1、第2课时 函数的最大值、最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让，让我们来研究我们来研究 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值.1.1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）重点）2.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）（难点）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：yxox0
2、图图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值【解答解答】第一个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A A,第二个函数图第二个函数图象有最高点象有最高点B B,也就是说也就是说,这两个函数的图象都有最高这两个函数的图象都有最高点点.思考思考2 2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则则对函数定义域内任意自变量对函数定义域内任意自变量x,f(x)x,f(x)与与M M的大小关系如的大小关系如何何?【解答解答】f(x)M f(x)M思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即
3、是函数的最大值！是函数的最大值！函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_。那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值.请同学们仿此给请同学们仿此给出函数最小值的出函数最小值的定义定义f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=M函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高函数图象在最高点处的函数值是
4、函数在点处的函数值是函数在整个定义域整个定义域上最大的值上最大的值.对于函对于函数数f(x)=-xf(x)=-x2 2而言，即对于函数定义域中任意的而言，即对于函数定义域中任意的xRxR，都有都有f(x)f(0)f(x)f(0)函数最大值的函数最大值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图象有最高当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值点时，我们就说这个函数有最大值.当当一个一个函数函数的的图象图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.图图1yox0 xmxyox0图图2m观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：探究点探究点2 2 函
5、数的最小值函数的最小值思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值的最小值,即函数的最小值即函数的最小值.思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？值？函数最小值的定义：函数最小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定的定义域为义域为I I，如果存在实数，如果存在实数N N满足：满足：（1 1）对任意的）对任意的
6、，都有，都有_；（2 2）存在）存在 ，使得，使得_._.那么，我们就称那么，我们就称N N是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值.xI0 xIf(x)f(x)N Nf(xf(x0 0)=N)=N函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对对于函数于函数f(x)=xf(x)=x2 2而言，即对于函数定义域中任意的而言，即对于函数定义域中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0).f(x)f(0).最小值的最小值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图
7、象有最低当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值点时，我们就说这个函数有最小值.当当一个一个函数函数的的图图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.例例4.4.已知函数已知函数 ，求函数的最大，求函数的最大值和最小值。值和最小值。2()(2,6)1f xxx解：解：设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间2,62,6上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2 12122121121222()()112(1)(1)2().(1)(1)(1)(1)fxfxxxxxxxxxxx则则单调性求单调性求最值最值12211226
8、,0,(1(1)0,xxxxxx由由得得）1212()()0,()().f xf xf xf x于于是是即即所以，函数所以，函数 是区间是区间2,62,6上的减函数上的减函数.因此，函数因此，函数 在区间在区间2,62,6的两个端点上分的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在别取得最大值与最小值，即在x=2x=2时取得最大值，最时取得最大值，最大值是大值是2 2，在，在x=6x=6时取得最小值，最小值是时取得最小值，最小值是0.4.0.4.2fx=x-1（）2fx=x-1（）1 1设二次函数设二次函数f(x)=xf(x)=x2 2+4x-3+4x-3，函数值，函数值f(2),f(1),f(2)
9、,f(1),f(-1),f(5)f(-1),f(5)中，最小的一个是中，最小的一个是()()A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)【解析解析】由题意知抛物线的对称轴为由题意知抛物线的对称轴为x=-2x=-2，函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4x-3+4x-3在在-2,+)-2,+)上是增函数，有上是增函数，有f(-1)f(-1)f(1)f(1)f(2)f(2)f(5).f(5).C C2.2.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4ax+2+4ax+2在区间在区间 (-(-，66内递减，内递减，则则a a的取值范围是的取值
10、范围是()()A.a3 B.a3A.a3 B.a3C.a-3 D.a-3C.a-3 D.a-3D D【解析解析】二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为x=-2ax=-2a 故只需故只需-2a 6,-2a 6,即即a-3a-33.3.函数函数y=xy=x2 2,x,x-1-1，2 2的最大值为的最大值为_._.【解析解析】函数函数y=xy=x2 2在在-1,0-1,0上为减函数，在上为减函数，在0,20,2上为增函数上为增函数.当当x=-1x=-1时，时，y=1y=1；当；当x=2x=2时，时，y=4y=4，所以函，所以函数数y=xy=x2 2在在xx-1,2-1,2上的最大值为上的最大值为4.4.4，.1.1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质函数的最值是函数在其定义域上的整体性质.2.2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性可以直接使用函数的单调性.3.3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.
