1、专题突破(二)实际应用型问题实际应用型问题是把实际生活情境中的数量关系抽象为方程、函数模型,进而应用相关知识进行分析、研究、解决的有关问题.求解此类问题的关键是把实际问题中的等量(不等量)关系转化为数学关系式,求解要注意各个量的实际意义.类型一购买(销售)、分配类问题(2020,17/2017,19/2015,22)例12020鄂州一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);(2)在销售过程中要求销售单价不低
2、于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少?(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于15元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1m6),捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.x(元/件)456y(件)10000 95009000例12020鄂州一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:(1)求y与x的函数关系式(不求自
3、变量的取值范围);【分层分析】(1)根据表格,利用x,y的两组对应数据,用待定系数法求解;x(元/件)456y(件)10000 95009000例12020鄂州一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少?【分层分析】(2)根据条件求出利润w与售价x之间的关系式及x的取值范围,在x的取值范围内求最值即可
4、;x(元/件)456y(件)10000 95009000例12020鄂州一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于15元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1m6),捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.【分层分析】(3)捐赠后销售一件商品的利润为,此时利润、售价之间的关系式为,当利润随售价的增大而增大时,根据函数的增减性,可得,问题得解.x(元/件)456y(
5、件)10000 95009000 题型精练1.2020太原综合测试一面对新冠肺炎疫情带来的挑战,党中央全面部署疫情防控和经济社会发展重点工作,复工复产按下“快进”键,全国掀起了“为鄂拼单”的热潮.某特产超市看准商机,用10000元购进一批湖北特产玉露茶,销量可观,于是又用18000元购进一批同款规格的玉露茶,但第二次进价比第一次每盒下降10元,第二次所购进数量恰好是第一次数量的2倍.(1)求第一次购进玉露茶时每盒的价格;(2)已知该超市第一批玉露茶在进价基础上提高50%出售,若要保证售完这两批玉露茶的获利不低于11000元,则第二批玉露茶每盒的售价至少应为多少元?1.2020太原综合测试一面对
6、新冠肺炎疫情带来的挑战,党中央全面部署疫情防控和经济社会发展重点工作,复工复产按下“快进”键,全国掀起了“为鄂拼单”的热潮.某特产超市看准商机,用10000元购进一批湖北特产玉露茶,销量可观,于是又用18000元购进一批同款规格的玉露茶,但第二次进价比第一次每盒下降10元,第二次所购进数量恰好是第一次数量的2倍.(1)求第一次购进玉露茶时每盒的价格;1.2020太原综合测试一面对新冠肺炎疫情带来的挑战,党中央全面部署疫情防控和经济社会发展重点工作,复工复产按下“快进”键,全国掀起了“为鄂拼单”的热潮.某特产超市看准商机,用10000元购进一批湖北特产玉露茶,销量可观,于是又用18000元购进一
7、批同款规格的玉露茶,但第二次进价比第一次每盒下降10元,第二次所购进数量恰好是第一次数量的2倍.(2)已知该超市第一批玉露茶在进价基础上提高50%出售,若要保证售完这两批玉露茶的获利不低于11000元,则第二批玉露茶每盒的售价至少应为多少元?2.2018太原三模某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫,每件售价为300元时,每天可售出40件,若每件降价10元,则每天多售出10件.请根据以上信息,解答下列问题:(1)为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元,并且让利于顾客,每件售价应为多少元?(2)该服装店将该品牌的衬衫销售完,在补货时厂家只剩100件,经协商每件降价a元,全部拿回.按(1)中
8、的价格售出80件后,剩余的按八折销售.售完这100件衬衫获利50%,求a的值.2.2018太原三模某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫,每件售价为300元时,每天可售出40件,若每件降价10元,则每天多售出10件.请根据以上信息,解答下列问题:(1)为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元,并且让利于顾客,每件售价应为多少元?(2)该服装店将该品牌的衬衫销售完,在补货时厂家只剩100件,经协商每件降价a元,全部拿回.按(1)中的价格售出80件后,剩余的按八折销售.售完这100件衬衫获利50%,求a的值.(2)方法一:根据题意,得25080+25080%(100-80)=(200-a)10
9、0(1+50%).解得a=40.答:a的值是40.3.2019山西模拟某网点准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货.(1)经过市场调查发现,当每个背包的售价为140元时,月均销量为980个,售价每增长10元,月均销量就相应减少30个.若使这种背包的月均销量不低于800个,每个背包售价应不高于多少元?(2)在实际销售过程中,由于原材料涨价和生产成本增加的原因,每个背包的进价为150元,而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了a%(a0),月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5a%,结果该店销售该背包的月均利润达到40000元.求在实际销售过程中每个背包售价为多少元
10、.3.2019山西模拟某网点准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货.(1)经过市场调查发现,当每个背包的售价为140元时,月均销量为980个,售价每增长10元,月均销量就相应减少30个.若使这种背包的月均销量不低于800个,每个背包售价应不高于多少元?3.2019山西模拟某网点准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货.(2)在实际销售过程中,由于原材料涨价和生产成本增加的原因,每个背包的进价为150元,而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了a%(a0),月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5a%,结果该店销售该背包的月均利润达到40000
11、元.求在实际销售过程中每个背包售价为多少元.(2)依题意,得200(1-a%)-150800(1+5a%)=40000.整理,得a2-5a=0.解方程,得a1=5,a2=0(不合题意,舍去).所以200(1-5%)=190(元).答:在实际销售过程中每个背包的售价为190元.4.2018山西中考适应性训练为厉行节能减排,倡导绿色出行,近年来共享单车登陆太原市中心城区,ofo,酷骑两公司分别计划在迎泽街道社区投放一批共享单车,两公司投放的共享单车型号不同(图Z2-1).请回答下列问题:(1)ofo,酷骑两公司早期分别在迎泽街道社区进行了试点投放,共投放两种型号共享单车各50辆,成本(共享单车的成
12、本)共计7500元,其中酷骑共享单车的成本单价比ofo高10元,问ofo,酷骑两种型号的共享单车的成本单价各是多少元?图Z2-14.2018山西中考适应性训练为厉行节能减排,倡导绿色出行,近年来共享单车登陆太原市中心城区,ofo,酷骑两公司分别计划在迎泽街道社区投放一批共享单车,两公司投放的共享单车型号不同(图Z2-1).请回答下列问题:(1)ofo,酷骑两公司早期分别在迎泽街道社区进行了试点投放,共投放两种型号共享单车各50辆,成本(共享单车的成本)共计7500元,其中酷骑共享单车的成本单价比ofo高10元,问ofo,酷骑两种型号的共享单车的成本单价各是多少元?图Z2-1解:(1)设ofo共
13、享单车的成本单价为x元,则酷骑共享单车的成本单价为(x+10)元.依题意,得50 x+50(x+10)=7500.解得x=70.x+10=80.答:ofo,酷骑共享单车的成本单价分别是70元和80元.5.2020山西适应性训练2020年新冠肺炎疫情发生以来,每天测体温成为一种制度,手持红外测温枪成为紧俏商品.某经销店承诺对所有商品明码标价,绝不哄抬物价.如下表所示是该店甲、乙两种手持红外测温枪的进价和售价:该店有一批用38000元购进的甲、乙两种手持红外测温枪库存,预计全部销售后可获毛利润共4000元.毛利润=(售价-进价)销售量(1)该店库存的甲、乙两种手持红外测温枪分别为多少个?商品价格甲
14、乙进价(元/个)400 1000售价(元/个)450 1100(2)根据销售情况,该店计划以库存数量为基数增加甲种手持红外测温枪的购进量,减少乙种手持红外测温枪的购进量.已知甲种手持红外测温枪增加的数量是乙种手持红外测温枪减少的数量的3倍,进货价不变,而且用于购进这两种手持红外测温枪的总资金不超过40000元,则该店怎样进货,可使测温枪全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润.图Z2-2(1)该店库存的甲、乙两种手持红外测温枪分别为多少个?(2)根据销售情况,该店计划以库存数量为基数增加甲种手持红外测温枪的购进量,减少乙种手持红外测温枪的购进量.已知甲种手持红外测温枪增加的数量是乙种手持红
15、外测温枪减少的数量的3倍,进货价不变,而且用于购进这两种手持红外测温枪的总资金不超过40000元,则该店怎样进货,可使测温枪全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润.图Z2-2(2)设乙种手持红外测温枪减少m个,则甲种手持红外测温枪增加3m个.由题意,得400(20+3m)+1000(30-m)40000,解得m10.设全部销售后获得的毛利润为W元,由题意,得W=(450-400)(20+3m)+(1100-1000)(30-m)=50m+4000.500,W随m的增大而增大,当m=10时,W最大=4500.此时20+3m=50,30-m=20.答:该店购进甲种手持红外测温枪50个,乙种手
16、持红外测温枪20个时,全部销售后获得的毛利润最大,最大毛利润为4500元.6.2018江西某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图Z2-3所示.(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.图Z2-36.20
17、18江西某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图Z2-3所示.(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.图Z2-36.2018江西某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图Z2-3所示.(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大
18、?最大利润是多少?图Z2-3(2)设每天销售获得的利润为w元.根据题意,得w=(x-8)y=(x-8)(-10 x+300)=-10(x-19)2+1210.8x30,当x=19时,w取得最大值,最大值为1210.答:当该品种蜜柚定价为19元/千克时,每天销售获得的利润最大,最大利润是1210元.6.2018江西某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图Z2-3所示.(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克,该品种蜜柚的保
19、质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.图Z2-3(3)不能.由(2)可知,当获得最大利润时,定价为19元/千克,则每天的销售量为y=-1019+300=110(千克).保质期为40天,销售总量为40110=4400(千克).4400100且x为整数);王先生在网店购买跳绳所需的资金y(元)与购买的跳绳数x(条)之间的函数关系式为y=40100+(x-100)400.7=28x+1200(x100且x为整数).(2)王先生选取哪种方式购买跳绳省钱?【分层分析】(2)当两种购买方式的费用相等时,x的值为,进而以此数值为临界值,分析可得哪种更优惠;(2
20、)当32x=28x+1200时,x=300,当32x28x+1200时,x28x+1200时,x300.当100 x300时,在网店购买省钱.(3)王先生购买跳绳的预算不超过10000元,他最多能购买多少条跳绳?【分层分析】(3)购买预算为10000元时,y=,代入(1)中求得的关系式,比较可得结果.(3)将y=10000代入y=32x,得x=312.5312.将y=10000代入y=28x+1200,得x314.29314.王先生最多能购买314条跳绳.题型精练1.2020襄阳受新冠疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难,八方支援.”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲
21、,乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助,对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克,付款y元,y与x之间的函数关系如图Z2-4所示.(1)直接写出当0 x50和x50时,y与x之间的函数关系式.图Z2-4(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克,且甲种水果不少于40千克,但又不超过60千克.如何分配甲,乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额w(元)最少?(3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克.经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克,且销售完a千克水果获得
22、的利润不少于1650元,求a的最小值.图Z2-4(1)直接写出当0 x50和x50时,y与x之间的函数关系式.(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克,且甲种水果不少于40千克,但又不超过60千克.如何分配甲,乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额w(元)最少?(2)由题意知40 x60,下面分两种情况讨论如下:当40 x50时,w=30 x+25(100-x)=5x+2500,易知x=40时,wmin=2700;当50 x60时,w=24x+300+25(100-x)=-x+2800,易知x=60时,wmin=2740.27002740,当甲、乙两种水果分别购进40千克、6
23、0千克时,经销商付款总金额w(元)最少.(3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克.经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克,且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元,求a的最小值.2.2020天水天水市某商店准备购进A,B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件,其中A种商品的数
24、量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?(3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品的售价优惠m(10m20)元,B种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.2.2020天水天水市某商店准备购进A,B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?2.2020天水天水市某商店准备购进A,B两种商品,A种商品每件的进价
25、比B种商品每件的进价多20元,用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?(3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品的售价优惠m(10m20)元,B种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.(3)设销售A,B两种商品总获利y元,则y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+60
26、0.当m=15时,15-m=0,y与a的取值无关,即(2)中的五种方案都获利600元;当10m0,y随a的增大而增大,当a=18时,获利最大,即在(2)的条件下,购进A种商品18件,购进B种商品22件,获利最大;当15m20时,15-m0,y随a的增大而减小,当a=14时,获利最大,即在(2)的条件下,购进A种商品14件,购进B种商品26件,获利最大.3.2019太原模拟根据太原市电动自行车管理条例的规定,2019年5月1日起,未上牌的电动自行车将禁止上路行驶,而电动自行车上牌登记必须满足国家标准.某商店购进了甲、乙两种符合国家标准的新款电动自行车,其中甲种车总进价为22500元,乙种车总进价
27、为45000元.已知乙种车每辆的进价是甲种车进价的1.5倍,且购进的甲种车比乙种车少5辆.(1)甲种电动自行车每辆的进价是多少元?型号甲乙售价/(元/辆)2000 2800图Z2-5(2)这批电动自行车上市后,很快销售一空.该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆,将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售,设新购进甲种车m辆(20m30),两种车全部售出的总利润为y元(不计其他成本).求y与m之间的函数关系式.商店怎样安排进货方案,才能使售完这批电动自行车获得的利润最大?最大利润是多少?型号甲乙售价/(元/辆)2000 2800图Z2-5(1)甲种电动自行车每辆的进价是多少元?(2)
28、这批电动自行车上市后,很快销售一空.该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆,将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售,设新购进甲种车m辆(20m30),两种车全部售出的总利润为y元(不计其他成本).求y与m之间的函数关系式.(2)根据题意,y=(2000-1500)m+(2800-1.51500)(50-m)=-50m+27500.故y与m的函数关系式为y=-50m+27500(20m30).(2)这批电动自行车上市后,很快销售一空.该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆,将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售,设新购进甲种车m辆(20m30),两种车全部售出的总利润
29、为y元(不计其他成本).商店怎样安排进货方案,才能使售完这批电动自行车获得的利润最大?最大利润是多少?因为y是m的一次函数,其中k=-500,所以y随m的增大而减小,当m取得最小值时,y最大.因为20m30,所以m=20时y的最大值=-5020+27500=26500.此时50-m=30.答:购进甲种电动自行车20辆,乙种电动自行车30辆时所获利润最大,最大利润为26500元.类型三面积类问题(2020,14/2014,22(2)例32018福建A卷如图Z2-6,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADMN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一
30、共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.图Z2-6(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;【分层分析】(1)设AD=m,用m表示出AB=,根据矩形的面积为450平方米,可得方程,解方程后,将m的值与20进行大小比较即可得到AD的长.图Z2-6(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.【分层分析】(2)设AD=x,利用矩形的面积公式得到矩形菜园ABCD的面积S=,由于a的值不确定,所以要求S的最大值,需分a50和0a23,小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.2.201
31、9眉山在我市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为3600 m2的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用6天.(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化;(2)若甲队每天的绿化费用为1.2万元,乙队每天的绿化费用为0.5万元,社区要使这次绿化的总费用不超过40万元,则至少应安排乙工程队绿化多少天?2.2019眉山在我市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为3600 m2的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每
32、天能完成绿化面积的2倍,如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用6天.(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化;2.2019眉山在我市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为3600 m2的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用6天.(2)若甲队每天的绿化费用为1.2万元,乙队每天的绿化费用为0.5万元,社区要使这次绿化的总费用不超过40万元,则至少应安排乙工程队绿化多少天?3.2018山西模拟为了响应市政府提出的“创建文明城市
33、”的号召,某社区计划对2250 m2的区域进行绿化.经投标,决定由甲、乙两个工程队来共同完成.甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的2倍,并且在独立完成300 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用2天.(1)甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别为多少平方米;(2)若甲队每天的绿化费用是0.5万元,乙队每天的绿化费用为0.2万元,甲队施工若干天后剩下的由乙队完成,且甲、乙两队施工的总天数不超过20天,应如何安排甲、乙两队施工的天数,使施工总费用最低?最低费用是多少?3.2018山西模拟为了响应市政府提出的“创建文明城市”的号召,某社区计划对2250 m2的区域进行绿化.经投标,决定由甲、乙两个工程队来共同完成.甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的2倍,并且在独立完成300 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用2天.(1)甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别为多少平方米;(2)若甲队每天的绿化费用是0.5万元,乙队每天的绿化费用为0.2万元,甲队施工若干天后剩下的由乙队完成,且甲、乙两队施工的总天数不超过20天,应如何安排甲、乙两队施工的天数,使施工总费用最低?最低费用是多少?
