1、第第2 2节等差数列节等差数列1.1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念.2.2.掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n n项和公式项和公式.3.3.能在具体的问题情境中识别数列的能在具体的问题情境中识别数列的等差关系等差关系,并能用等差数列的有关知并能用等差数列的有关知识解决相应的问题识解决相应的问题.4.4.了解等差数列与一次函数的关系了解等差数列与一次函数的关系.考纲展示考纲展示 知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.等差数列的相关概念等差数列的相关概念(1)(1)定义定义:
2、一般地一般地,如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起,每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的 都都等于等于 常数常数,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为符号表示为_ (n2,n(n2,nN N*,d,d为常数为常数).).差差同一个同一个a an n-a-an-1n-1=d=d2aba a1 1+(n-1)d+(n-1)d2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式(1)(1)若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1,公差为公差为d,d,则其通项公式为则其通项公式为a an n=.(2)(2)通项的推广通项的推广:a:an n=a=a
3、m m+d.d.(n-m)(n-m)2a2am m4.4.等差数列等差数列aan n 的性质的性质(1)(1)若若m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q(其中其中m,n,p,qm,n,p,qN N*),),特别地特别地,若若p+q=2m,p+q=2m,则则a ap p+a+aq q=(p,q,m(p,q,mN N*).).(2)(2)若等差数列若等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则S Sk k,S,S2k2k-S-Sk k,S,S3k3k-S-S2k2k,成等差数列成等差数列.(3)(3)若下标成等差数列若下标成等
4、差数列,则相应的项也成等差数列则相应的项也成等差数列,即即a ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m,(k,m,(k,mN N*)成等差数列成等差数列.(4)(4)若等差数列若等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n.5.5.等差数列的增减性与最值等差数列的增减性与最值公差公差d0d0时为递时为递 数列数列,且当且当a a1 100时时,前前n n项和项和S Sn n有最有最 值值;d0;d00时时,前前n n项和项和S Sn n有最有最 值值.小小大大增增减减6.6.等差数列与一次函数的关系等差
5、数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d可得可得a an n=dn+(a=dn+(a1 1-d),-d),如果设如果设p=d,q=ap=d,q=a1 1-d,-d,那那么么a an n=pn+q,=pn+q,其中其中p,qp,q是常数是常数.当当p0p0时时,(n,a,(n,an n)在一次函数在一次函数y=px+qy=px+q的图象上的图象上,即公即公差不为零的等差数列的图象是直线差不为零的等差数列的图象是直线y=px+qy=px+q上的均匀排开的一群孤立的点上的均匀排开的一群孤立的点.当当p=0p=0时时,a,an
6、n=q,=q,等差数列为常数列等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于此时数列的图象是平行于x x轴的直线轴的直线(或或x x轴轴)上的上的均匀排开的一群孤立的点均匀排开的一群孤立的点.【重要结论】【重要结论】1.1.等差数列等差数列aan n 中中,若若a am m=n,a=n,an n=m,=m,则则a am+nm+n=0.=0.2.2.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S Sm m=S=Sn n(mn),(mn),则则S Sm+nm+n=0.=0.3.3.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S Sm m=n,S=n
7、,Sn n=m,=m,则则S Sm+nm+n=-(m+n).=-(m+n).对点自测对点自测B B1.1.在等差数列在等差数列aan n 中中,若若a a2 2=4,a=4,a4 4=2,=2,则则a a6 6等于等于()(A)-1(A)-1(B)0(B)0(C)1(C)1(D)6(D)6解析解析:由等差数列的性质由等差数列的性质,得得a a6 6=2a=2a4 4-a-a2 2=2=22-4=0,2-4=0,选选B.B.D D2.2.(2018(2018山西太原模拟山西太原模拟)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若a a2 2+a+a3 3+a+a
8、1010=9,=9,则则S S9 9等于等于()(A)3(A)3 (B)9(B)9 (C)18 (C)18 (D)27 (D)27C C3.3.(教材改编题教材改编题)已知等差数列已知等差数列aan n 前前9 9项的和为项的和为27,a27,a1010=8,=8,则则a a100100等于等于()(A)100(A)100(B)99(B)99 (C)98 (C)98 (D)97 (D)974.4.在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=7,=7,公差为公差为d,d,前前n n项和为项和为S Sn n,当且仅当当且仅当n=8n=8时时S Sn n取得最大取得最大值值,则则d d的取值
9、范围为的取值范围为 .5.5.下列说法正确的是下列说法正确的是.(1)(1)若一个数列从第若一个数列从第2 2项起每一项与它的前一项的差都是常数项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等则这个数列是等差数列差数列.(2)(2)数列数列aan n 为等差数列的充要条件是对任意为等差数列的充要条件是对任意nnN N*,都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2.(3)(3)等差数列等差数列aan n 的单调性是由公差的单调性是由公差d d决定的决定的.(4)(4)数列数列aan n 为等差数列的充要条件是其通项公式为为等差数列的充要条件是其通项公式为n n的一次函数的一
10、次函数.(5)(5)数列数列aan n 满足满足a an+1n+1-a-an n=n,=n,则数列则数列aan n 是等差数列是等差数列.(6)(6)已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=pn+q(=pn+q(其中其中p,qp,q为常数为常数),),则数列则数列aan n 一定是等一定是等差数列差数列.答案答案:(2)(3)(6)(2)(3)(6)考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一等差数列的基本量运算考点一等差数列的基本量运算【例例1 1】(2018(2018全国全国卷卷)记记S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项
11、和项和,已知已知a a1 1=-7,S=-7,S3 3=-15.=-15.(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式;解解:(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为d,d,由题意得由题意得3a3a1 1+3d=-15.+3d=-15.由由a a1 1=-7=-7得得d=2.d=2.所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n-9.=2n-9.(2)(2)求求S Sn n,并求并求S Sn n的最小值的最小值.解解:(2)(2)由由(1)(1)得得S Sn n=n=n2 2-8n=(n-4)-8n=(n-4)2 2-16.-16.所以当所以当n=4n=4时时,S,Sn
12、 n取得最小值取得最小值,最小值为最小值为-16.-16.(1)(1)等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n n项和公式共涉及五个量项和公式共涉及五个量a a1 1,a,an n,d,n,S,d,n,Sn n,知其中三知其中三个就能求另外两个个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题体现了用方程的思想来解决问题.(2)(2)数列的通项公式和前数列的通项公式和前n n项和公式在解题中起到变量代换作用项和公式在解题中起到变量代换作用,而而a a1 1和和d d是等是等差数列的两个基本量差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法用它们表示已知量和未知量是常用方法.反思归纳反思
13、归纳【跟踪训练跟踪训练1 1】(1)(1)等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S S8 8-S-S4 4=36,a=36,a6 6=2a=2a4 4,则则a a1 1等于等于()(A)-2 (A)-2 (B)0 (B)0 (C)2 (C)2 (D)4(D)4(2)(2)(2018(2018安徽两校阶段性测试安徽两校阶段性测试)若等差数列若等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且满足且满足a a2 2+S+S3 3=4,=4,a a3 3+S+S5 5=12,=12,则则a a4 4+S+S7 7的值是的值是()(A)20(A)20(B)
14、36(B)36(C)24(C)24(D)72(D)72考点二等差数列的判定与证明考点二等差数列的判定与证明【例例2 2】(2018(2018贵州适应性考试贵州适应性考试)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,=1,且且nanan+1n+1-(n+1)a-(n+1)an n=2n2n2 2+2n.+2n.(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3;解解:(1)(1)由已知由已知,得得a a2 2-2a-2a1 1=4,=4,则则a a2 2=2a=2a1 1+4,+4,又又a a1 1=1,=1,所以所以a a2 2=6.=6.由由2a2a3 3-3a-3a2 2=12,=12,
15、得得2a2a3 3=12+3a=12+3a2 2,所以所以a a3 3=15.=15.反思归纳反思归纳等差数列的四个判定方法等差数列的四个判定方法(1)(1)定义法定义法:证明对任意正整数证明对任意正整数n n都有都有a an+1n+1-a-an n等于同一个常数等于同一个常数;(2)(2)等差中项法等差中项法:证明对任意正整数证明对任意正整数n n都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2;(3)(3)通项公式法通项公式法:得出得出a an n=pn+q(p,q=pn+q(p,q是常数是常数););(4)(4)前前n n项和公式法项和公式法:得出得出S Sn n=An=A
16、n2 2+Bn(A,B+Bn(A,B是常数是常数).).【跟踪训练跟踪训练2 2】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an n0,a0,an na an+1n+1=S=Sn n-1,-1,其中其中为常数为常数.(1)(1)证明证明:a:an+2n+2-a-an n=;=;(1)(1)证明证明:由题设知由题设知a an na an+1n+1=S=Sn n-1,a-1,an+1n+1a an+2n+2=S=Sn+1n+1-1,-1,两式相减得两式相减得a an+1n+1(a(an+2n+2-a an n)=a)=an+1n+1,由于由于a
17、an+1n+10,0,所以所以a an+2n+2-a-an n=.=.(2)(2)是否存在是否存在,使得使得aan n 为等差数列为等差数列?并说明理由并说明理由.考点三等差数列的性质考点三等差数列的性质【例例3 3】(1)(1)(2018(2018吉林省百校联盟联考吉林省百校联盟联考)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若2a2a1111=a=a9 9+7,+7,则则S S2525等于等于()答案答案:(1)D(1)D答案答案:(2)A(2)A(3)(3)设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S S3 3=9,S
18、=9,S6 6=36,=36,则则a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=.解析解析:(3)(3)由由aan n 是等差数列是等差数列,得得S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差数列成等差数列,即即2(S2(S6 6-S-S3 3)=S)=S3 3+(S+(S9 9-S-S6 6),),得到得到S S9 9-S-S6 6=2S=2S6 6-3S-3S3 3=45,=45,即即a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=45.=45.答案答案:(3)45(3)45反思归纳反思归纳一般地一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程运用等差数列性质可以优化解题过程,但
19、要注意性质运用的条件但要注意性质运用的条件,如如m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q(m,n,p,q(m,n,p,qN N*).).答案答案:(1)D(1)D(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中中,若若a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=25,=25,则则a a2 2+a+a8 8=.解析解析:(2)(2)因为因为aan n 是等差数列是等差数列,所以所以a a3 3+a+a7 7=a=a4 4+a+a6 6=a=a2 2+a+a8 8=2a=2a5 5,a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+
20、a+a6 6+a+a7 7=5a=5a5 5=25,=25,所以所以a a5 5=5,a=5,a2 2+a+a8 8=2a=2a5 5=10.=10.答案答案:(2)10(2)10考点四等差数列的最值问题考点四等差数列的最值问题【例例4 4】等差数列等差数列aan n 的首项的首项a a1 10,0,设其前设其前n n项和为项和为S Sn n,且且S S5 5=S=S1212,则则S Sn n有最大值有最大值时时,n=,n=.答案答案:8 8或或9 9反思归纳反思归纳求等差数列前求等差数列前n n项和的最值项和的最值,常用的方法常用的方法:(1):(1)利用等差数列的单调性利用等差数列的单调性
21、,求出求出其正负转折项其正负转折项;(2);(2)利用性质求出其正负转折项利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值便可求得和的最值;(3);(3)将将等差数列的前等差数列的前n n项和项和S Sn n=An=An2 2+Bn(A,B+Bn(A,B为常数为常数)看作二次函数看作二次函数,根据二次函数的根据二次函数的性质求最值性质求最值.要注意要注意a an n=0=0的情形的情形.【跟踪训练跟踪训练4 4】(1)(1)等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知已知a a1 1=13,S=13,S3 3=S=S1111,当当S Sn n最大最大时时,n,n的值是的值
22、是()(A)5(A)5(B)6(B)6(C)7(C)7(D)8(D)8解析解析:(1)(1)法一法一由由S S3 3=S=S1111,得得a a4 4+a+a5 5+a+a1111=0,=0,根据等差数列的性质根据等差数列的性质,可得可得a a7 7+a a8 8=0.=0.根据首项等于根据首项等于1313可推知这个数列递减可推知这个数列递减,从而得到从而得到a a7 70,a0,a8 80,0,d0,则其前则其前n n项和取最小值时项和取最小值时n n的值为的值为()(A)6(A)6(B)7(B)7(C)8(C)8(D)9(D)9解析解析:(2)(2)等差数列的公差为正数等差数列的公差为正数
23、,则则a a1111=-a=-a6 60,0,所以所以a a6 6+a+a1111=a=a8 8+a+a9 9=0,=0,据此可得据此可得a a8 80,a0,0,则其前则其前n n项和取最小值时项和取最小值时n n的值为的值为8.8.故选故选C.C.备选例题备选例题【例例1 1】(2018(2018东北三校联考东北三校联考)已知数列已知数列aan n 的首项为的首项为3,b3,bn n 为等差数列为等差数列,且且b bn n=a=an+1n+1-a-an n(n(nN N*),若若b b3 3=-2,b=-2,b2 2=12,=12,则则a a8 8等于等于()(A)0(A)0(B)-109(B)-109(C)-181(C)-181(D)121(D)121【例例2 2】若一个等差数列前若一个等差数列前3 3项的和为项的和为34,34,最后最后3 3项的和为项的和为146,146,且所有项的和为且所有项的和为390,390,则这个数列的项数为则这个数列的项数为()(A)13(A)13(B)12(B)12(C)11(C)11(D)10(D)10
