1、第十一章 三角形123456(1)其中以其中以AB为一边可以画出为一边可以画出_个三角形；个三角形；(2)其中以其中以C为顶点可以画出为顶点可以画出_个三角形个三角形1如如图，过图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形五个点中任意三点画三角形返回返回1类型类型按顺序计数按顺序计数362如图，在如图，在ABC中，中，M，N，P，Q，E为为BC边上的点，连接边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE.数数一数，图中共有多少个三角形？并说明你是怎一数，图中共有多少个三角形？并说明你是怎样数的样数的2类型类型按基本图形计数按基本图形计数解：题图中共有解：题图中共有21个三角形个三角形我们可以按
2、基本图形计数，我们可以按基本图形计数，以以1个三角形为基本图形，有个三角形为基本图形，有6个三角形；个三角形；以以2个三角形组成的三角形为基本图形，有个三角形组成的三角形为基本图形，有5个三角形；个三角形；以以3个三角形组成的三角形为基本图形，有个三角形组成的三角形为基本图形，有4个三角形；个三角形；以以4个三角形组成的三角形为基本图形，有个三角形组成的三角形为基本图形，有3个三角形；个三角形；以以5个三角形组成的三角形为基本图形，有个三角形组成的三角形为基本图形，有2个三角形；个三角形；以以6个三角形组成的三角形为基本图形，有个三角形组成的三角形为基本图形，有1个三角形个三角形所以题图中共有
3、所以题图中共有65432121(个个)三角形三角形返回返回3看图填空看图填空(1)如图，当如图，当ABC内部有内部有1条条线段线段(AD)时，共有时，共有_个个三角形；三角形；3返回返回3类型类型由特殊到一般计数由特殊到一般计数(2)如图，当如图，当ABC内部有内部有2条线段条线段(AD，AE)时，共有时，共有_个三角形；个三角形；(3)如图，当如图，当ABC内部有内部有3条线段条线段(AD，AE，AF)时，时，共有共有_个三角形；个三角形；610(4)当当ABC内部有内部有4条这样的线段时，共有条这样的线段时，共有_个个三角形；三角形；(5)当当ABC内部有内部有n条这样的线段时，共有条这样
4、的线段时，共有_个三角形个三角形10nn212()()()4(中考中考连云港连云港)如图，观察图中的四个图形，根据如图，观察图中的四个图形，根据其变化规律，可知第其变化规律，可知第10个图形中三角形的个数为个图形中三角形的个数为_返回返回375阅读材料，并填表：阅读材料，并填表：在在ABC中，有一点中，有一点P，当，当P，A，B，C没有任何没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形角形(如图如图)当当ABC内的点的个数增加时，若其内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情
5、况怎样？数情况怎样？返回返回完成下表：完成下表：ABC内点的个数内点的个数1231080构成不重叠的小三构成不重叠的小三角形的个数角形的个数3572 0176根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式系，写出相应的关系式三角形三角形层数层数内部不再含三角形的三角内部不再含三角形的三角形个数形个数111221322313532三角形三角形层数层数内部不再含三角形的三角内部不再含三角形的三角形个数形个数43135742135(2n1)n2返回返回第十一章
6、 三角形12345678910111(中考中考金华金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是三边长的是()A2，3，4B5，7，7C5，6，12D6，8，10返回返回1应用应用判断三条线段能否组成三角形判断三条线段能否组成三角形C2(中考中考河池河池)下列长度的三条线段不能组成三下列长度的三条线段不能组成三角形的是角形的是()A5，5，10B4，5，6C4，4，4D3，4，5A返回返回3(中考中考巴中巴中)若若a，b，c为三角形的三边长，且为三角形的三边长，且a，b满足满足 (b2)20，则第三边长，则第三边长c的的取值范围是取值范围是_1c5返回返回
7、2应用应用求三角形第三边的长或取值范围求三角形第三边的长或取值范围29a 4(中考中考淮安淮安)若一个三角形的两边长分别为若一个三角形的两边长分别为5和和8，则第三边长可能是则第三边长可能是()A14B10C3D2返回返回B5若三角形的两边长分别为若三角形的两边长分别为3和和5，则周长，则周长l的取值范的取值范围是围是()A6l15B6l16C11l13D10l16D返回返回6一个三角形的两边长分别为一个三角形的两边长分别为5 cm和和3 cm，第三边，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是()A2 cm或或4 cmB4 cm或或6 cmC4 c
8、mD2 cm或或6 cm返回返回B7(中考中考安顺安顺)已知实数已知实数x，y满足满足|x4|0，则以则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是的值为两边长的等腰三角形的周长是()A20或或16B20C16D以上均不对以上均不对B返回返回3应用应用求等腰三角形的边长及周长求等腰三角形的边长及周长8y 8(中考中考包头包头)若等腰三角形的周长为若等腰三角形的周长为10 cm，其中一，其中一边长为边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为，则该等腰三角形的底边长为()A2 cmB4 cm C6 cmD8 cm返回返回A9已知在已知在ABC中，中，AB5，BC2，且，且AC的长为的长为奇数奇数(1)求
9、求ABC的周长；的周长；解：解：(1)AB5，BC2，3AC (ABBCAC)返回返回4应用应用证明线段不等关系证明线段不等关系12证明：在证明：在ABP中，中，PAPBAB.同理，同理，PBPCBC，PAPCAC.2(PAPBPC)ABBCAC，即即PAPBPC (ABBCAC)1211已知已知a，b，c为三角形的三边长，化简：为三角形的三边长，化简：|bca|bca|cab|abc|.解：解：a，b，c为三角形的三边长，为三角形的三边长，bca，acb，abc.5应用应用化简含绝对值的式子化简含绝对值的式子bca0，bca0，cab0.|bca|bca|cab|abc|(bca)(bca)
10、(cab)(abc)2c2a.返回返回第十一章 三角形12345678910111如图，已知如图，已知ABBD于点于点B，ACCD于点于点C，AC与与BD交于点交于点E.ADE的边的边DE上的高为上的高为_，边边AE上的高为上的高为_返回返回1应用应用三角形的高的应用三角形的高的应用类型类型1找三角形的高找三角形的高ABDC2(中考中考漳州漳州)下列尺规作图，能判断下列尺规作图，能判断AD是是ABC的高的是的高的是()B返回返回类型类型2作三角形的高作三角形的高3如图，在如图，在ABC中，中，BC4，AC5，若若BC边上的高边上的高AD4.(1)求求ABC的面积及的面积及AC边上的高边上的高B
11、E的长；的长；类型类型3求与高相关的线段问题求与高相关的线段问题解：解：(1)SABC BCAD 448.SABC ACBE 5BE8，BE .12121212165(2)求求AD:BE的值的值返回返回(2)AD:BE4:.165544如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分别为点垂足分别为点E，F，G.求证求证DEDFBG.类型类型4证明与高相关的线段和问题证明与高相关的线段和问题返回返回证明：连接证明：连接AD.SABCSABDSADC，ACBG ABDE ACDF.又又ABAC，DEDFBG.1212125如图，已知如图，已知AD，AE分别是分别是AB
12、C的的高和中线，高和中线，AB6 cm，AC8 cm，BC10 cm，CAB90.试求：试求：(1)AD的长；的长；类型类型5求与中线相关的线段问题求与中线相关的线段问题2应用应用三角形的中线的应用三角形的中线的应用解：解：(1)SABC ABAC，SABC BCAD，ABACBCAD，即即6810AD，AD4.8 cm.1212(2)ABE的面积；的面积；SABE BEAD BCAD 104.812(cm2)1212121212(3)ACE和和ABE的周长的差的周长的差 CACECABE(ACCEAE)(ABBEAE)ACAB862(cm)返回返回6如图，如图，ABC的三边的中线的三边的中线
13、AD，BE，CF的公共的公共点为点为G，且，且AGGD2:1.若若SABC12，求图中，求图中阴影部分的面积阴影部分的面积类型类型6求与中线相关的面积问题求与中线相关的面积问题解：解：AG:GD2:1，AG:AD2:3，SABG SABD.23返回返回又又SABD SABC，SABG SABC SABC，SBGF SABG SABC 122.同理可得同理可得SCGE2，图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为4.231212131216167(1)如图，在如图，在ABC中，中，D，E，F是边是边BC上的三点，且上的三点，且1234，以，以AE为角平分线的三为角平分线的三角形有角形有_；ABC和
14、和ADF3应用应用三角形的角平分线的应用三角形的角平分线的应用类型类型7三角形角平分线定义的直接应用三角形角平分线定义的直接应用(2)如图，若已知如图，若已知AE平分平分BAC，且，且12415，计算，计算3的度数，的度数，并证明并证明AE是是DAF的角平分线的角平分线AE平分平分BAC，BAECAE.1215，BAE12151530.CAEBAE30，即即CAE4330.又又415，315.2315.AE是是DAF的角平分线的角平分线返回返回8如图，在如图，在ABC中，中，ADBC于于D，AE平分平分BAC，B70，C30.(1)求求BAE的度数的度数类型类型8三角形的角平分线与高相结合求角
15、的度数三角形的角平分线与高相结合求角的度数解：解：(1)BCBAC180，BAC180BC180703080.AE平分平分BAC，BAE BAC40.12(2)求求DAE的度数的度数ADBC，ADE90.BBAD90.BAD90B907020.又由又由(1)可知可知BAE40，DAEBAEBAD402020.(3)探究：小明认为，如果条件探究：小明认为，如果条件B70，C30改成改成BC40，也能得出，也能得出DAE的度数，你认为能吗？的度数，你认为能吗？若能，请你写出求解过程；若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由若不能，请说明理由返回返回能能BCBAC180，BAC180BC.AE平分
16、平分BAC，BAE BAC (180BC)90 (BC)ADBC，121212返回返回ADE90.BBAD90.BAD90B.DAEBAEBAD90 (BC)(90B)(BC)BC40，DAE124020.1212类型类型9证明三角形两内角平分线的交角问题证明三角形两内角平分线的交角问题9如图，在如图，在ABC中，若中，若P点为点为ABC和和ACB的平分线的交的平分线的交点求证点求证P90 A.12返回返回证明：证明：BP，CP分别平分分别平分ABC，ACB，PBC ABC，PCB ACB.P180PBCPCB180 ABC ACB180 (ABCACB)180 (180A)90 A.1212
17、121212121210如图，在如图，在ABC中，若中，若P点为外点为外角角CBD和和BCE的平分线的交的平分线的交点求证点求证P90 A.12类型类型10证明三角形两外角平分线的交角问题证明三角形两外角平分线的交角问题返回返回证明：证明：P180CBPBCP180 CBD BCE180 (CBDBCE)180 (AACBAABC)180 (180A)90 A.12121212121211如图，在如图，在ABC中，中，ABC的平的平分线与分线与ACE的平分线相交于点的平分线相交于点D.(1)若若ABC60，ACB40，求求A和和D的度数的度数类型类型11解三角形内、外角平分线的交角问题解三角形
18、内、外角平分线的交角问题解：解：(1)在在ABC中，中，ABC60，ACB40，A180ABCACB80.BD为为ABC的平分线，的平分线，CD为为ACE的平分线，的平分线，DBC ABC 6030，ACD (180ACB)14070.D180DBCACBACD18030407040.A80，D40.12121212(2)由第由第(1)小题的计算，发现小题的计算，发现A和和D有什么关系？它有什么关系？它们是不是一定有这种关系？们是不是一定有这种关系？请说明理由请说明理由通过第通过第(1)小题的计算，得到小题的计算，得到A2D.一定有这一定有这种关系，理由如下：种关系，理由如下：返回返回 BD平
19、分平分ABC，CD平分平分ACE，ABDDBC，ACDDCE.ACEAABC，2DCEA2DBC.又又DCEDDBC，2D2DBCA2DBC，即即A2D.第十一章 三角形1234567891下列说法正确的是下列说法正确的是()A五五条长度相等的线段首尾顺次连接所构成的图形是正五边形条长度相等的线段首尾顺次连接所构成的图形是正五边形B正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形六边形C从从n边形的一个顶点出发可以引边形的一个顶点出发可以引(n2)条对角线条对角线Dn边形共有边形共有 条对角线条对角线返回返回1题型题型多边形的有关概念多
20、边形的有关概念D32n n（）2(中考中考孝感孝感)已知一个正多边形的每个外角等已知一个正多边形的每个外角等于于60，则这个正多边形是，则这个正多边形是()A正五边形正五边形B正六边形正六边形C正七边形正七边形D正八边形正八边形B返回返回2题型题型利用多边形的内角和或外角和求边数利用多边形的内角和或外角和求边数3一个多边形的内角和是外角和的一个多边形的内角和是外角和的3倍，则倍，则这个多边形的边数为这个多边形的边数为_8返回返回4已知两个多边形的内角总和是已知两个多边形的内角总和是900，且边数，且边数之比是之比是1:2，求这两个多边形的边数，求这两个多边形的边数解：设这两个多边形的边数分别是
21、解：设这两个多边形的边数分别是n，2n，则则(n2)180(2n2)180900，解得解得n3，所以，所以2n6.所以这两个多边形的边数分别是所以这两个多边形的边数分别是3，6.返回返回5在四边形在四边形ABCD中，中，A，B，C，D的度的度数之比为数之比为2:3:4:3，则，则D等于等于()A60B75C90D1203题型题型利用多边形的内角和或外角和求角的度数利用多边形的内角和或外角和求角的度数C返回返回6如图，如图，CDAF，DA，ABBC，C120，E80.求求F的度数的度数解：连接解：连接AD，在四边形，在四边形ABCD中，中，BADADCBC360.ABBC，B90.返回返回又又C
22、120，BADADC150.CDAF，CDADAF，BAF150.又又CDEBAF，CDE150.在六边形在六边形ABCDEF中，中，F720BAFBCCDEE7201509012015080130.7一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570.求：求：(1)这个多边形的边数；这个多边形的边数；4题型题型用不等式思想解有关多边形边数及角的问题用不等式思想解有关多边形边数及角的问题解：解：(1)设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，则其内角和为则其内角和为(n2)180.依题意，得依题意，得2 570(n2)1802 570180，解这个不等
23、式组，得，解这个不等式组，得16 n17 .因为因为n3，且，且n是整数，是整数，所以所以n17，即这个多边形的边数为，即这个多边形的边数为17.518518除去的那个内角的度数为：除去的那个内角的度数为：(172)1802 570130.返回返回(2)除去的那个内角的度数除去的那个内角的度数8如图，已知如图，已知BOF120，则，则ABCDEF_.5题型题型求不规则图形的内角和求不规则图形的内角和240返回返回9一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是内角和是2 700.原多边形的边数是多少？原多边形的边数是多少？6题型题型多边形中的截角问
24、题多边形中的截角问题返回返回解：设新多边形的边数是解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和公，根据多边形的内角和公式，得式，得(n2)1802 700，解得，解得n17.把一个多边形的一个角截去后，所得新多边形边数把一个多边形的一个角截去后，所得新多边形边数可能不变，可能减少可能不变，可能减少1，也可能增加，也可能增加1.所以原多边形的边数为所以原多边形的边数为16或或17或或18.第21章 一元二次方程1234567891011121314151如图，以如图，以CD为一边的三角形为一边的三角形有有_；EFB是是_的内角；的内角；1考点考点两个概念两个概念概念概念1与三角形有关的概念与三角
25、形有关的概念CDF，BCDBEF在在BCE中，中，BE所对的角是所对的角是_，CBE所对的边是所对的边是_；以；以A为一个内角的三为一个内角的三角形有角形有_返回返回BCECEABD，ACE，ABC2下列说法正确的是下列说法正确的是()A由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B多多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角C各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形D连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线连接多边形的两个顶点的线段，叫做多
26、边形的对角线概念概念2与多边形有关的概念与多边形有关的概念C返回返回3如图，如图，D为为ABC中中AC边上一点，边上一点，AD1，DC2，AB4，E是是AB上上一点，且一点，且DEC的面积等于的面积等于ABC面积的一半求面积的一半求BE的长的长2考点考点三种线段三种线段线段线段1三角形的高三角形的高解：如图，过点解：如图，过点E作作EFAC于点于点F，则，则 过点过点C作作CGAB于点于点G，则，则122=132DECAECDC EFSDCSACAC EF 12=142AECABCAE CGSAEAESABAB CG 返回返回即即 ,又又 ，AE3.BEABAE1，即，即BE的长为的长为1.2
27、34DECAECAECABCSSAESS，6DECABCSAES 12DECABCSS 1=62AE4如图，在如图，在ABC中，中，E是边是边BC上的一点，上的一点，EC2BE，点，点D是是AC的中点，连接的中点，连接AE，BD交于点交于点F.线段线段2三角形的中线三角形的中线返回返回设设ABC，ADF，BEF的面积分别为的面积分别为SABC，SADF，SBEF，且，且SABC12，则，则SADFSBEF()A1 B2C3 D4B5如图，在如图，在ABC中，中，AF是中是中线，线，AE是角平分线，是角平分线，AD是是高，高，BAC90，FC6.根据图形填空：根据图形填空：线段线段3三角形的角平
28、分线三角形的角平分线(1)BF_，BC_；(2)BAE_，CAE_；(3)ADB_，ADC_.返回返回612454590906若三角形的三边长分别为若三角形的三边长分别为5，12x，8，则，则x的的取值范围是取值范围是_3考点考点三个关系三个关系关系关系1三角形的三边关系三角形的三边关系1x6返回返回7如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC边上的边上的一点，一点，12，34，BAC57.求求CAD的度数的度数关系关系2三角形内、外角的关系三角形内、外角的关系返回返回解：设解：设12x，则则34122x.在在ABC中，中，24BAC180，BAC57，x2x57180.解得解得x41.CADB
29、AC1574116.8如图，如图，1，2，3，4是五是五边形边形ABCDE的四个外角，若的四个外角，若A120，则，则1234_关系关系3多边形内、外角的关系多边形内、外角的关系300返回返回9(中考中考资阳资阳)等腰三角形的两边长等腰三角形的两边长a，b满足满足|a4|(b9)20，求这个等腰三角形的周长，求这个等腰三角形的周长返回返回4考点考点两种计算两种计算计算计算1三角形中边的计算三角形中边的计算解：解：|a4|(b9)20，|a4|0，(b9)20.a4，b9.若腰长为若腰长为4，则，则449，不能构成三角形；，不能构成三角形；若腰长为若腰长为9，则，则949，能构成三角形，能构成三
30、角形故这个等腰三角形的周长为故这个等腰三角形的周长为99422.10已知：从已知：从n边形的一个顶点出发共有边形的一个顶点出发共有4条对角线；条对角线；从从m边形的一个顶点出发的所有对角线把边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形边形分成分成6个三角形；正个三角形；正t边形的边长为边形的边长为7，周长为，周长为63.求求(nm)t的值的值返回返回计算计算2多边形中边的计算多边形中边的计算解：由题意知解：由题意知n437，m628，t6379，所以所以(nm)t(78)9(1)91.11如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，BD为为AC边上的高，边上的高，G为为ABC内任内任意一点，意
31、一点，GFAB，GEAC，GHBC，垂足分别为，垂足分别为F，E，H.求证求证GFGEGHBD.技巧技巧1巧用面积法解决问题巧用面积法解决问题5考点考点两个技巧两个技巧证明：连接证明：连接GA，GB，GC.BD是是AC边上的高，边上的高，SABC ACBD.GFAB，GEAC，GHBC，SABCSABGSBCGSACG ABGF BCGH ACGE.又又ABBCAC，SABC AC(GFGEGH)ACBD.GFGEGHBD.1212121212返回返回12如图，如图，ABCDEFGHK_技巧技巧2巧用整体法解决问题巧用整体法解决问题540返回返回13如图，求如图，求ABCDEF的度数的度数思想
32、思想1转化思想转化思想6考点考点三种思想三种思想返回返回解：设解：设DE与与BC交于点交于点O，连接，连接BE.CODBOE，OBEOEBCD.AABCCDFEDFAABCOBEOEBFEDFAABEBEFF360.14阅读两名同学对下题的解答过程阅读两名同学对下题的解答过程一个等腰三角形的周长为一个等腰三角形的周长为28 cm，其中一边长为，其中一边长为8 cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？则这个三角形另外两边的长分别是多少？李明说应这样解：设腰长为李明说应这样解：设腰长为x cm，则，则2x828，解，解得得x10，所以这个三角形另外两边的长均为，所以这个三角形另外两边的长均为10
33、 cm.思想思想2分类讨论思想分类讨论思想张钢说应这样解：设底边长为张钢说应这样解：设底边长为x cm，则，则28x28，解得解得x12，所以这个三角形另外两边的长分别为，所以这个三角形另外两边的长分别为8 cm，12 cm.试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程答过程返回返回解：李明、张钢两人的解法均不全面正确的解答如下：解：李明、张钢两人的解法均不全面正确的解答如下：当该等腰三角形的底边长为当该等腰三角形的底边长为8 cm时，腰长为时，腰长为(288)10(cm)；当该等腰三角形的腰长为当该等腰三角形的腰长为8 cm时，底边长为时，底边长为282812(cm)根据三角形三边关系可验证两种情况均成立根据三角形三边关系可验证两种情况均成立所以这个三角形另外两边的长是所以这个三角形另外两边的长是10 cm，10 cm或或8 cm，12 cm.1215在在ABC中，中，B20A，CB10.求求A的度数的度数思想思想3方程思想方程思想解：由题意得解：由题意得CB1020A1010A，ABCA20A10A3A30180.A50.返回返回
