1、1、什么是不定方程？顾名思义即方程的解不定.一般地有第二章 不定方程定义：不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，或未知数受到某种限制(如整数，正整数等）的方程和方程组。2、主要研究问题a.不定方程有解的条件b.有解的情况下，解的个数c.有解的情况下，如何解3、本章学习内容 (1）二元一次不定方程（2）多元一次不定方程（3）勾股数组（4)费马大定理简介 (5)几类特殊的不定方程 1 二元一次不定方程定义：形如 其中()a,b,c为整数的方程称为二元一次不定方程。cbyax0,0ba例：2X+3Y=5 5U+6V=21定理：有解的充要条件是(a,b)|c证：设方程有解 则有因为（a,b)|a,(
2、a,b)|b,因而(a,b)|c反之，设(a,b)|c,则 由最大公因数的性质存在s,t 使得as+bt=(a,b)令 即为方程的解cbyax00,yxcbyax001010,tcyscx1),(cbac 3、二元一次不定方程有解的情况下解的结构定理：设 是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成 其中00,yxtayytbxx1010),(,),(11babbbaaa,2,1,0t证：把 代入不定方程成立，所以是方程的解。又设 是不定方程的任一解，又因为 是一特解则有 ,即有 有因为令 即得到了方程的解。tayytbxx1010yx,00,yx0)()(00yybxxa)()(01
3、01yybxxa)(|011yyba)(|,1),(0111yyaba)(01yyta 方程有解情况下不定方程的解法（1）观察法：当a,b的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解 ，然后用 得到其所有解。00,yxtayytbxx10102、公式法：当a,b的绝对值较小时，可用公式 得到特解然后用公式写出一切解。为a,b作辗转相除时不完全商(见书)211021110,1,0,1kkkkkkkkPQqQQQPPqPqPPnnnnPyQx)1(,)1(010iq3、整数分离法：当a,b中系数不同时，用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量，通过变量替换得到一个新的不定方程。如此反复，直到一个参数
4、的系数为1.从而得到不定方程的解。4、化为同余方程（同余方程中再讲）注:方法(1)(3)(4)用得较多,(2)不太实用.|)|(mod bcax 例1：求解不定方程解：因为（9，21）=3，3|144所以有解；化简得 考虑 ,有解 所以原方程的特解为 ，所以方程的解为 144219yx4873 yx173 yx1,2yx48,96yxZttytx,348,796注：解的表达式是不惟一的例2、用整数分离法解解：因为（107，37）=1，所以有解；故 故 2537107yx3733252xxy25337,37332511xyxy即令有令11113342533425xyyyx2543311yx144
5、1,41862121111yxyxxxy令令故txty41,12令Zttxty,373,1078 2 多元一次不定方程2.1定义：形如的不定方程多元一次不定方程。)2(2211ncxaxaxann2.2 定理 有解的充要条件是)2(2211ncxaxaxann证：必要性，若不定方程有解 ,则有由 。caaan|),(21caaaaaaanin|),(,|),(2121有,2,1,nxxxcxaxaxann2211充分性：用数学归纳法(n=2）时已证假设对n-1时条件是充分的，令则方程 有解，设解为 又 有解，设为 ,这样 就是方程的解。cdaadaadn|),(),(32212cxaxatdn
6、n3322,3,2,nxxt,222211tdxaxa,2,1,xx,2,1,nxxx注：从证明过程也提供了方程的解法。)2(2211ncxaxaxann则 等价于方程组设nnndaddaddaa),(,),(,),(1332221先解最后一个方程的解，得 然后把其代入倒数第二个方程求得一切解，如此向上重复进行，求 得所有方程的解。nnxt,1cxatdtdxatdtdxaxannnn11333322222211,例1：求不定方程 的整数解.解 因为（25，13）=1，（1，7）=1|4，所以方程有解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t,t+7z=4.先求t+7z=4的
7、解为t=4-7u，z=u。因为25*(-1)+13*2=1，所以25x+13y=1的特解为 =-1 ，=2故25x+13y=t的解为x=-t-13v，y=2t+25v所以 的解为x=-4+7u-13v，y=8-16u+25v，z=u.u，v为整数。471325zyx0 x0y471325zyx 3 勾股数 定义：一般地称x2+y2=z2的正整数解为勾股数例（3，4，5），（5，12，13）（8，15,17）为勾股数 x2+y2=z2 方程解的分析（1）若x，y，z是方程解，则dx，dy，dz也是 方程解（2）由（1）只要考虑（x，y，z）=1的解即可，而实际上只 要（x，y）=1即可，假设（x
8、，y）=d，则d|x，d|y，则有d|z（3）由（2）可设（x，y）=1，则x，y为 一奇一偶。若x，y都为奇数，则z为偶数，则方程左边为4K+2，右边为4K，矛盾。所以x，y为一奇一偶。由上分析，我们对（x,y）作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。即可假设在 x0，y0，z0，（x，y）=1，2 x的条件下给出x2+y2=z2的通解公式。定理：在条件x0，y0，z0，（x，y）=1，2 x的条件下 x2+y2=z2的通解公式为 x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，ab0,(a,b)=1，a,b一奇一偶。为了证明定理的结论，先给出下面引理。引理：设 u0，v0，（u,v）=1，
9、则不定方程 uv=w2 的解为 u=a2，v=b2，w=ab 其中a0，b0，（a,b）=1。证：设u，v，w是方程的解，令 不含平方数，又（u，v）=1，不能被 整除.故 所以 u=a2，v=b2，w=ab。a0，b0，（a,b）=1 下面进行定理的证明.111212,0,vubavbvuau1,|abwwwab,212121wvu1,11111121wvuvuw1),(,1),(22baba212|,wpp 有则有质数121w若有的定义及但有,1),(,1111vuvu,|,|2222wbwa2p11vu定理的证明：x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，ab0,(a,b)=1，a,
10、b一奇一偶。显然是方程x2+y2=z2的解，满足x0，y0，z0，2 x，且设（x，y）=d，则有 由（a，b）=1，有d=1，或d=2,又由y为奇数，所以d=1。222222|,|,|badbadzdzd),(2|22bad设x，y，z是满足条件的一组解，由2|x，及（x，y）=1知y，z是单数，有 且 因为设 则有d|z，d|y，因而有d|x，所以d=1于是由引理令于是有x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a0,b0,(a,b)=1 由y0,知ab0,又y单，所以a,b一奇一偶。2222)(yzyzx1),(22yzyzdyzyz),(221),(,0,0,22222babaab
11、baxyzyz推论：单位圆上的有理点可写成2222222222222,2baabbababababaab及证：由 两边同除有 ，令所以有 即为单位圆的方程而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可交换即有222zyx2z1)()(22zyzxzyzxYX,122YX2222222222222,2baabbababababaab及例1：勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数。证：设N=3m 1，（m为整数），则 =3k+1 设 中，若x，y都不是3的倍数，都是3K+1，则其和为3k+2。不可能是平方数，所以 是 不可能的。1)23
12、(3169222mmmmN222zyx22,yx222zyx4 费尔马大定理和无穷递降法 1、费尔马大定理：不定方程 xn+yn=zn，n3无正整数解。由于一个大于2的整数n，当n是偶数时，必为4的倍数或为某个奇质数的偶数倍，当n是奇数时，必是一个奇质数p的倍数。因此，实际上只需证明 和（p为奇质数）都没有正整数解就可以了。对 可用无穷递降法证明，而 无正整数解的证明是非常困难的。444zyxpppzyx444zyxpppzyx2、无穷递降法 的逻辑步骤（1）若一个关于正整数的命题P（n）对若干正整数n是下正确的，则在所有n中一定有最小者。（2）若 正确，则有 使 正确。由（1）（2），则P（
13、n）不能成立。)(1np12nn)(2np例2:证明 是无理数证：假设 是有理数，则 有正整数解.设自然数(a,b)所有解中使得a最小一组解.即有 容易知道a是偶数，设a=2a1，代入又得到b为偶数，设则 ,即 也是方程的解,这里 这与a的最小性矛盾.无理数。2222yx 222ba 2212bb 12212ba 11baba11,ba例2:证明 是无理数证：假设 是有理数，则存在自然数a,b使得满足 ，即 容易知道a是偶数，设a=2a1，代入又得到b为偶数，设 ,则 ,这里这 样 可 以 进 一 步 求 得 a2，b2 且 有aba1b1 a2b2但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾
14、，无理数。2222yx 222ba 2212bb 12212ba 11baba几个特殊的不定方程的初等解法n1、奇偶分析法例：求不定方程 的正整数解解：因为328为偶数，即左边为偶数，x，y的奇偶性相同，不妨设xy设则有 同理有一奇一偶,则 得解进一步有所发原方程的解为(2,18)和(18,2)32822 yx112,2vyxuyx1642121vu412323vu033 vu41232v503 v5,433uv2,18,10,8,9,11122yxuvuv2、利用特殊模的余数例2：证明 无整数解。证：由求根公式得原方程要有整数解则 为完全平方而 所以有 不可能为平方数。所以原方程无整数解。0
15、35222zxyx3542zyyx354 zy)5(mod1,04y)5(mod3,2354 zy3、数与式的分解n例3：求 的整数解。解：原方程通过变形得则有从而原方程的解为073222yxyx1)2)(3(2yx1213121322yxyx或121211yxyx或4、不等分析法n例4：求 的正整数解。解：因 所以又因为 为偶数，所以 只能为4，16代入得 =16，所以原方程的解为（4，3）982522 yx9852x202x2x2x2x92y5、分离整数部分法例5：求 的整数解。解：因为x=-1不是方程的解，所以原方程为所以有x+1|2，即x=0，-2，1，-3得原方程的解为(0,4),(
16、-2,0),(1,3),(-3,1).42yxxy12212)1(2124xxxxxy6、求根公式法例6：求 的整数解。解：把它看成x的二次方程有由根号里面大于等于0，得y只能1，2，3代入得到方程的解为(2,1),(1,1),(1,2),(3,2),(3,3),(2,3)032222yxyxyx28123)2(2yyyx7、利用韦达定理例7：求 的正整数解。解：把它看成x的二次方程，设根为则有所以两根同奇偶，且 除4，余数不为0所以两根只能是1，3，5和11，9，7又两根之积减2是平方数。所以 只能是1，11和3，9。所以原方程的解为(1,3),(11,3),(3,5),(9,5).0212
17、22yxx21,xx2,1222121yxxxx22y21,xx8、换元法例8：求 的正整数解。解：由题意有 于是令y=tx，则有 由韦达定理得因为1981=1*1981=7*283，只有 得y=10，从而得原方程解为（70，10）（2830，10）。0198129222yxyx22|xy01981292ytt1981,292121t tyttytt290218、换元法例8：求 的正整数解。解：由题意有 于是令y=tx，则有 由韦达定理得因为1981=1*1981=7*283，只有 得y=10，从而得原方程解为（70，10）（2830，10）。0198129222yxyx22|xy01981292ytt1981,292121t tyttytt290219、其它方法n例9：求 的正整数解。解：原方程为而由勾股定理有或所以方程的解为（3，8），（4，6）100422 yx22210)2(yx8|,6|2|yx6|,8|2|yx
