1、代数发展史 总述数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100100多多个分支的个分支的“共和国共和国”，这个，这个“共和国共和国”中的中的“三三大联邦大联邦”就是代数学，几何学以及分析学，而我就是代数学，几何学以及分析学，而我们今天所要学习的就是代数这个最古老的分支的们今天所要学习的就是代数这个最古老的分支的历史，从古老的算术，到丢番图，笛卡尔发明的历史，从古老的算术，到丢番图，笛卡尔发明的初等代数，到现如今的高等代数，抽象代数，数初等代数，到现如今的高等代数，抽象代数，数论，代数学是巴比伦人，希腊人，阿拉伯人，中论，代数学是巴比伦人，希腊人，阿拉伯人，中
2、国人，印度人，西欧人一棒接着一棒而完成的伟国人，印度人，西欧人一棒接着一棒而完成的伟大成就。大成就。整体脉络1.1.算术与数的进制算术与数的进制2.2.数的表示与数的扩充数的表示与数的扩充3.3.数学符号与代数运算数学符号与代数运算4.4.方程求解与抽象代数方程求解与抽象代数1.1 算术高斯说：高斯说：“算术给予我们一个用之不竭、算术给予我们一个用之不竭、充满乐趣的宝库。充满乐趣的宝库。”中国古代的政治制度，很大程度决定了中国古代的政治制度，很大程度决定了中国数学中中国数学中“算算”占据了最主要的地位，占据了最主要的地位，所以毋庸置疑的是，中国古代数学对于所以毋庸置疑的是，中国古代数学对于算术
3、的重视程度和取得的成就都是世界算术的重视程度和取得的成就都是世界上数一数二的，而传承下来的著作，解上数一数二的，而传承下来的著作，解决掉的难题和让人拍案叫绝的计算方法决掉的难题和让人拍案叫绝的计算方法仍是当今数学界的瑰宝。仍是当今数学界的瑰宝。1.1.1 中国古代数学的伟大成就 九章算术九章算术我国古代最著名的传世数学之作，又是中国九章算术我国古代最著名的传世数学之作，又是中国古代最重要的数学典籍，而这部著作大约成型于汉代古代最重要的数学典籍，而这部著作大约成型于汉代(约为约为公元公元1 1世纪世纪)后经刘徽，李淳风，祖冲之，杨辉后经刘徽，李淳风，祖冲之，杨辉(主要是前两主要是前两人人)等人作
4、注，为世界数学的发展添上了浓墨重彩的一笔。等人作注，为世界数学的发展添上了浓墨重彩的一笔。而这部著作的巨大贡献体现在著作本身蕴涵的数学意义和而这部著作的巨大贡献体现在著作本身蕴涵的数学意义和后人对该书所作的注释中所蕴涵的数学思想，这极大的影后人对该书所作的注释中所蕴涵的数学思想，这极大的影响了后世的数学家。响了后世的数学家。九章算术实际上是九章算术实际上是246246道应用题及其解法的汇编，而在道应用题及其解法的汇编，而在这这246246道应用题中蕴涵了许多在世界上遥遥领先的数学成果，道应用题中蕴涵了许多在世界上遥遥领先的数学成果，如勾股定理，方程思想，数列求和，正负数，而汉朝数学如勾股定理，
5、方程思想，数列求和，正负数，而汉朝数学家们运用极为精妙的算术方法一一为看似不可能在那个时家们运用极为精妙的算术方法一一为看似不可能在那个时代解决的问题给出了正确的解答。代解决的问题给出了正确的解答。1.1.2 九章算术第196题：两鼠穿墙问题今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几尺？问几何日相逢？各穿几尺？用今天的办法，设大鼠和小鼠在用今天的办法，设大鼠和小鼠在x x日后相逢：日后相逢：我们得出这样的一个用数列求和的等式：我们得出这样的一个用数列求和的等式：1111
6、24215242xx 1.1.3 求解过程这里不仅涉及到数列求和的问题，还有超越方程的问这里不仅涉及到数列求和的问题，还有超越方程的问题！求解这样的一个方程可能对于现在的我们都有一题！求解这样的一个方程可能对于现在的我们都有一定的困难，但是九章算术却巧妙的解出了此题。定的困难，但是九章算术却巧妙的解出了此题。由数列求和公式得：由数列求和公式得：11()12251121()2xx 做变换：令做变换：令2xt2420tt 得方程：得方程：解之，得：解之，得：26t 1.1.3“盈不足术”具体解法如下：具体解法如下：解：假设两只老鼠打洞解：假设两只老鼠打洞2 2天，则仍差天，则仍差5 5寸寸(1(1
7、寸为寸为0.10.1尺尺)，不能把墙打穿，假设打洞，不能把墙打穿，假设打洞3 3天，就会多天，就会多出出3 3尺尺7 7寸半，这样一来，便化繁为简，成为寸半，这样一来，便化繁为简，成为了典型的了典型的“盈不足盈不足”问题：问题：2 3.753 0.5223.750.517 2812431717112911241717 两只老鼠相遇的两只老鼠相遇的天数天数(单位单位:天天)：相会时，大、小老鼠分相会时，大、小老鼠分别穿墙别穿墙(单位单位:尺尺)：对于两鼠穿墙问题，九章算术给出的解法便是享誉对于两鼠穿墙问题，九章算术给出的解法便是享誉古今的古今的“盈不足术盈不足术”。(回忆一下，这是我们小学时学过
8、回忆一下，这是我们小学时学过的的)1.2 数的进制在人类的记数史上，许多民族先后创造了许多在人类的记数史上，许多民族先后创造了许多记数符号和记数方法，同时也建立了相应的进记数符号和记数方法，同时也建立了相应的进位制度，如十进制，五进制，二进制等等。而位制度，如十进制，五进制，二进制等等。而其中最为重要的当然是十进制记数法。其中最为重要的当然是十进制记数法。十进制产生的原因与人有十个指头有关，因为十进制产生的原因与人有十个指头有关，因为当人类尚处于屈指数当人类尚处于屈指数“数数”的阶段时，人们利的阶段时，人们利用手指的屈或伸，记不大于十的数目是不会有用手指的屈或伸，记不大于十的数目是不会有什么困
9、难的，而对于大于十的数目，就感到屈什么困难的，而对于大于十的数目，就感到屈指难数了。于是，指难数了。于是，“十十”就成了记数的一个关就成了记数的一个关键点，它迫使人们去创造一种可以记十以上数键点，它迫使人们去创造一种可以记十以上数的办法。的办法。1.2.1 十进制的发明在伊朗考古学家发现距今五千年前人们使用小泥锥体在伊朗考古学家发现距今五千年前人们使用小泥锥体来表示来表示1 1，而用大一些的泥球来表示，而用大一些的泥球来表示1010，这应该是世，这应该是世界上最早的十进制的发源地。界上最早的十进制的发源地。而我国也是较早使用十进制记数的国家，早在三四千而我国也是较早使用十进制记数的国家，早在三
10、四千年前，我国的祖先已经发明了在龟甲和兽骨上刻写的年前，我国的祖先已经发明了在龟甲和兽骨上刻写的数码字，并且采用十进制记数了，甲骨文数码共有九数码字，并且采用十进制记数了，甲骨文数码共有九个：个：另有四个表示十、百、千、万的位值符号：另有四个表示十、百、千、万的位值符号：提问：你还可以说出哪些中国古代的数学名著呢？你还可以说出哪些中国古代的数学名著呢？你还知道哪些中国古代数学的著名方法呢？你还知道哪些中国古代数学的著名方法呢？除了十进制现在还有哪种进制方式也在深除了十进制现在还有哪种进制方式也在深刻地影响着我们的生活呢？刻地影响着我们的生活呢？2.1 数的表示历史上数的表示由繁至简经历了非常漫
11、长的过程。历史上数的表示由繁至简经历了非常漫长的过程。中国甲骨文数字，罗马数字，玛雅数字是不同地中国甲骨文数字，罗马数字，玛雅数字是不同地域的数的表示法。域的数的表示法。阿拉伯数字则是阿拉伯数学家花拉子米在印度游阿拉伯数字则是阿拉伯数学家花拉子米在印度游学后向西方推广的，最终在补充了学后向西方推广的，最终在补充了”0”0”之后成为之后成为了使用最广的数字表示法。了使用最广的数字表示法。2.2 数的扩充历史上的数经历了这样的一个扩充过程：历史上的数经历了这样的一个扩充过程：复数复数(加入了虚数加入了虚数)整数整数(加入了负整数加入了负整数)有理数有理数(加入了分数加入了分数)实数实数(加入了无理
12、数加入了无理数)自然数自然数(其实是正整数其实是正整数)非负数非负数(加入了数字加入了数字”0”)提问：你知道第一次数学危机是因为哪个数的你知道第一次数学危机是因为哪个数的产生而引发的吗？可以说说关于它的故产生而引发的吗？可以说说关于它的故事吗？事吗？3.1 数学符号数学符号的发展跨越了数学符号的发展跨越了1 1千多年的历史，从第一阶段的千多年的历史，从第一阶段的”文字叙述代数文字叙述代数”(公元三世纪以前公元三世纪以前)到第二阶段的到第二阶段的”简化代简化代数数”(约为公元三世纪到约为公元三世纪到1616世纪世纪)最后再到第三阶段的最后再到第三阶段的”符符号代数号代数”。在这其中，丢番图，以
13、及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了在这其中，丢番图，以及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用x,y,zx,y,z代表未知量，用代表未知量，用a,b,ca,b,c代表已知量。代表已知量。而其他的另外一些学者，则引入了：而其他的另外一些学者，则引入了：这些我们已经非常熟悉的运算符号，至此，代数这些我们已经非常熟悉的运算符号，至此，代数也走进了她的下一个时代。也走进了她的下一个时代。,3.2 代数运算引入数学符号之后，人们开始对于方程，方程组的叙述做引入数学符号之后，人们开始对于方程，方程组的叙述做到了简约而不简单，而这
14、个极大的简化也正式将代数运算到了简约而不简单，而这个极大的简化也正式将代数运算推上了历史的舞台。推上了历史的舞台。而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是大大而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是大大的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和科学研究的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和科学研究中占据重要地位的数学问题的研究，最终导致了新的数学中占据重要地位的数学问题的研究，最终导致了新的数学学科的发现。学科的发现。可以说，数学符号和代数运算不仅仅是一个简单的用符号可以说，数学符号和代数运算不仅仅是一个简单的用符号代替繁琐的文字的过程，而更是与各种数学思想方法一样，代替繁琐的
15、文字的过程，而更是与各种数学思想方法一样，都是人类智慧的伟大结晶。都是人类智慧的伟大结晶。4.1 方程求解作为中学数学课程中的主要内容的初等作为中学数学课程中的主要内容的初等代数，中心内容之一便是方程理论，而代数，中心内容之一便是方程理论，而作为方程理论中最为基本和重要的方程作为方程理论中最为基本和重要的方程求解问题的一般性结论也是从古至今数求解问题的一般性结论也是从古至今数学家们一直在追寻的。学家们一直在追寻的。4.1.1 多元一次方程组的解法对于多元一次方程组的问题，睿智的古对于多元一次方程组的问题，睿智的古代数学家们早已给出了解决的办法，代数学家们早已给出了解决的办法，九章算术中就有专门
16、的一章九章算术中就有专门的一章”方程方程”来求解此类问题。运算采用的是被称为来求解此类问题。运算采用的是被称为”遍乘直除遍乘直除”的方法，而这种方法实际上的方法，而这种方法实际上便是现在我们常用解决多元一次方程组便是现在我们常用解决多元一次方程组的加减消元法。的加减消元法。4.1.2 一元二次方程的解法 而我们现在熟知的一元二次方程的求根公而我们现在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米在式是由花拉子米在600600年后建立的年后建立的:2240,2bbacaxbx cxa 而公元而公元3 3世纪，中国数学家赵爽则对于一元世纪，中国数学家赵爽则对于一元二次方程二次方程2xkxc 给出了一个根
17、的公式给出了一个根的公式21(4)2xkkc4.1.3 一元三次，四次方程的解法三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。卡丹公式卡丹公式(三次方程三次方程)：3(,;,0)xpxq p qR p q232333,()(),()()223223xabqqpqqpab方程的解为：方程的解为：含二次项的三次方程可以化为不含二次项的三次方程，只需令含二次项的三次方程可以化为不含二次项的三次方程，只需令其中的其中的x=y+
18、a,其中其中a待定。待定。而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。4.1.4 韦达定理和代数基本定理韦达定理是在我们的学习中极其重要的定理，但是完整的韦达定韦达定理是在我们的学习中极其重要的定理，但是完整的韦达定理我们却并不熟悉：理我们却并不熟悉：101100(0)nnnna xa xaxaa韦达定理：对韦达定理：对n次方程，次方程，1,nxx它的它的n个根个根 满足公式：满足公式：1210031200,(1)niijiijnnijknijkaaxx xaaaax x xx xxaa 而另一个在代数史上占有重要地位的便是代数基本定理：
19、复系数而另一个在代数史上占有重要地位的便是代数基本定理：复系数n次代数方程在复数范围内有次代数方程在复数范围内有n个根。而这两个定理也为代数方程的个根。而这两个定理也为代数方程的理论研究带来了极大的便利。而这之后数学史上最具浪漫色彩的理论研究带来了极大的便利。而这之后数学史上最具浪漫色彩的两位数学家的诞生也揭开了抽象代数神秘的面纱。两位数学家的诞生也揭开了抽象代数神秘的面纱。4.2 抽象代数的萌芽抽象代数也是人们研究代数方程的产物。抽象代数也是人们研究代数方程的产物。1818世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根的方世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根的方法，但是屡战屡败，而法国
20、数学家拉格朗日发表论文关法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表论文关于代数方程解的思考，他认为次数不低于五次的方程的于代数方程解的思考，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代。即抽象代数时代。
21、4.2.1 阿贝尔厄米特评价阿贝尔：厄米特评价阿贝尔：“他工作中丰富的数他工作中丰富的数学思想可以让数学家学思想可以让数学家们忙碌们忙碌500500年。年。”他的论文高于四次他的论文高于四次的一般方程的代数求的一般方程的代数求解不可能性的证明解不可能性的证明是代数学发展史上里是代数学发展史上里程碑式的重大突破。程碑式的重大突破。4.2.2 伽罗瓦罗素说，他的死使数学的发罗素说，他的死使数学的发展推迟了几十年。展推迟了几十年。伽罗瓦最主要的成就是提出伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整问题
22、，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。理论。作为这个理论的推论，可以作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、根式不可解，以及用圆规、直尺直尺(无刻度的尺无刻度的尺)三等分任三等分任意角和作倍立方体不可能等意角和作倍立方体不可能等结论。结论。(即三大几何作图问题即三大几何作图问题)4.2.3 抽象代数简述抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。抽象代数是研究各种抽象的公
23、理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群、环、伽罗瓦理论、格论等许多分支，并与数学包含有群、环、伽罗瓦理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、其它分支相结合
24、产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。学的通用语言。提问：你知道证明代数基本定理的第一人是谁吗？你知道证明代数基本定理的第一人是谁吗？你还知道哪些高等代数或是抽象代数中的你还知道哪些高等代数或是抽象代数中的数学概念呢？数学概念呢？伽罗瓦利用代数方法证明了三大几何作图伽罗瓦利用代数方法证明了三大几何作图问题的不可作给我们什么启发呢？问题的不可作给我们什么启发呢？小结从古老的算术的纯数字运算发展到如今代数已从古老的算术的纯数字运算发展到如今代数已经成为一门关于形式运算的一般学说了，现在经成为一门关于形式运算的一般学说了，现在我们认为代数是研究一般代数系统的一门科学。我们认为代数是研究一般代数系统的一门科学。代数作为世界上最长寿的科学，在历史长河中代数作为世界上最长寿的科学，在历史长河中总是熠熠放光，她带给我们的财富和启迪是取总是熠熠放光，她带给我们的财富和启迪是取之不尽的，而她的历史也将继续灿烂下去！之不尽的，而她的历史也将继续灿烂下去！谢谢 谢！谢！放映结束 感谢各位批评指导！让我们共同进步本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
