1、借助直观借助直观 理解算理理解算理 构建算法构建算法以竖式教学为例谈计算教学的一般过程以竖式教学为例谈计算教学的一般过程熊口小学 何雄燕关于竖式关于竖式12关于算法多样化关于算法多样化3关于竖式教学关于竖式教学 竖式是什么？竖式是什么？1、一年级下册两位数加两位第一次出现加法竖式，教师用书中一年级下册两位数加两位第一次出现加法竖式，教师用书中指出：竖式是把计算过程按一定程序记录下来的，用竖式计算，指出：竖式是把计算过程按一定程序记录下来的，用竖式计算，减少了记忆的过程，具有普适性。多位数的四则运算经常用这减少了记忆的过程，具有普适性。多位数的四则运算经常用这种计算形式。种计算形式。2、如何培养
2、学生数感如何培养学生数感一书中指出：一书中指出：在学习更为复杂的计算在学习更为复杂的计算情况下，首先会用到笔和纸情况下，首先会用到笔和纸,并且要形成某种书面的记录形式来并且要形成某种书面的记录形式来支持心算：支持心算：正式地解释和讨论自己和其他孩子的计算方法，将获得大正式地解释和讨论自己和其他孩子的计算方法，将获得大量的心算策略，在这一阶段，对孩子而言，在头脑中记住所有量的心算策略，在这一阶段，对孩子而言，在头脑中记住所有中间步骤是很困难的。所以，对解决问题过程中的非正规的记中间步骤是很困难的。所以，对解决问题过程中的非正规的记录，就变成了心算的一部分。录，就变成了心算的一部分。学校传统的算术
3、教学方法（为笔算设定的程序）可能给孩学校传统的算术教学方法（为笔算设定的程序）可能给孩子提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式本身超子提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式本身超出了许多学生的理解能力。出了许多学生的理解能力。关于竖式关于竖式从以上可以看出：竖式是心算的一种最简洁的书面记录形式，从以上可以看出：竖式是心算的一种最简洁的书面记录形式，它是在心算的基础上，优化得来的，具有抽象性。它是在心算的基础上，优化得来的，具有抽象性。竖式是什么？竖式是什么？3、三年级乘法竖式的学习中，教师用书指出：利用点子图等直三年级乘法竖式的学习中，教师用书指出：利用点子图等直观模型圈一圈、
4、算一算是一种直观运算，进行直观运算，进而观模型圈一圈、算一算是一种直观运算，进行直观运算，进而把直观运算的过程和结果记录成书面形式，就是笔算的由来。把直观运算的过程和结果记录成书面形式，就是笔算的由来。当学生理解了算理，就能逐渐摆脱对直观的依赖，在掌握了一当学生理解了算理，就能逐渐摆脱对直观的依赖，在掌握了一定的口算技巧之后，就可以进入算法运算阶段。直观运算是算定的口算技巧之后，就可以进入算法运算阶段。直观运算是算法运算的基础，算法运算是直观运算的抽象与提升。在掌握口法运算的基础，算法运算是直观运算的抽象与提升。在掌握口算的基础上，学习笔算（包括横式和竖式）才有意义。算的基础上，学习笔算（包括
5、横式和竖式）才有意义。4、如何培养学生数感一书中指出：书面记录是从图像开始如何培养学生数感一书中指出：书面记录是从图像开始进行的，这种图像呈现和实际物体的图像是紧密联系的，而且，进行的，这种图像呈现和实际物体的图像是紧密联系的，而且，这些实际物体的图像也会逐渐被相应的数学符号所取代。这些实际物体的图像也会逐渐被相应的数学符号所取代。目前普遍认为：口算和心算能力是在学习笔算之前形成的，但目前普遍认为：口算和心算能力是在学习笔算之前形成的，但这并不指孩子们不需要书面记录数字和符号，而是指他们要学这并不指孩子们不需要书面记录数字和符号，而是指他们要学习用形式化的方式记录思维过程，而且他们首先要学习用
6、数字习用形式化的方式记录思维过程，而且他们首先要学习用数字记录能口头说出的结果。记录能口头说出的结果。关于竖式关于竖式从以上可以看出：竖式具有过程性。它要经历从直观运算到算法运算的过程。直观运算从以上可以看出：竖式具有过程性。它要经历从直观运算到算法运算的过程。直观运算依赖于对现实问题的数学抽象，不同的算法体现了对问题不同角度的理解。依赖于对现实问题的数学抽象，不同的算法体现了对问题不同角度的理解。竖式是什么？竖式是什么？5、在学生学习心算之前就开始介绍这种书面的记录方法，会阻在学生学习心算之前就开始介绍这种书面的记录方法，会阻碍他们心算策略的发展，并容易让他们产生误解和错误。碍他们心算策略的
7、发展，并容易让他们产生误解和错误。6、在计算中引入书面记录有许多方法，这些方法都遵循着某一在计算中引入书面记录有许多方法，这些方法都遵循着某一个发展过程，即从心算发展到部分笔算，在发展到可以提高计个发展过程，即从心算发展到部分笔算，在发展到可以提高计算效率的更正规的有组织的笔算。在笔算的早期阶段，不介绍算效率的更正规的有组织的笔算。在笔算的早期阶段，不介绍竖式运算是很重要的，因为孩子们还没有机会自己建构不同的竖式运算是很重要的，因为孩子们还没有机会自己建构不同的笔算方法。尽管孩子们喜欢在算法中体验到某种成就感，但是笔算方法。尽管孩子们喜欢在算法中体验到某种成就感，但是这些算法的简化性质使得他们
8、在计算过程中，只是纯粹地利用这些算法的简化性质使得他们在计算过程中，只是纯粹地利用数字而不是利用数字的准确数值里进行计算，在对这些算法不数字而不是利用数字的准确数值里进行计算，在对这些算法不理解的情况下，他们可能会利用更机械的计算方法。理解的情况下，他们可能会利用更机械的计算方法。7、在早期阶段，他们的方法可能是杂论无章、毫无效率的，但在早期阶段，他们的方法可能是杂论无章、毫无效率的，但教师应该帮助每个学生把书面记录条理化并提高计算效率。通教师应该帮助每个学生把书面记录条理化并提高计算效率。通过公开讨论交流记录问题的最佳方法，孩子们会获得口头的以过公开讨论交流记录问题的最佳方法，孩子们会获得口
9、头的以及用传统数学符号交流的经验。及用传统数学符号交流的经验。关于竖式关于竖式从以上可以看出：竖式具有优化的特点。它的优化包括两个方面：一是对不同记录方式从以上可以看出：竖式具有优化的特点。它的优化包括两个方面：一是对不同记录方式的讨论，哪种方式更具有一般性，形成早期的竖式。二是对竖式内部的优化，哪些步骤的讨论，哪种方式更具有一般性，形成早期的竖式。二是对竖式内部的优化，哪些步骤还可以进一步优化简略。因此，竖式教学中引导学生讨论、指导其有条理记录很重要。还可以进一步优化简略。因此，竖式教学中引导学生讨论、指导其有条理记录很重要。为什么会出现算法多样化？为什么会出现算法多样化？直观运算体现了对现
10、实情境的理解，不同的人因为所处直观运算体现了对现实情境的理解，不同的人因为所处的环境不同，所具有的数学活动经验和对数学的理解程的环境不同，所具有的数学活动经验和对数学的理解程度也不一样，所以出现了算法多样化。度也不一样，所以出现了算法多样化。虽然算法多样，但解决的是同一问题，其落脚点是一致虽然算法多样，但解决的是同一问题，其落脚点是一致的，因此，多样化的算法，无论优劣，必然有其共通点，的，因此，多样化的算法，无论优劣，必然有其共通点，这一共同点就是计算的算理。这一共同点就是计算的算理。在对多样化算法的记录方式的讨论中，优化出最为简洁在对多样化算法的记录方式的讨论中，优化出最为简洁的记录方式，就
11、是竖式。的记录方式，就是竖式。关于竖式关于竖式 关于竖式教学关于竖式教学竖式教学的呈现形式：竖式教学的呈现形式：理解题意，提出问题理解题意，提出问题通过对应，利用直观模通过对应，利用直观模型将萝卜问题抽象数学型将萝卜问题抽象数学问题，通过操作，理解问题，通过操作，理解不同算法的道理，在观不同算法的道理，在观察和对比中发现不同算察和对比中发现不同算法的共同点。为理解竖法的共同点。为理解竖式算理打基础。式算理打基础。对应计数器，形成竖式对应计数器，形成竖式算法，进一步认识相同算法，进一步认识相同数位才能直接相加的道数位才能直接相加的道理。理。脱离模型，巩固算法，脱离模型，巩固算法，经历由直观算法到
12、抽象经历由直观算法到抽象运算的过程。运算的过程。关于竖式教学关于竖式教学前三步同加法竖式前三步同加法竖式通过反思自己的错误，通过反思自己的错误，进一步巩固算法，内化进一步巩固算法，内化成程序性知识。成程序性知识。竖式教学的呈现形式：竖式教学的呈现形式：关于竖式教学关于竖式教学 理解题意，提出问题理解题意，提出问题 抽象成数学问题，借抽象成数学问题，借助模型，进行直观运算。助模型，进行直观运算。沟通不同算法之间的沟通不同算法之间的联系，理解算理；在交联系，理解算理；在交流中对比中，优化竖式流中对比中，优化竖式第二层积的第二层积的0，形成竖，形成竖式算法。式算法。对照横式笔算，写出竖对照横式笔算，
13、写出竖式，巩固算法。式，巩固算法。竖式教学的呈现形式：竖式教学的呈现形式：关于竖式教学关于竖式教学 理解题意，提出问题理解题意，提出问题 抽象成数学问题，借抽象成数学问题，借助模型，进行直观运算。助模型，进行直观运算。通过交流，沟通直观运通过交流，沟通直观运算与竖式的联系，理解算与竖式的联系，理解除法竖式每一步的含义，除法竖式每一步的含义，理解算理。理解算理。脱离操作与模型，抽象脱离操作与模型，抽象地理解算法，进一步理地理解算法，进一步理解算理。解算理。竖式教学的呈现形式：竖式教学的呈现形式：关于竖式教学关于竖式教学 理解题意，提出问题理解题意，提出问题 抽象成数学问题，借抽象成数学问题，借助
14、模型，进行直观运算。助模型，进行直观运算。通过交流，沟通直观运通过交流，沟通直观运算与竖式的联系，理解算与竖式的联系，理解除法竖式每一步的含义，除法竖式每一步的含义，理解算理。理解算理。脱离操作与模型，抽象脱离操作与模型，抽象地理解算法，进一步理地理解算法，进一步理解算理。解算理。四则运算竖式教学的呈现形式：四则运算竖式教学的呈现形式：竖式教学的共同点竖式教学的共同点 数学问题数学问题在理解的基础上将现实问题抽在理解的基础上将现实问题抽象成数学问题，建立模型。象成数学问题，建立模型。直观运算直观运算 理解理解 算理算理形成算法形成算法借助直观模型，进行操作性的直观借助直观模型，进行操作性的直观
15、运算，体会蕴含的算理。运算，体会蕴含的算理。沟通算法间的联系，理解算理；沟通算法间的联系，理解算理；观察、交流、对比优化算法。观察、交流、对比优化算法。抽象运算抽象运算脱离模型，进行抽象的算法运脱离模型，进行抽象的算法运算，在交流中深化理解算理。算，在交流中深化理解算理。将现实问题抽象成数学问题。将现实问题抽象成数学问题。怎样开展竖式教学？怎样开展竖式教学？在教学中，很多教师，特别是年轻教师根据情境提出问题，要求学生理出算式后，没有让学生说一说为什么这样列式，就开始让学生计算结果。这时，学生虽然列出了算式，但可能并没有真正理解运算的意义，也有可能有的学生心里明白，但无法用语言来描述，这是可以让
16、学生根据自己的理解，用直观模型对应表示出题目的意思，这一步是对现实问题的刻画，把现实的问题转化成用数学模型表示的问题，这样，模型的图像与现实的图像紧密联系，前面提到过，这就是竖式（书面记录）的开始。因此，这一步是理解竖式非常关键的一步。竖式竖式做好直观运算和竖式之间的双向沟通。做好直观运算和竖式之间的双向沟通。怎样开展竖式教学？怎样开展竖式教学？皮亚杰的心理认知理论认为，711岁的孩子处于认知水平处于“具体运算阶段”。学生的思维正处于由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维转变的过程。这时学生的认知水平具有可逆性，但是离不开具体事物的支持。这段话告诉我们，学生单纯地从具体到抽象，或者从抽象到具体学生可
17、以知晓，但不代表学生真正理解。以除法竖式 为例：我们教师很容易根据情境引出问题，然后根据问题列出算式，再口算，再到竖式的学习（如图所示）。这种学习，只经历了由具体 到抽象的过程，却没有经历由抽象回到具体的过程，因此，当学生遇到竖式不会书写时，不能用具体的直观操作来支撑。这种学习中，学生可能通过大量的练习会巩固竖式计算，但学生对为什么会这样算，心里不是很清楚。竖式竖式做好直观运算和竖式之间的双向沟通。做好直观运算和竖式之间的双向沟通。怎样开展竖式教学？怎样开展竖式教学？教学中，应该沟通多样的直观算法与竖式算法之间的联系（如图所示）。让学生能够从具体到抽象，又能从抽象回到具体，学生头脑中的竖式始终
18、以想象中的操作为依据，学生才理解竖式每一步的含义。（横框中表示的是除法意义的表象表征、动作表征、符号表征，是学生已有的知识；斜框中表示的是符号表征中三种不同的表现形式；竖框中则是本节课要建立的直观操作与另两种符号表征间的关系。）注意思维层次的提升，发展运算能力注意思维层次的提升，发展运算能力怎样开展竖式教学？怎样开展竖式教学？竖式教学都是以情境+问题串的形式呈现的：从情境直观算法（操作）半直观半抽象竖式抽象的竖式。这是理解算理的过程，也是思维由形象思维向抽象思维跨越的一个过程。我们在教学中也应该遵循这一思维发展过程，促进学生思维层次的提升，以此发展运算的能力，不要把竖式学习的过程停留在某一个层面上，以免阻碍学生思维和运算能力的发展。一点值得注意的地方一点值得注意的地方第四版教材，在竖式的教学前，一般都运用了大量的时间来积累口算和直观运算的经验，但是由于教材是一个静态的，竖式教学课时，呈现压缩后竖式和分正规的记录方式一同出现，比如：乘法第二层积个位的“0”。教师们总是很快讲解并要求学生掌握这种简化的竖式，学生往往理解困难。特级教师徐斌建议：“形成初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式在计算几道题”，在此过程中进一步理解算理，内化算法，再来简化竖式。QQ:451109648
