1、（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系第十一章：小结第十一章：小结（三）各种积分的计算方法（三）各种积分的计算方法（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一型曲面积分第一型曲面积分（对面积）（对面积）第二型曲面积分第二型曲面积分（对坐标）（对坐标）第一型曲线积分第一型曲线积分（对弧长）（对弧长）第二型曲线积分第二型曲线积分（对坐标（对坐标)定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiL
2、sfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos(计计算算 dtyxtytxfdsyxfttL22)(),(),(三个代换)(dtytytxQxtytxPQdyPdxttL)(),()(),(二代一定 (与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1(CDCQdyPdx闭曲线
3、闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiiSfdSzyxf10),(lim),(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关)dSRQP)coscoscos(dSzyxf),(xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(,dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,（二）
4、（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR时时上上区区间间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上上区区域域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分 dVzyxfdMfR),()(,3时时上上区区域域当当.),()(,3 dszyxfdMfR时时上上空空间间曲曲线线当当.),()(,3 dSzyxfdMfR时时上曲面上曲面当当曲面积分
5、曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR时时上上平平面面曲曲线线当当曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系)(,d),(d),()()(21面元素面元素 dyyxfxdyxfbaxyxyD )(,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)(,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)(,)(,),(投影投影线元素线元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzd
6、xPdydz)coscoscos(dsQPQdyPdxLL)coscos()(曲曲面面元元素素dS)(dd,dd,dd(曲面元素投影曲面元素投影平面元素平面元素yxxzzy.,xyzxyzDDDxoyxozyoz面面投投影影，得得区区域域向向把把曲曲面面.),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP zxxyyzDDDdxdyyxzyxRdzdxzxzyxQdydzzyzyxP),(,),(,),(理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积
7、分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式（三）二型（三）二型积分计算积分计算,),(,),(),(,),(),(BLALyxMttytxLLyxQyxP运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方
8、程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 参数法：参数法：(,)(,)(),()()(),()()LP x y dxQ x y dyPtttQtttdt 1.1.二型二型曲线积分计算曲线积分计算格林公式：格林公式：题题等等价价：内内连连续续，则则下下述述四四个个命命一一阶阶偏偏导导数数在在及及其其是是平平面面单单连连通通区区域域，设设定定理理DyxQyxPD),(),(2.),(,)4(DyxyPxQ ;),(,),(3DyxQdyPdxduyxu 使得使得存在二阶连续可导函数存在二阶连续可导函数）（内与积分路径无关；内与积分路径无关；在在DQdyPdxL )2(;0,1 LQdy
9、PdxLD内内任任意意一一条条闭闭路路径径对对）（积分与路径无关：积分与路径无关：),(yxfz xyDxyzon.,.,重积分重积分化为三个坐标面上的二化为三个坐标面上的二进行三个代换进行三个代换面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面xyzxyzDDDxoyxozyoz2.2.二型二型曲线积分计算曲线积分计算投影法投影法dSzyxR cos),(xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(,1,yxzzn ,0cos 取取上上侧侧，若若公公式式得得由由第第一一类类曲曲面面积积分分计计算算 dxdyzyxR),(积积分分进进行行三三个个代代换换化化为为二二重重注：注：“一投一
10、投,二代二代,三定号三定号”xyDxoy)1(面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面.),()2(代代入入被被积积函函数数的的方方程程把把曲曲面面yxfz.)3(符号取正号符号取正号dxdyzzdSzzyxyx22221 ,11cos ,0cos,取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则则有有给给出出由由如如果果,),(.2zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则则有有给给出出由由如如果果,),(.3xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意:(1):(1)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必
11、须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.注：注：“一投一投,二代二代,三定号三定号”xyDxoy 面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面yzDyoz 面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面xzDxoz 面投影，得区域面投影，得区域向向把曲面把曲面(2)若投影域面积是零，则积分值是零。若投影域面积是零，则积分值是零。.0,Pdxdyz则则轴轴的的柱柱面面是是母母线线平平行行于于若若).10,0,0(,1:);10(,1:,)1(2221 zyxyxzyxdxdyyxI例例如如积积分分.0,021 xyzO n1 2.cos,cos,cosdSdxdydSdzdxdSdydz xyOd
12、SzdSdydzcos dSdxdycos(,)(,)(,).P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy dSdxdz cos.cos,coscos,cosdSdxdydSdzdxdSdydz ),(yxzz 方程：方程：设曲面设曲面 yxzyxRyxzyxQyxzyxPdd),(ddcoscos),(ddcoscos),(三合一投影法）三合一投影法）(,)d d(,)d d(,)d dxyP x y z zx y Q x y z zx y R x y z x y 则则上上连连续续在在及及其其一一阶阶偏偏导导数数曲曲面面为为光光滑滑或或者者分分片片光光滑滑闭闭其其边边界界曲曲面面设设空空间间有有界界闭闭区区域域高高斯斯定定理理定定理理,),(),(),(,:)(1 zRyQxPzyxRzyxQzyxP)1()(RdxdyQdzdxPdydzdVzRyQxP.取取外外侧侧位位正正向向其其中中高斯公式：高斯公式：
