1、导数及其应用复习之知识梳理本章知识结构本章知识结构 导数及其应用导数及其应用 导数导数定积分定积分与微积与微积分基本分基本定理定理导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率瞬时速度与导数瞬时速度与导数导数的几何意义导数的几何意义基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数函数单调性研究函数单调性研究函数的极值、最值函数的极值、最值曲线的切线曲线的切线面积面积 功功定理的含义定理的含义定理的应用定理的应用路程路程曲边梯形面曲边梯形面积与定积分积与定积分微积分基本微积分基本定理定理最优化问题最优化问
2、题曲边梯形面积曲边梯形面积定积分定义定积分定义函数的平均变化率函数的平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y()lim()f xfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx()limf xx0 x 导数导数基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nR
3、a nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e若f(x)=e，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f
4、(x)=lnx，则f(x)=x x返回返回导数的运算法则导数的运算法则:法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:()()()()()()f x g xfx g xf x g x法则法则3:3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导
5、数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回 当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时时,割线割线PQPQ如果有一如果有一个极限位置个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0 x0时时,割线割线PQPQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线的斜率切
6、线的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T返回返回1)1)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内单调递增；内单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f(x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f f(x)=0(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧附近的左侧附近f f(x)0(x)0(x)0，那么是，那么是f(a)f(a
7、)函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值.函数的极值函数的极值1)1)如果如果b b是是f f(x)=0(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f f(x)0(x)0，在在b b右侧附近右侧附近f f(x)0(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函数是函数f(x)f(x)的一个极大值的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点注：导数等于零的点不一定是极值点2)2)在在闭区间闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲的曲线线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数函数的
8、最大（小）值与导数x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3)f(b)f(b)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)gg返回返回 复合函数的导复合函数的导数数:注注:y y对对x x的导数等于的导数等于y y对对u u的导的导 数与数与u u对对x x的导数的乘积的导数的乘积.复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u),y=f(u),u=gu=g(x x)的导数间关系为的导数间关系为:;xuxuyy ()()().xfxf ux或或返回返回返回返回过过p(x0,y0)的切线的切线1)p
9、(x0,y0)为切点为切点切线方程切线方程00y-y=f(x)(x-x)2)p(x0,y0)不为切点不为切点1110110y=f(x)y-y=f(x)x-x 切点切点11P(x,y)求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1,xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为 x的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)x近似之。近似之。(3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面
10、积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim()niniSfxx1()niiSfxx (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb返回返回定积分的定义定积分的定义 11()()nniiiibafxfnxx 小矩形面积和S=如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，记作上的定积分，记作 ba(x)dx，即f(x)dx f(x
11、 i)xi。从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1()lim()ninibaf x dxfnxba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。1()lim()ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy baIdxx
12、f)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限 说明：说明：(1)定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关，baf(x)dx baf(x)dx-(2)返回返回定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab yf(x)baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f(x)、特别地，当 ab 时，有baf(x)dx0。当当f(x)0时，由时，由y f(x)、x a、
13、x b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形位于曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf(x)yf(x)dxxfSba)(baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f(x x)dxdx 在几何上表在几何上表示示 b ba af f (x x)d dx x f f (x x)d dx x f f (x x)d dx x。S S返回返回定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）牛顿莱布尼茨公式()|()()()bbaaf x dxF
14、 bxFFa或或(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)如果如果f(x)f(x)是区间是区间a,ba,b上的连续函数上的连续函数,并且并且F F(x)=f(x),(x)=f(x),则则baf x dxF bF a()()()定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1.1.dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2.2.badx)x(kf badx)x(fk定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3.3.2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf(x)返回返回本章考点是：本章考点是：利用导数求函数的极值；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；利用导数求函数的最值；利用导数证明函数的单调性；利用导数证明函数的单调性；导数在实际中的应用；导数在实际中的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合的问题；导数与解析几何相综合的问题；
