1、 赣州市 2020 年高三适应性考试 数学文科试卷 （全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 2020 年 5 月 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合0,1,2,3,4A，集合 |,Bx xn nA，则AB （ ） A. 0 B.0,1 C.1,2 D.0,1,2 2.已知,m nR，i是关于x的方程 2 0xmxn的一个根，则mn（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 3.从某班 50 名同学中选出 5 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 50 名同学按 01，02， 50 进
2、行编号，然后从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第 5 个个体的编号为（注：表为随机数表的第 1 行第 2 行） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 1676 A.24 B.36 C.46 D.47 4.若cos78m，则sin51 （ ） A. 1 2 m B. 1 2 m C. 1 2 m D. 1 2 m 5.已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且(1)(1)fxfx ，(0)1f，则 (0)(1)(2020)fff（ ）
3、6.意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一 对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 这就是著名的斐波那契数列， 它的递推公式是 * 12 3, nnn aaannN ， 其中 1 1a ， 2 1a .若从该数列的前 120 项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 3 4 7.函数 2 ( )sinln(1)f xxxx 的图象大致为 A B C D 8.圆 22 44
4、0xyy上恰有两点到直线0(0)xyaa的距离为2，则a的取值范围是（ ） A.4,8 B.4,8) C.0,4 D.(0,4 9.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若2a ，(sin2sin)()bBCac (sinsin)AC，则ABC外接圆的面积为（ ） 第 9 题图 A. B.2 C.3 D.4 10.某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.2 B. 5 3 3 C. 4 3 3 D. 2 3 3 11.已知平面向量a，b的夹角为，且2a ，1b ，若对任意的正实数，ab的最小值为3， 则cos（ ） A. 2 2 B. 1 2 C. 1 2 D.0 12.已知
5、双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线为3yx ，过右焦点F的直线l与双曲线交于A，B 两点且3AFFB，则直线l的斜率为（ ） A.3 B.15 C.1 D.5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量(3,1)a ，( 1,2)b ，且()()ambab，则实数m_. 14.若x，y满足约束条件 210 220 320 xy xy xy ，则zxy的最小值为_. 15.已知函数( )ln2(e)3f xxxfx，则 f x在1x 处的切线方程为_. 16.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，E，F，P分别为 11
6、BC， 11 C D，CD的中点，Q点是正 方形 11 BCC B内的动点.若PQ平面AEF，则Q点的轨迹长度为_. 第 16 题图 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个考生都必须 作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 9S ， 139 2aaa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）令21 n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 18.（本小题满分 12 分） 2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，也是
7、全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在 2014 年通过精准 识别确定建档立卡的贫困户共有 500 户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下 表 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 脱贫户数y 55 68 80 92 100 （1）根据 2015-2019 年的数据，求出y关于x的线性回归方程ybxa，并预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户是否能全部脱贫； （2）2019 年的新脱贫户中有 20 户五保户，20 户低保户，60 户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的 方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访， 了
8、解生产生活、 帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫， 随机抽取这 5 户中的 2 户进行每月跟踪帮扶，求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率. 参考公式： 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy b xnxxx ， aybx 19.（本小题满分 12 分） 已知三棱锥PABC，2ACBC，120ACB，M是线段AB上靠近B点的三等分点，三角形 PBC为等边三角形 （1）求证：BCPM； （2）若三棱锥PABC的体积为 5 3 ，求线段PM的长度. 第 19 题图 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab
9、的离心率为 1 2 ， 且椭圆C经过点 3 1, 2 P .抛物线E： 2 2(0)ypx p 与椭圆有公共的焦点. （1）求抛物线E的标准方程； （2）在x轴上是否存在定点M，使得过M的动直线l交抛物线E于A，B两点，等式恒成立，如果存在 试求出定点M的坐标，若不存在请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )lnln2 () 2 a f xxaxxx a R. （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若02a，求证： e2(1) a fa a （二）选考题 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂 题号进行评分
10、，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 3 cos tan x y （为参数）. （1）求曲线 1 C， 2 C的普通方程； （2）已知点( 2,0)M ，若曲线 1 C， 2 C交于A，B两点，求MAMB的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知正实数a，b满足4ab. （1）求 11 ab 的最小值； （2）求证： 22 1125 2 ab ab . 赣州市
11、2020 年高三适应性考试 文科数学参考答案 一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A A C B C A A C B B 12.解： （法一）由题意，2e ，3ba，2ca，双曲线方程为 222 33xya. 设直线l：xcmy，即2xamy. 直线与双曲线联立方程组，消去x可得： 222 311290mymaya，0 . 令 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 12 31 ma yy m ， 2 12 2 9 31 a y y m . 3AFFB， 12 3yy . 与联立方程组可解得： 2 1 15 m ， 1 15k
12、m . （法二）根据圆锥曲线统一定义， 12 2 AFBF e dd ， 1 d， 2 d分别是A，B到右准线的距离. 分别过A，B作准线的垂线，垂足为 1 A， 1 B. 令(0)BFt t，则3AFt， 1 2 t BB ， 1 3 2 t AA . 延长AB交右准线于点P， 11 BBAA， 1 1 1 3 PBBB PAAA ，2PBt. 1 PBB为所求直线的倾斜角或倾斜角的补角， 1 cos 4 ， 15 sin 4 ，tan15k 二、填空题 13.1； 14.2； 15.20xy； 16. 13 6 . 16.解：如图，连结EF交 11 AD的延长线于点G，连结AG，交 1 D
13、D于点M， 延长FE交 11 AB的延长线于点H，连结AH交 1 BB于点N，连结EN，MF，则五边形ANEFM即为平 面AEF截正方体的截面. 易得M，N分别为 1 DD和 1 BB的三等分点，则 22 1113 236 NE . 取BC中点R， 1 CC上靠近C点的三等分点S， 易得PREF，RSNE，RSNE， 平面PRS平面AEF， 平面PRS平面 11 BCC BRS， Q在线段RS上， 13 6 RS . 三、解答题 17.解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由题意得： 1 11 339 348 ad adad 即 1 1 3 2 ad ad 1 分 所以 1 2a ，1d
14、 . 3 分 所以1 n an. 5 分 （2）(1)21(1) 21 nn n bnnn， 123 (3) 223242(1) 2 2 n n nn Tn ，6 分 令 123 223242(1) 2n n Mn ， 2341 2223242(1) 2n n Mn ， 7 分 -得： 12311 212 22222(1) 22(1) 2 12 n nnn n Mnn 8 分 1 2nn 9 分 所以 1 2n n Mn .10 分 所以 2 1 3 2 2 n n nn Tn . 12 分 18.解： （1） 5 1 1 552683 804925 1001299 ii i x y 3x ，
15、 55688092100395 79 55 y 2 分 5 2 1 149162555 i i x 2 12995 3 79114 11.4 555 310 b ，2 分 79 11.4 344.8a ， 3 分 11.444.8yx， 4 分 当6x 时，11.4644.8113.2y ， 即预测 2020 年一年内该乡镇约有 113 贫困户脱贫.5 分 预测 6 年内该乡镇脱贫总户数有5568 8092 100 113508500， 即预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户能全部脱贫.6 分 （2）由题意可得：按分层抽样抽取的 5 户脱贫户中， 有 1 户五保户a，1 户低保户b，
16、3 户扶贫户c，d，e.7 分 从这 5 户中选 2 户，共有 10 种情况： ( , )a b，( , )a c，( , )a d，( , )a e，( , )b c，( , )b d，( , )b e，( , )c d，( , )c e，( , )d e. 9 分 记 2 户不都是扶贫户为事件A，则事件A共有 3 种情况：( , )c d，( , )c e，( , )d e， 3 ( ) 10 P A.11 分 37 ( )1 1010 P A . 求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率为 7 10 12 分 19.解： （1）证明：取BC的中点D，连结线段DM；由2ACBC，120ACB，
17、得2 3AB ，则 12 3 33 BMAB.2 分 在BDM中，30DBM，由余弦定理可得， 22 3 2cos30 3 DMBDBMBD BM ； 222 BDDMBM，BDDM.3 分 由于PBC为等边三角形，D为BC的中点，则PDBC，4 分 BC平面PDM， 5 分 BCPM. 6 分 （2） （法一）由（1）知BC 平面PDM， BC 平面ABC，则平面ABC 平面PDM.7 分 作PNDM，垂足为N，平面ABC平面PDMDM，则PN 平面ABC， PN即为三棱锥PABC的高.8 分 由 1115 22sin120 3323 PABCABC VSPNPN ， 得 15 3 PN .
18、10 分 在等边三角形PBC中，2BC ，则3PD ， 在直角三角形PDN中， 5 sin 3 PN PDM PD ，则 2 cos 3 PDM； 在PDM中， 22 2cos2PMDMPDDM PDPDM.12 分 （法二） ： 1 6 P BDMBDM PABCBCA VS VS ， 8 分 511 1833 P BDMB PDMPDMPDM VVSBDS ，3PD ， 513 3sin 623 PDM SPDM ，10 分 5 sin 3 PDM， 2 cos 3 PDM. 11 分 在PDM中， 222 2cos2PMPDDMPD DMPDM， 2PM.12 分 20.解： （1）联立
19、方程组 222 22 1 2 19 1 4 c a cab ab 解得：2a ，3b ，1c .3 分 椭圆C的焦点坐标为( 1,0). 0p ，1 2 p ，2p ， 抛物线E的标准方程为 2 4yx.5 分 （2）设( ,0)M t， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 假设直线l方程为xtmy ，代入 2 4yx中，得： 2 440ymyt，0 ， 12 4yym， 12 4y yt ，7 分 2 2222 111 |1MAxtymy， 222 2 |1MBmy.8 分 22 12 2222222 12 12 111111 |11 yy MAMBmyym y y 2 2 1212
20、 2222 12 2111681 11164 yyy ymt mmt y y 整理得： 222 420mttt对任意的m恒成立.10 分 即存在点 2 2 40 20 t tt 2t 即存在点(2,0)M.12 分 注：若用其他解法，相应给分 21.解： f x的定义域为(0,)， 1 ( )lnln12 22 aa fxxaxx xx ()(ln1)xax x 1 分 若0a， f x在(0,e)上单调递减，在(e,)上单调递增； 若0a ，当ea时， f x在(0,)上单调递增； 当ea时， f x在(e, )a上单调递减，在(0,e)，( ,)a 上单调递增； 当0ea时， f x在(
21、,e)a上单调递减，在(0, )a，(e,)上单调递增； 综上所述： 当0a时， f x在(0,e)上单调递减，在(e,)上单调递增；3 分 当ea时， f x在(0,)上单调递增；4 分 当ea时， f x在(e, )a上单调递减，在(0,e)，( ,)a 上单调递增；5 分 当0ea时， f x在( ,e)a上单调递减，在(0, )a，(e,)上单调递增；6 分 （2） 2 e2(1)e2e(2)(1) 2 aaa a fa aaaaa 2 (2) e1 2 a a aa ，7 分 令 2 ( )e1 2 a a g aa ，( )e1( ) a g aaa ，( )e1 a a.8 分
22、02a， ( )0a，( )a在(0,2)上单调递增，( )(0)0a.9 分 ( )0g a，( )g a在(0,2)上单调递增，( )(0)0g ag.10 分 2 e1 2 a a a 而20a， 2 e(2)(1)2 a faaaa，11 分 e2(1) a fa a.12 分 22.解： （1）由 2 2 2 2 2 xt yt 得20xy，2 分 由 3 cos tan x y 得 2 2 2 22 1 1tan 3cos tan x y 则 2 2 1 3 x y，5 分 （2）由 2 2 1 3 x y可知( 2,0)M 为左焦点，直线20xy过右焦点(2,0)N， 又直线斜率
23、 3 1 3 AB k （一条渐近线的斜率） ，所以点A，B在双曲线的右支， (2 )(2 )MAMBNAaNBaNANB.7 分 令点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 由 2 2 2 2 2 xt yt 代入 2 2 1 3 x y得 2 2 210tt .8 分 则 12 2 2tt， 1 2 1t t ， 12 2 2MAMBNANBtt.10 分 23.解： （1）法一：由4ab得： 111111 ()21 44 ba ab ababab ， 当且仅当“ ba ab ”即2ab时等号成立. 11 ab 的最小值为 1.5 分 法二： “0a ，0b，4ab， 2 114 1
24、2 abab ababab ab ， 即2ab时等号成立， 11 ab 的最小值为 1. 法三：由柯西不等式得： 2 1111 ()4abab abab ， 又4ab，进而得： 11 1 ab ，故 11 ab 的最小值为 1. 当且仅当“2ab”时等号成立. 注：其它解法相应给分 （2）法一：由 222 2()abab 得： 222 11111 2 abab abab .8 分 由（1）知： 11 1 ab ， 进而得： 222 1111125 22 abab abab 厖， 当且仅当“2ab”时等号成立.10 分 法二；由 222 2()abab得： 222 1 ()8 2 abab， 2 22 111 111 22abab 厖. 由 22 22 22 1111125 4 84 22 abab abab ， 当且仅当“2ab”时等号成立. 法三：由柯西不等式得： 22222 11111111 (1 1) 22 ababab ababab .
