1、1一阶微分方程一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、第七章要点一、第七章要点1一阶微分方程一阶微分方程1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法xxfyygd)(d)(1类型类型)()(ygxfy 2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程类型类型)()(xQyxPy解法解法CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齐次方程齐次方程此为变量可分离的微分方程此为变量可分离的微分方程类型类型xyyxfy),(解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为xyu xuxu
2、xydddduuxux)(dd4)伯努利方程伯努利方程为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程类型类型)1,0()()(，yxQyxPy解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为1yz，)()1()()1(ddxQzxPxz2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程方法方法 作作 次积分次积分n新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程1)类型类型)()(xfyn2)类型类型),(yxfy 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为py，),(pxfp 新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程3)类型类型 ),(yyfy 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为py，
3、),(ddpyfypp3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程而称方程而称方程为方程所对应的齐次线性方程有为方程所对应的齐次线性方程有)()()(xfyxQyxPy 0)()(yxQyxPy1)若若 是方程的线性无关解，则方程有通解是方程的线性无关解，则方程有通解21,yy2211yCyCy的一个特解的一个特解*2211yyCyCy2)若若 是方程的特解，则方程有通解是方程的特解，则方程有通解*y3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，)()()(xfyxQyxPyi*iy则则 为方程为方程*2*1yy)()()()(21xfxfyxQyxPy
4、 4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程设方程设方程相应的特征方程为相应的特征方程为0 qyypy02qprr则：若方程有两个不同的实根则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为21,rr；xrxrCCy21ee21若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为21rr；xrCxCy1e)(21若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通i2,1r)sincos(e21xCxCyx解为解为2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程设方程为设方
5、程为则方程有特解则方程有特解，)(exPqyypymx，)(e*xQxymkx其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而)(xQm)(xPm，210k若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根设方程设方程则方程有特解则方程有特解，sin)(cos)(exxPxxPqyypymlx，sin)(cos)(e21*xxRxxRxynnxk其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而)(),(21xRxRnnn,maxlmn 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0ki二、
6、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|lnxCxy)4(4解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例2 求解方程求解方程 ，0tanyxyxyx32xyxyxyytan作变换作变换 ，则有，则有xyu，uuxuxutandd移项，得移项，得两边积分，得两边积分，得，xxuuud1dsincos，Cxul
7、n|ln|sin|ln将将 代入，有代入，有xyu，xCxysin即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为32xy1C，xxy1sinxxy1arcsin解解 原方程变形为原方程变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，)(2yfx 由求解公式得由求解公式得6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62分离变量，得分离变量，得两边积分
8、，得两边积分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 32232yyxxyy解法解法1 此方程为齐次方程，作代换此方程为齐次方程，作代换 ，则有，则有uxy，23dd2uuxuxu，xxuuuud3d)1(2322故方程的通解为故方程的通解为即即由于由于，Cxuuuuln|ln3d)1(2322uuuuuuuud)12(d)1(23222，12)1ln(21|ln2Cuu，3221xCuuCyxy222解法解法2 方程变形为方程变形为故方程的通解为故方程的通解为代回原变量，得代回原变量，得422Cyyx，132ddyxxyyx此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ，则有，则有2xz
9、，yzyyz64dd，42Cyyz例例5 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为，1lnlnlnCxp1.；2.0 yyxyyy 3解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为yyp，0ppx，xxppd1d1即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为，xCxy1dd21lnCxCy方程变形为方程变形为即有即有0)1dd(2 pypp2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则xyp，yppxydddd22，ppypp3dd解得解得即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解xCCye)s
10、in(21由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由0pCy，01dd2 pyp，1arctanCyp，)tan(1Cyy，21ln|)sin(|lnCxCy例例6 求下列方程的通解求下列方程的通解解解 1.特征方程为特征方程为xxCCy2521e)(解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解2521 rr，0252042rr1.；2.；025204 yyyxxyy2e2 3.xxyycos4 则则xCCy221e 2.特征方程为特征方程为 ，因而齐次方程的通解为，因而齐次方程的通解为022 rr由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为2，xbaxxy2*e)(，x
11、bxbaaxy22*e)22(2，xbaxbaaxy22*e42)48(4代入方程后，比较系数得代入方程后，比较系数得所以所以因而方程的通解为因而方程的通解为，2141baxxy2*e)2(41xxxCCy2221e)2(41e代入到原方程，得代入到原方程，得，xdcxxbaxysin)(cos)(*3.特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐次方，所以齐次方042ri22,1r程的通解为程的通解为xCxCy2sin2cos21注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可ii 设为设为，xxxadcxxcbaxcossin)233(cos)223(1一阶微
12、分方程一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、第七章要点一、第七章要点1一阶微分方程一阶微分方程1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法xxfyygd)(d)(1类型类型)()(ygxfy 2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程类型类型)()(xQyxPy解法解法CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齐次方程齐次方程此为变量可分离的微分方程此为变量可分离的微分方程类型类型xyyxfy),(解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为xyu xuxuxydd
13、dduuxux)(dd4)伯努利方程伯努利方程为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程类型类型)1,0()()(，yxQyxPy解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为1yz，)()1()()1(ddxQzxPxz2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程方法方法 作作 次积分次积分n新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程1)类型类型)()(xfyn2)类型类型),(yxfy 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为py，),(pxfp 新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程3)类型类型 ),(yyfy 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为py，),(d
14、dpyfypp3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程而称方程而称方程为方程所对应的齐次线性方程有为方程所对应的齐次线性方程有)()()(xfyxQyxPy 0)()(yxQyxPy1)若若 是方程的线性无关解，则方程有通解是方程的线性无关解，则方程有通解21,yy2211yCyCy的一个特解的一个特解*2211yyCyCy2)若若 是方程的特解，则方程有通解是方程的特解，则方程有通解*y3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，)()()(xfyxQyxPyi*iy则则 为方程为方程*2*1yy)()()()(21xfxfyxQyxPy 4二阶
15、常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程设方程设方程相应的特征方程为相应的特征方程为0 qyypy02qprr则：若方程有两个不同的实根则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为21,rr；xrxrCCy21ee21若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为21rr；xrCxCy1e)(21若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通i2,1r)sincos(e21xCxCyx解为解为2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程设方程为设方程为则方
16、程有特解则方程有特解，)(exPqyypymx，)(e*xQxymkx其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而)(xQm)(xPm，210k若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根设方程设方程则方程有特解则方程有特解，sin)(cos)(exxPxxPqyypymlx，sin)(cos)(e21*xxRxxRxynnxk其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而)(),(21xRxRnnn,maxlmn 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0ki二、例二、例
17、 题题 选选 讲讲解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|lnxCxy)4(4解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例2 求解方程求解方程 ，0tanyxyxyx32xyxyxyytan作变换作变换 ，则有，则有xyu，uuxuxutandd移项，得移项，得两边积分，得两边积分，得，xxuuud1dsincos，Cxuln|ln
18、|sin|ln将将 代入，有代入，有xyu，xCxysin即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为32xy1C，xxy1sinxxy1arcsin解解 原方程变形为原方程变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，)(2yfx 由求解公式得由求解公式得6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边
19、积分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 32232yyxxyy解法解法1 此方程为齐次方程，作代换此方程为齐次方程，作代换 ，则有，则有uxy，23dd2uuxuxu，xxuuuud3d)1(2322故方程的通解为故方程的通解为即即由于由于，Cxuuuuln|ln3d)1(2322uuuuuuuud)12(d)1(23222，12)1ln(21|ln2Cuu，3221xCuuCyxy222解法解法2 方程变形为方程变形为故方程的通解为故方程的通解为代回原变量，得代回原变量，得422Cyyx，132ddyxxyyx此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ，则有，则有2xz，yzy
20、yz64dd，42Cyyz例例5 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为，1lnlnlnCxp1.；2.0 yyxyyy 3解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为yyp，0ppx，xxppd1d1即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为，xCxy1dd21lnCxCy方程变形为方程变形为即有即有0)1dd(2 pypp2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则xyp，yppxydddd22，ppypp3dd解得解得即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解xCCye)sin(2
21、1由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由0pCy，01dd2 pyp，1arctanCyp，)tan(1Cyy，21ln|)sin(|lnCxCy例例6 求下列方程的通解求下列方程的通解解解 1.特征方程为特征方程为xxCCy2521e)(解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解2521 rr，0252042rr1.；2.；025204 yyyxxyy2e2 3.xxyycos4 则则xCCy221e 2.特征方程为特征方程为 ，因而齐次方程的通解为，因而齐次方程的通解为022 rr由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为2，xbaxxy2*e)(，xbxbaaxy22*e)22(2，xbaxbaaxy22*e42)48(4代入方程后，比较系数得代入方程后，比较系数得所以所以因而方程的通解为因而方程的通解为，2141baxxy2*e)2(41xxxCCy2221e)2(41e代入到原方程，得代入到原方程，得，xdcxxbaxysin)(cos)(*3.特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐次方，所以齐次方042ri22,1r程的通解为程的通解为xCxCy2sin2cos21注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可ii 设为设为，xxxadcxxcbaxcossin)233(cos)223(
