1、第一章第一章 数的整除数的整除公倍数与最小公倍数 思考 在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁1号线和轨道交通3号线早晨6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？遇到这种问题我们怎么做？我们说，我们说，1号线发车间隔一定是号线发车间隔一定是3的倍的倍数，数，3号线是号线是4的倍数。那么显然，这的倍数。那么显然，这个问题可以化作求个问题可以化作求3和和4的的公公有的倍数。有的倍数。3和和4的公倍数的公倍数4的倍数的倍数3的倍数的倍数12、243、6、9、15、18、21、274、8、16、20、28 如果要这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖都如果要这
2、种墙砖铺一个正方形（用的墙砖都是整块）。正方形的边长可以是多少分米？最小是整块）。正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？是多少分米？这种墙砖长这种墙砖长3dm3dm，宽宽2dm2dm。6厘米厘米3厘米厘米2厘米厘米6厘米厘米6厘米厘米3厘米厘米2厘米厘米6厘米厘米 12厘米厘米3厘米厘米2厘米厘米 12厘米厘米 18厘米厘米 18厘米厘米3的倍数3，6，9，12，15，18，2的倍数2，4，6，8，10，12，16，18，3，6，9，12，15，18，2，4，6，8，10，12，16，18，可以铺出边长是6dm，12dm，18dm，的正方形，最小的正方形边长是6dm。3的倍数2的倍数3，
3、9，15，2，4，8，10，14，16，6，12，18，最小公倍数公倍数6我们看一下具体的概念 几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。班长说：班长说：“我们可以分成我们可以分成6人一组，也可人一组，也可以分成以分成8人一组，都正好分完。人一组，都正好分完。”请大家猜猜请大家猜猜这些学生可能有几人？这些学生可能有几人？动脑筋：动脑筋：暑假期间，小华、小明和小芳都去参加游泳暑假期间，小华、小明和小芳都去参加游泳训练。小华每训练。小华每3天去一次，小明每天去一次，小明每4天去一次，天去一次，小芳每小芳每6天去一次天去一次.8月月1日三人都去参加了游泳日三人都去参加
4、了游泳训练，几月几日他们又再次一起参加训练？训练，几月几日他们又再次一起参加训练？那么我们就有了这样几个问题：两个数的公倍数的个数有限吗？几个素数和互素的数有公倍数吗？怎样去求两个数的公倍数和最小公倍数？无限个！有！怎样求6和8的最小公倍数？观察：两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系？4看看8 8的倍数中的倍数中有哪些是有哪些是6 6的的倍数倍数6 6和和8 8的公倍数有很多呢。的公倍数有很多呢。你还有其他方法吗？和同学讨论一下。你还有其他方法吗？和同学讨论一下。求两个数的最小公倍数的方法：1、列举法 2、分解素因数法 3、短除法1、在、在2的倍数上画的倍数上画“”,在在5的倍数上画
5、的倍数上画“”。1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 20202121 2222 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 30302和和5的公倍数有的公倍数有 ，最小公倍数是，最小公倍数是 。10、20、30102、把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出它们的最小公倍数。6的倍数8的倍数6的倍数8的倍数6和8的公倍数6、12、18、24、30、36、42、488、16、24、32、40、4824、486、12、18、30、36、428
6、、16、32、40如果这些学生的总人数在如果这些学生的总人数在40人以内，可能是多少人？人以内，可能是多少人？4，8，12，16，20，2428，32，36，406，12，18，24，30，3640以内以内4的倍数的倍数40以内以内6的倍数的倍数4，8，12，16，20，2428，32，36，406，12，18，24，30，36咱们可以分成咱们可以分成4 4人一组，人一组，也可以分成也可以分成6 6人一组，人一组，都正好分完。都正好分完。40以内以内4的倍数的倍数40以内以内6的倍数的倍数4，8，16，20，28，32，406，18，30122436这些学生的人数可能是这些学生的人数可能是12
7、、24、36人人 写出写出6 6和和9 9的公倍数。的公倍数。6 6的倍数：的倍数：6 6，1212，1818，2424，3030，3636，4242，4848，54549 9的倍数：的倍数：9 9，1818，2727，3636，4545，5454，6363 6 6和和9 9的公倍数有：的公倍数有：1818，3636，5454 6 6和和9 9的最小的公倍数是的最小的公倍数是1818。我们可以用下图表示我们可以用下图表示6 6和和9 9的的公倍数。公倍数。，1212，30304242，4848 1818363654549 9，27274545，6363 6 6的倍数的倍数9 9的倍数的倍数6
8、6和和9 9的的公倍数的的公倍数 像这种把倍数分别写出然后找出相同倍数的方法我们称之为列举法。这种方法可以很快的找出比较小的公倍数，但是一般只有在数字较小的时候用的比较多。例如找出12和18的公倍数。1、找倍数找倍数，从小到大依次找出各个数的倍数。，从小到大依次找出各个数的倍数。列举法：2、找公有找公有，把各个数的倍数进行对照找出公有的倍数。，把各个数的倍数进行对照找出公有的倍数。3、找最小找最小，从公有的倍数中找出最小的一个。，从公有的倍数中找出最小的一个。12的倍数有：的倍数有：18的倍数有：的倍数有：12、24、36、48、60、7218、36、54、72、90、10812和和18的公倍
9、数有：的公倍数有：12和和18的最小公倍数是：的最小公倍数是：有没有最大的公倍有没有最大的公倍数？为什么？数？为什么？注意省略号注意省略号36、7236 1.1.把把5050以内以内6 6和和8 8的倍数、公的倍数、公倍数分别填在下面的圈内，再倍数分别填在下面的圈内，再找出它们的最小公倍数。找出它们的最小公倍数。6 6的倍数的倍数8 8的倍数的倍数 6 6，1212，18182424，3030，3636 42 42，48488 8，1616，24243232，4040，48486 6的倍数的倍数8 8的倍数的倍数6 6和和8 8的公倍数的公倍数 6,12,18 6,12,18 30,36,42
10、30,36,42 8,16 8,16 32,4032,40242448484 4和和5 5的公倍数有的公倍数有_ 最小公倍数是最小公倍数是 。4 4和和6 6的公倍数有的公倍数有 最小公倍数是最小公倍数是 。5 5和和6 6的公倍数有的公倍数有 最小公倍数是最小公倍数是 。那我们再看这样的问题 求34和78的最小公倍数。显然，这种比较大的数字我们再用这种方法就很困难了。那我们怎么办？6和和15 16和和12 15和和20 21和和28找出下面每组数的最小公倍数找出下面每组数的最小公倍数30 84 48 60 6=2*3 15=3*56和15的公倍数里，应该包括6和15所有的素因数，所以分别取出
11、公有的部分3，然后再去各自剩余的2和5，连乘即可。我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。地求出两个数的最小公倍数。例如：例如：60=260=22 23 3 5 5 42=2 42=22 2 7 7 60 60和和4242的最小公倍数的最小公倍数=2=23 32 25 57=4207=420知道吗知道吗这种方法叫什么？我们说，把每个数分别分解素因数，然后把相同的因数提取出来，只取一个，然后把其他的因数都放在一起连乘，得到的结果就是最小公倍数。我们说，分解素因数的方法：短除法 怎样用短除法求最小公倍数？求求1212和和1818的最
12、小公倍数。的最小公倍数。1 21 21 81 82 26 6 9 93 32 2 3 3用公有因数2除用公有因数3除除到公因数只有1为止1212和和1818的最小公倍数是：的最小公倍数是：想一想：想一想：从短除式中能看出从短除式中能看出36是是12、18的多少倍吗的多少倍吗？36是是12的的3倍倍36是是18的的2倍倍短除法：求最大公因数是把所求最大公因数是把所有的除数连乘起来，有的除数连乘起来，就得到这两个数的最就得到这两个数的最大公因数大公因数求最小公倍数是把所有的除数和求最小公倍数是把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。这两个数的最小
13、公倍数。232336 短除法短除法求求6 6和和1515的最小公倍数。的最小公倍数。6 61 51 53 32 2 5 5用公因数3除除到公因数只有1为止6 6和和1515的最小公倍数是：的最小公倍数是：32530 24和182 42 41 81 83 38 8 6 62 24 43 3除以公因数除以公因数3 3除以除以公因数公因数2 2除到两个商是互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止2424和和1818的最小公倍数是：的最小公倍数是：2424和和1818的最大公因数是：的最大公因数是：324372326 24和122 42 41 21 24 46 6 3 33 32 2
14、1 1除以公因数除以公因数4 4除以除以公因数公因数3 3除到两个商是互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止2424和和1212的最小公倍数是：的最小公倍数是：2424和和1212的最大公因数是：的最大公因数是：432124431218和91 81 8 9 99 92 2 1 1除以公因数除以公因数9 9除到两个商是互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止1818和和9 9的最小公倍数是：的最小公倍数是：1818和和9 9的最大公因数是：的最大公因数是：92118914和211 41 42 12 17 72 2 3 3除以公因数除以公因数7 7除到两个商是
15、互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止1414和和2121的最小公倍数是：的最小公倍数是：1414和和2121的最大公因数是：的最大公因数是：723427 两个数是倍数关系（一两个数是倍数关系（一个数是另一个数的倍数）个数是另一个数的倍数），它们的最小公倍数就，它们的最小公倍数就是较大的那个数。是较大的那个数。两个数成倍数关系时，两个数成倍数关系时，较小的数就是这两个较小的数就是这两个 数的最大公因数数的最大公因数45和304 54 53 03 05 59 9 6 63 33 32 2除以公因数除以公因数5 5除以除以公因数公因数3 3除到两个商是互质数公因数只有除到两个商
16、是互质数公因数只有1 1为止为止4545和和3030的最小公倍数是：的最小公倍数是：4545和和3030的最大公因数是：的最大公因数是：5332905315 16和201 61 62 02 04 44 4 5 5除以公因数除以公因数4 4除到两个商是互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止1616和和2020的最小公倍数是：的最小公倍数是：1616和和2020的最大公因数是：的最大公因数是：44580415和251 51 52 52 55 53 3 5 5除以公因数除以公因数5 5除到两个商是互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止1515和和2525的最小
17、公倍数是：的最小公倍数是：1515和和2525的最大公因数是：的最大公因数是：53575510和121 01 01 21 22 25 5 6 6除以公因数除以公因数2 2除到两个商是互质数公因数只有除到两个商是互质数公因数只有1 1为止为止1010和和1212的最小公倍数是：的最小公倍数是：1010和和1212的最大公因数是：的最大公因数是：256602判断：两个数的公倍数一定比这两个数都大。（两个数的公倍数一定比这两个数都大。（)分析：分析：当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数就当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数就是其中较大的那个数。是其中较大的那个数。判断：不相同的两个数的最小公倍数
18、一定比它们的不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。最大公因数大。（)例例:4和和6的最大公因数是的最大公因数是2；最小公倍数是；最小公倍数是12判断：48既能被既能被8整除，又能被整除，又能被6整除，所以整除，所以48是是8和和6 的最小公倍数。（的最小公倍数。（)分析：分析：两个数的公倍数是无限个，但最小公倍数只有两个数的公倍数是无限个，但最小公倍数只有1个，个，48只是只是8和和6的公倍数，而不是最小公倍数。的公倍数，而不是最小公倍数。先分别找出每组数的最小公倍数，再仔细观察。先分别找出每组数的最小公倍数，再仔细观察。你能发现什么？你能发现什么？6和和7 8和和24 4和和9
19、 12和和36 5和和13 11和和33423665243633两个数的公因数只有两个数的公因数只有1时，时，它们的最小公倍数就是它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。这两个数的乘积。两个数是倍数关系（一两个数是倍数关系（一个数是另一个数的倍数）个数是另一个数的倍数），它们的最小公倍数就，它们的最小公倍数就是较大的那个数。是较大的那个数。找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么？找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么？3 3和和6 26 2和和8 58 5和和6 46 4和和9 93 3和和6 6的最小公倍数是的最小公倍数是6 6。2 2和和8 8的最小公倍数是的最小公倍数是8 8。5 5和和
20、6 6的最小公倍数是的最小公倍数是3030。4 4和和9 9的最小公倍数是的最小公倍数是3636。两个数是互质数关两个数是互质数关系，它们的最小公倍数系，它们的最小公倍数就是它们的乘积。就是它们的乘积。两个数是倍数关两个数是倍数关系，它们的最小公倍系，它们的最小公倍数就是较大的数。数就是较大的数。从前有个长工，在巴依老爷家干了一年也没有从前有个长工，在巴依老爷家干了一年也没有拿到一个铜板。长工们于是自发地组织了起来并邀拿到一个铜板。长工们于是自发地组织了起来并邀请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说：着烟斗冷笑着说：“工资我可以给
21、你，不过我的钱工资我可以给你，不过我的钱都在我的账房先生那里。从八月一日起，我要连续都在我的账房先生那里。从八月一日起，我要连续出去收账出去收账3 3天才休息一天，我的账房先生要连续收账天才休息一天，我的账房先生要连续收账5 5天才可以休息一天，你们就在我们两人同时休息的天才可以休息一天，你们就在我们两人同时休息的时候来吧。我肯定给钱。时候来吧。我肯定给钱。”阿凡提动了动脑筋，便阿凡提动了动脑筋，便带长工们离开了。到了某天，他真的从巴依老爷家带长工们离开了。到了某天，他真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。帮长工拿到了工钱。请大家想一想，阿凡提是哪天去巴依老爷家的？请大家想一想，阿凡提是哪天去巴依老爷家的？他用的是什么办法找到这个日期的？他用的是什么办法找到这个日期的？阿凡提的故事阿凡提的故事
