m=，解得：m=直线CE的解析式为y=x过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP=（x）（x2x）=x2
6、+xEPC的面积=（x2+x）4=x2+x当x=2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）点H与点K关于CP对称，点H的坐标为（，）点G与点K关于CD对称，点G（0，0）KM+MN+NK=MH+MN+GN当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GHGH=3KM+MN+NK的最小值为3（3）如图3所示：y经过点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE的中点，G（2，）FG=当FG=FQ时，点Q（3，），Q（3，）当GF=GQ时，点F与点Q关于y=对称，点Q（3，2）当QG=QF
7、时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=点Q1的坐标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）7、已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.【解析】(1)依题意,得ax2+2ax3a=0(a0)，两边都除以a得x2+2x3=0，解得x1=3,x2=1，B点在A点右侧，A点坐标为(3,0),B点坐标为(1,0
8、)，答：A.B两点坐标分别是(3,0),(1,0).证明：直线l:y=，当x=3时,y=，点A在直线l上(2)点H、B关于过A点的直线l:y=对称，AH=AB=4，过顶点H作HCAB交AB于C点，则AC=，顶点H，代入二次函数解析式,解得a=，二次函数解析式为，答：二次函数解析式为.(3)直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，由，解得，即K(3,2)，则BK=4，点H、B关于直线AK对称,K(3,2)，HN+MN的最小值是MB，过K作KDx轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK,QE=EK=2，AEQK，根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90，由勾股定理得QB=HN+NM+MK的最小值为8，
