1、第五章第五章 一次方程与方程组一次方程与方程组5.4 5.4 一元一次方程的应用一元一次方程的应用第第2 2课时课时 用一元一次方用一元一次方 程解行程问题程解行程问题1知识点知识点一般行程问题一般行程问题 1.行程问题的基本关系式：行程问题的基本关系式：路程速度路程速度时间，时间，时间路程时间路程速度，速度，速度路程速度路程时间时间2.行程问题中的等量关系：行程问题中的等量关系：(1)相遇问题中的等量关系：相遇问题中的等量关系：甲走的路程乙走的路程甲、乙出发点之间甲走的路程乙走的路程甲、乙出发点之间 的路程；的路程；若甲、乙同时出发，甲用的时间乙用的时间若甲、乙同时出发，甲用的时间乙用的时间
2、 (2)追及问题中的等量关系：追及问题中的等量关系：快者走的路程慢者走的路程追及路程；快者走的路程慢者走的路程追及路程；若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间 慢者用的时间慢者用的时间例例1 为了适应经济发展，铁路运输再次提速为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果如果 客车行驶的平均速度增加客车行驶的平均速度增加40 km/h，提速后由，提速后由 合肥到北京合肥到北京1 110 km的路程只需行驶的路程只需行驶10 h.那么，那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？分析：分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均
3、速度、时行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时 间间.它们之间的基本关系是：它们之间的基本关系是：路程路程=平均速度平均速度时间时间.解：解：设提速前客车平均每时行驶设提速前客车平均每时行驶x km，那么提速后客，那么提速后客 车平均每时行驶车平均每时行驶(x+40)km.客车行驶路程客车行驶路程1 110 km，平均速度是平均速度是(x+40)km/h，所需时间是，所需时间是10 h.根据题根据题 意，得意，得10(x+40)=1 110.解方程，得解方程，得 x=71.答答:提速前这趟客车的平均速度是提速前这趟客车的平均速度是71 km/h.例例2 甲站和乙站相距甲站和乙站相距1 500
4、 km，一列慢车从甲站开，一列慢车从甲站开 出，速度为出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，一列快车从乙站开出，速度为速度为90 km/h.(1)若两车相向而行，慢车先开若两车相向而行，慢车先开30 min，快车开，快车开 出几小时后两车相遇？出几小时后两车相遇？(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两若两车同时开出，相背而行，多少小时后两 车相距车相距1 800 km?(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距多少小时后两车相距1 200 km(此时快车在慢此时快车在慢 车的后面车的后面)?导引：导引：(1)列表：列表
5、：等量关系：慢车行驶的路程等量关系：慢车行驶的路程+快车行驶的路程快车行驶的路程 =1 500 km.(2)列表：列表：等量关系：两车行驶的路程和等量关系：两车行驶的路程和+1 500 km=1 800 km.路程路程/km速度速度/(km/h)时间时间/h慢车慢车 6060 x+快车快车90 x90 x1212x 路程路程/km速度速度/(km/h)时间时间/h慢车慢车60y60y快车快车90y90y (3)列表：列表：等量关系：慢车行驶的路程等量关系：慢车行驶的路程1 500 km快车快车 行驶的路程行驶的路程1 200 km.解：解：(1)设快车开出设快车开出x h后两车相遇后两车相遇
6、由题意，得由题意，得60 90 x1 500.解得解得x9.8.答：快车开出答：快车开出9.8 h后两车相遇后两车相遇路程路程/km速度速度/(km/h)时间时间/h慢车慢车60z60z快车快车90z90z12x(2)设设y h后两车相距后两车相距1 800 km.由题意，得由题意，得60y90y1 5001 800.解得解得y2.答：答：2 h后两车相距后两车相距1 800 km.(3)设设z h后两车相距后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后此时快车在慢车的后 面面)由题意，得由题意，得60z1 50090z1 200.解得解得z10.答：答：10 h后两车相距后两车相距1 200
7、 km(此时快车在慢车此时快车在慢车 的后面的后面)总总 结结(1)行程问题中，可借助图示、列表来分析数量关系，行程问题中，可借助图示、列表来分析数量关系，图示可直观地找出路程等量关系，列表可将路程、图示可直观地找出路程等量关系，列表可将路程、速度、时间的关系清晰地展示出来速度、时间的关系清晰地展示出来总总 结结(2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求 路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程为未知路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程为未知 数，从表中求时间，其依据是路程、速度和时间三者数，从表中求时间，其依据是路程、速度和时间三者 间
8、的关系式如间的关系式如(1)小题若将小题若将“几小时后两车相遇？几小时后两车相遇？”改为改为“相遇时快车走了多少千米？相遇时快车走了多少千米？”若设间接未知数，若设间接未知数，则原导引及解不变，只是将则原导引及解不变，只是将x求出后，再求出求出后，再求出90 x的值的值 即可，若设直接未知数，则导引改为：即可，若设直接未知数，则导引改为：总总 结结列表：列表：等量关系：慢车行驶时间等量关系：慢车行驶时间 h快车行驶时间快车行驶时间方程为：方程为：路程路程/km速度速度/(km/h)时间时间/h慢车慢车1500 x60快车快车x90601500 x 90 x21.9021601500 xx 总总
9、 结结(3)一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲量已一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲量已 知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列方程；知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列方程；在所有行程问题中，一般都已知一个量，另两个量相在所有行程问题中，一般都已知一个量，另两个量相 互之间都存在关系互之间都存在关系易错警示：易错警示：单位不统一是行程问题最易出现的错误，本例中速单位不统一是行程问题最易出现的错误，本例中速度单位是度单位是km/h，而，而(1)小题中出现的时间单位是小题中出现的时间单位是min，解，解题时需把题时需把30min化为化为 1h.2 例例3 小明和他的哥哥早晨起来
10、沿长为小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑的环形跑 道练习跑步，小明跑道练习跑步，小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑圈用的时间和他的哥哥跑3 圈用的时间相等，两人同时同地同向出发，经过圈用的时间相等，两人同时同地同向出发，经过 2 min 40 s他们第一次相遇，若他们两人同时同地他们第一次相遇，若他们两人同时同地 反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？导引：导引：列表：列表：相等关系：小明跑的路程哥哥跑的路程相等关系：小明跑的路程哥哥跑的路程400 m.路程路程/m速度速度/m/s时间时间/s小明小明160 xx160哥哥哥哥 16016032x32x
11、解：解：设小明的速度为设小明的速度为x m/s，则他的哥哥的速度为，则他的哥哥的速度为 由题意得：由题意得：160 x160 解得解得x5.则小明的哥哥的速度为则小明的哥哥的速度为5 设经过设经过y s他们第一次相遇，由题意，得：他们第一次相遇，由题意，得：(57.5)y400.解得解得y32.答：经过答：经过32 s他们第一次相遇他们第一次相遇3 m/s,2x3400.2x 37.5(m/s).2 总总 结结(1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人 的速度分别为的速度分别为2x m/s和和3x m/s.(2)环形运动问题中的等量关系环形运动问
12、题中的等量关系(同时同地出发同时同地出发)：同向相遇：第一次相遇时快者的路程第一次相同向相遇：第一次相遇时快者的路程第一次相 遇时慢者的路程跑道一圈的长度；反向相遇：遇时慢者的路程跑道一圈的长度；反向相遇：第一次相遇时快者的路程第一次相遇时慢者的第一次相遇时快者的路程第一次相遇时慢者的 路程跑道一圈的长度路程跑道一圈的长度1张昆早晨去学校共用时张昆早晨去学校共用时15分钟，他跑了一段，走了分钟，他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是一段，他跑步的平均速度是250米米/分，步行的平均分，步行的平均速度是速度是80米米/分，他家与学校的距离是分，他家与学校的距离是2 900米，若米，若他跑步的时
13、间为他跑步的时间为x分钟，则列出的方程是分钟，则列出的方程是()A250 x80 2 900B80 x250(15x)2 900C80 x250 2 900D250 x80(15x)2 900 x41 x41D2知识点知识点顺流顺流(风风)、逆流、逆流(风风)问题问题 顺流（风）、逆流（风）问题：船在静水中的顺流（风）、逆流（风）问题：船在静水中的速度记为速度记为v静静，水的速度记为，水的速度记为v水水，船在顺水中的速度，船在顺水中的速度记为记为v顺顺，船在逆水中的速度记为，船在逆水中的速度记为v逆逆，则，则 v顺顺=v静静+v水水，v逆逆=v静静-v水水.例例4 一艘船从甲码头到乙码头顺流行
14、驶用一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用4小时，从小时，从 乙码头到甲码头逆流行驶用乙码头到甲码头逆流行驶用4小时小时40分钟，已知分钟，已知 水流速度为水流速度为3千米千米/小时，则船在静水中的平均速小时，则船在静水中的平均速 度是多少？度是多少？解：解：设船在静水中的平均速度是设船在静水中的平均速度是x千米千米/小时，小时，根据题意，得根据题意，得 4(x3)解得解得x39.答：船在静水中的平均速度是答：船在静水中的平均速度是39千米千米/小时小时14(3),3x 1一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是飞机出航
15、时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h，风速为，风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多，这架飞机最远能飞出多少千米就应返回？少千米就应返回？设飞机顺风飞行的时间为设飞机顺风飞行的时间为t h.依题意，有依题意，有(57525)t(57525)(4.6t)解得解得t2.2.则则(57525)t6002.21 320.答：答：这架飞机最远能飞出这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回就应返回解：解：3知识点知识点上坡、下坡问题上坡、下坡问题 例例5 (中考中考株洲株洲)家住山脚下的孔明同学想从家出发登山家住山脚下的孔明同学想从家出发登山 游玩，据以往的经验，他获得如下信息：游玩，据以往
16、的经验，他获得如下信息：(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；千米；(2)他上山他上山2小时到达的位置，离山顶还有小时到达的位置，离山顶还有1千米；千米；(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；千米；(4)下山用下山用1个小时个小时 根据上面信息，他做出如下计划：根据上面信息，他做出如下计划：(1)在山顶游览在山顶游览1个小时；个小时；(2)中午中午12：00回到家吃中餐回到家吃中餐 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学 应在什么时间从家出发？应在什么时间从
17、家出发？解：解：设上山的速度为设上山的速度为v千米千米/小时，下山的速度为小时，下山的速度为(v1)千米千米/小时，小时，则则2v1v12，解得解得v2.即上山速度是即上山速度是2千米千米/小时小时 则下山的速度是则下山的速度是3千米千米/小时，上山的路程为小时，上山的路程为5千米千米 则计划上山的时间为：则计划上山的时间为：522.5(小时小时)，计划下山的时间为：计划下山的时间为：1小时，小时，则共用时间为：则共用时间为：2.5114.5(小时小时)，所以出发时间为所以出发时间为12：004小时小时30分钟分钟7：30.答：孔明同学应该在答：孔明同学应该在7：30分从家出发分从家出发3 3讲讲 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等在运动形式上分直线运问题，上坡、下坡问题等在运动形式上分直线运动及曲线运动动及曲线运动(如环形跑道如环形跑道)相遇问题是相向而相遇问题是相向而行，相遇时的总路程为两运动物体的路程和追及行，相遇时的总路程为两运动物体的路程和追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追顺流、逆流、顺风、逆风、上干时间，快的再追顺流、逆流、顺风、逆风、上下坡应注意运动方向下坡应注意运动方向
