1、2023-5-3模型一：正方形中相交垂线段问题模型一：正方形中相交垂线段问题教材母题：教材母题：课本课本6868页第页第8 8题题例例1.1.如图，如图，ABCDABCD是一个正方形花园，是一个正方形花园，E E、F F是它的两个门，且是它的两个门，且DE=CFDE=CF，要修，要修建两条路建两条路BEBE和和AFAF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？解：解：BEBEAFAF且且BEAFBEAF，理由：，理由：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABADADCDCD，BADBADDD9090.又又DEDECFCF，AEA
2、EDF.DF.ABEABEDAFDAF（SASSAS）BEBEAFAF，ABEABEDAF.DAF.DAFDAFBAFBAF9090，ABEABEBAFBAF9090.AGBAGB9090，即，即BEAF.BEAF.2023-5-3变式变式1 1：如图，如图，ABCDABCD是一个正方形花园，是一个正方形花园，E E、F F是它的两个门，是它的两个门，且且B BE=E=A AF F，则，则BEBEAFAF吗？吗？解：成立理由：解：成立理由：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，BADBADDD9090，ABABAD.AD.在在RtRtABEABE和和RtRtDAFDAF中，中，BE
3、BEAFAF，ABABDADA，RtRtABERtABERtDAFDAF（HLHL）ABEABEDAF.DAF.DAFDAFBAFBAF9090，ABEABEBAFBAF9090.AGBAGB9090，即，即BEAF.BEAF.2023-5-3变式变式2 2：如图，如图，ABCDABCD是一个正方形花园，是一个正方形花园，E E、F F是它的两个门，是它的两个门，且且BEBEAFAF，则，则B BE=E=A AF F成立成立吗？吗？解：成立理由：解：成立理由：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABADAD，BADBADDD9090.又又BEAFBEAF，AGBAGB9090.
4、ABEABEBAFBAF9090.DAFDAFBAFBAF9090，ABEABEDAF.DAF.ABEABEDAFDAF（ASAASA）BEBEAF.AF.2023-5-3如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，分别连接两组对边上的两点，得到的两条线段中，分别连接两组对边上的两点，得到的两条线段（如图（如图1 1中的中的AFAF与与BEBE，图图2 2中的中的AFAF与与GEGE，图，图3 3中的中的HFHF与与GEGE）满足：）满足：若垂直，则相等；若垂直，则相等；若相等，则垂直；若相等，则垂直；若若AE=DFAE=DF，则垂直且相等，则垂直且相等.图图2 2思路：过点思路：过点B B作
5、作BM/GEBM/GE交交ADAD于点于点M M图图3 3思路：过点思路：过点B B作作BM/GEBM/GE交交ADAD于点于点M M，过点，过点A A作作AN/HFAN/HF交交CDCD于点于点N N模型归纳：模型归纳：2023-5-31.1.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别在分别在BCBC，CDCD上，上，BE=CFBE=CF，则图中，则图中与与AEBAEB相等的角的个数是（相等的角的个数是（）A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4C C 拓展拓展 若若AEAE与与BFBF相交于点相交于点O O，求，求AOBAOB的度数的度数.2023-
6、5-32.2.在正方形在正方形ABCDABCD中，动点中，动点E E，F F分别从分别从D D，C C两点同时出发，以相同的速度在直线两点同时出发，以相同的速度在直线DCDC，CBCB上移动上移动（1 1）如图，当点）如图，当点E E自自D D向向C C，点，点F F自自C C向向B B移动时，连接移动时，连接AEAE和和DFDF交于点交于点P P，请你写出，请你写出AEAE与与DFDF的位置关系，的位置关系，并说明理由；并说明理由；（2 2）如图，当）如图，当E E，F F分别移动到边分别移动到边DCDC，CBCB的延长线上时，连接的延长线上时，连接AEAE和和DFDF，（，（1 1）中的结
7、论还成立吗？）中的结论还成立吗？（请你直接回答（请你直接回答“是是”或或“否否”，不须证明），不须证明）（3 3）如图，当）如图，当E E，F F分别在边分别在边CDCD，BCBC的延长线上移动时，连接的延长线上移动时，连接AEAE，DFDF，（，（1 1）中的结论还成立吗？）中的结论还成立吗？请说明理由；请说明理由；2023-5-3（1 1）AE=DFAE=DF，AEDFAEDF理由：理由：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AD=DCAD=DC，ADC=C=90ADC=C=90在在ADEADE和和DCFDCF中，中，AD=DCAD=DC,ADC=CADC=C,DE=CFDE=C
8、FADEADEDCFDCF（SASSAS）AE=DFAE=DF，DAE=CDFDAE=CDF，由于由于CDF+ADF=90CDF+ADF=90，DAE+ADF=90DAE+ADF=90AEDFAEDF；（2 2）是）是（3 3）成立）成立理由：由（理由：由（1 1）同理可证）同理可证AE=DFAE=DF，DAE=CDFDAE=CDF延长延长FDFD交交AEAE于点于点G G，则则CDF+ADG=90CDF+ADG=90，ADG+DAE=90ADG+DAE=90AEDFAEDF；2023-5-33.在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE【感知】如图，过点A作AFB
9、E交BC于点F易证ABFBCE（不需要证明）【探究】如图，取BE的中点M，过点M作FGBE交BC于点F，交AD于点G（1）求证：BE=FG（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为【应用】如图，取BE的中点M，连结CM过点C作CGBE交AD于点G，连结EG、MG若CM=3，则四边形GMCE的面积为 对角线互相垂直对角线互相垂直的四边形的的四边形的面积面积等于两条等于两条对角线乘积的一半对角线乘积的一半.2023-5-3探究：（探究：（1 1）如图，）如图，过点过点G G作作GPBCGPBC于于P P，四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=BCAB=BC，A=ABC=90A=ABC
10、=90，四边形四边形ABPGABPG是矩形，是矩形，PG=ABPG=AB，PG=BCPG=BC，同感知的方法得，同感知的方法得，PGF=CBEPGF=CBE，在在PGFPGF和和CBECBE中，中，PGF=CBEPGF=CBE，PG=BCPG=BC，GPF=BCE=90GPF=BCE=90PGFPGFCBECBE（ASAASA），），BE=FGBE=FG，（2 2）由（）由（1 1）知，）知，FG=BEFG=BE，连接，连接CMCM，BCE=90BCE=90，点，点M M是是BEBE的中点，的中点，BE=2CM=2BE=2CM=2，FG=2FG=2应用：同探究（应用：同探究（2 2）得，）得，
11、BE=2ME=2CM=6BE=2ME=2CM=6，ME=3ME=3，同探究（同探究（1 1）得，）得，CG=BE=6CG=BE=6，BECGBECG，SS四边形四边形CEGMCEGM=CG=CGME=ME=6 63=93=92023-5-3模型二：正方形与等边三角形模型二：正方形与等边三角形例例2 2.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD的外侧，作等边三角形的外侧，作等边三角形ADEADE，连接，连接BEBE，则，则AEBAEB的度数为的度数为_._.1515教材母题：教材母题：6767页第页第1 1（3 3）题）题变式变式1 1：在正方形在正方形ABCDABCD的外侧，的外侧，以正方
12、形以正方形ABCDABCD的一边作的一边作等边三角等边三角形形ADEADE，连接，连接BEBE，则，则AEBAEB的度数为的度数为_.1515或或75752023-5-3变式变式3 3：如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD的外侧，作等边的外侧，作等边三角形三角形ADEADE，连接，连接BEBE，CECE，则，则（1 1）求证：）求证：BE=CE BE=CE （2 2）求）求CEBCEB的度数的度数.变式变式2 2：如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD的外侧，作等边三角形的外侧，作等边三角形DCEDCE，若，若AED=15AED=15，则，则EACEAC的度数为的度数为_._.3
13、030变式变式4 4：（导学（导学9595页页3 3题）如图，在边长为题）如图，在边长为2 2的的正方形正方形ABCDABCD的外侧，作等边三角形的外侧，作等边三角形ADEADE，连接连接BEBE，则，则ABEABE的面积等于的面积等于_。1 12023-5-3变式变式5 5：如图如图1 1，在正方形，在正方形ABCDABCD的外侧，作两个等边三角形的外侧，作两个等边三角形ADEADE和和DCFDCF，连接，连接AFAF、BEBE（1 1）请判断）请判断AFAF与与BEBE的关系并给予证明；的关系并给予证明；（2 2）如图）如图2 2，若将条件，若将条件“两个等边三角形两个等边三角形ADEAD
14、E和和DCFDCF变为两个等腰三角形变为两个等腰三角形ADEADE和和DCFDCF，且，且EA=ED=FD=FC”EA=ED=FD=FC”，第（，第（1 1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3 3）若三角形）若三角形ADEADE和和DCFDCF为一般三角形，且为一般三角形，且AE=DFAE=DF，ED=FCED=FC，第（，第（1 1）问中的结论是否仍）问中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果然成立？请直接写出判断结果2023-5-3解：（解：（1 1）AF=BEAF=BE；AFBEAFBE理由如下：如图理由如下：如图1 1所示
15、：所示：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，BAD=ADC=90BAD=ADC=90，AB=AD=CDAB=AD=CD，ADEADE和和DCFDCF是等边三角形，是等边三角形，DAE=CDF=60DAE=CDF=60，AE=ADAE=AD，DF=CDDF=CD，AE=DFAE=DF，BAE=ADF=150BAE=ADF=150，BAEBAEADFADF（SASSAS），），AF=BEAF=BE，ABE=DAFABE=DAFDAF+BAF=90DAF+BAF=90，ABE+BAF=90ABE+BAF=90，AMB=90AMB=90，AFBEAFBE；（2 2）第（）第（1 1）问中的
16、结论仍然成立，理由如下：）问中的结论仍然成立，理由如下：如图如图2 2所示：所示：在正方形在正方形ABCDABCD中，中，BAD=ADC=90BAD=ADC=90，AB=AD=CDAB=AD=CDEA=ED=FD=FCEA=ED=FD=FC，AEDAEDDFCDFC（SSSSSS），），EAD=FDCEAD=FDCBAD+EAD=ADC+FDCBAD+EAD=ADC+FDC即即BAE=ADFBAE=ADFBAEBAEADFADF（SASSAS）AF=BEAF=BE，ABE=DAFABE=DAFDAF+BAF=90DAF+BAF=90，ABE+BAF=90ABE+BAF=90，AMB=90AMB
17、=90，AFBEAFBE（3 3）所画图形如图）所画图形如图3 3，第（第（1 1）问的结论成立，理由如下：）问的结论成立，理由如下：AE=DFAE=DF，ED=FCED=FC，AB=CDAB=CDAEDAEDDFCDFC（SSSSSS），），EAD=FDCEAD=FDCBAD+EAD=ADC+FDCBAD+EAD=ADC+FDC即即BAE=ADFBAE=ADFBAEBAEADFADF（SASSAS），），AF=BEAF=BE，ABE=DAFABE=DAFDAF+BAF=90DAF+BAF=90，ABE+BAF=90ABE+BAF=90，AMB=90AMB=90，AFBEAFBE2023-5-
18、3模型三：正方形中过对角线交点的直角问题模型三：正方形中过对角线交点的直角问题例例3.3.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，O O又是正方形又是正方形A A1 1B B1 1C C1 1O O的一个的一个顶点，顶点，O AO A1 1交交ABAB于点于点E E，OCOC1 1交交BCBC于点于点F F（1 1）求证：）求证：AOEAOEBOFBOF；（2 2）如果两个正方形的边长都为）如果两个正方形的边长都为a a，那么正方形，那么正方形A A1 1B B1 1C C1 1O O绕绕O O点转动，两个正方形点转动，两个正方形重叠
19、部分的面积等于多少？为什么？重叠部分的面积等于多少？为什么？2023-5-3解：（解：（1 1）证明：在正方形）证明：在正方形ABCDABCD中，中，AOAOBOBO，AOBAOBAA1 1OCOC1 19090，OABOABOBCOBC4545.AOEAOEEOBEOB9090，BOFBOFEOBEOB9090.AOEAOEBOF.BOF.在在AOEAOE和和BOFBOF中，中，AOEAOEBOFBOF，OAOAOBOB，O OAEAEO OBFBFAOEAOEBOFBOF（ASAASA）（2 2）两个正方形重叠部分的面积等于）两个正方形重叠部分的面积等于 a a2 2.理由如下：理由如下：
20、AOEAOEBOFBOF，SS四边形四边形OEBFOEBFS SEOBEOBS SBOFBOFS SEOBEOBS SAOEAOES SAOBAOB S S正方形正方形ABCDABCD a a2 2.4141412023-5-3如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，对角线交于点对角线交于点O O，EOF=90EOF=90，OEOE，OFOF分别与分别与DADA，ABAB的延的延长线交于点长线交于点G G，H H.A AOGOGB BOHOHBOEBOECOFCOFOGHOGH是等腰直角三角形是等腰直角三角形如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，对角线交于点对角线交于点O O
21、，EOF=90，点点E E，F F分别在分别在ABAB，BCBC上上.A AOEOEB BOFOFBOEBOECOFCOFOEFOEF是等腰直角三角形是等腰直角三角形S S四边形四边形OEBFOEBF=S=SAOBAOB模型归纳：模型归纳：2023-5-31.1.如图，三个边长均为如图，三个边长均为1 1的正方形按如图所示的方式重叠在一起，的正方形按如图所示的方式重叠在一起，A A1 1、A A2 2是其中两个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积是其中两个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积是是 .2023-5-32.2.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线A
22、CAC、BDBD的交点，过点的交点，过点O O作作OEOFOEOF，分别，分别交交ABAB、BCBC于于E E、F.F.（1 1）求证：）求证：OEFOEF是等腰直角三角形是等腰直角三角形.（2 2）若）若AE=4AE=4，CF=3CF=3，求，求EFEF的长的长.（3 3）四边形）四边形OEBFOEBF的面积的面积（1 1）四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形ABO=ACF=45ABO=ACF=45，OB=OCOB=OC，BOC=90BOC=90又又DEOFDEOFEOF=90EOF=90EOB=FOCEOB=FOCBEOBEOCFOCFOOE=OFOE=OF又又EOF=90EOF=
23、90DEFDEF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；（2 2）BEOBEOCFO(CFO(已证已证)BE=CFBE=CF又又四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AB=BFAB=BF在在RtRtBEFBEF中，中，EFEF2 2=BE=BE2 2+BF+BF2 2=CF=CF2 2+AE+AE2 2=3=32 2+4+42 2=2525 EF=5EF=5（3 3）AE=4AE=4，BE=3BE=3，AB=3+4=7AB=3+4=7，OA=OB=OA=OB=OAOAOB=OB=SS四边形四边形OEBFOEBF=S=SAOBAOB=OAOAOB=OB=449212492272023-5-3
24、3.3.（导学（导学216216页第页第9 9题）已知：如图所示，正方形题）已知：如图所示，正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，点，点E E、F F分别在分别在ABAB、B BC C边上（边上（AEBEAEBE）,且且EOF=90EOF=90，OE,DAOE,DA的延长线交于点的延长线交于点M M，OFOF，ABAB的延的延长线交于点长线交于点N N，连接，连接MN.MN.(1)(1)求证：求证：OM=ON;OM=ON;(2)(2)若正方形若正方形ABCDABCD的边长为的边长为6 6，OE=EMOE=EM，求，求MNMN的长的长.2023-5-3P P（1 1）四边
25、形四边形ABCDABCD为正方形为正方形O OAB=AB=OBCOBC=45=45，DABDAB=ABC=ABC=9090,O OA A=O=OBMABMAB=CBN=CBN=9090OAMOAM=OBN=135OBN=135EOF=EOF=9090,AOB=AOB=9090OAMOAM=BONBONAOMAOMOBN(ASA)OBN(ASA)OOM M=O=ON N（2 2）过点）过点O O作作OPOPABAB于点于点P,P,则则AP=BP=OP=3AP=BP=OP=3OPEOPE=MAEMAE，OEPOEP=MAE,MAE,OE=EMOE=EMP PEOEOAEMAEM AE=PE=1.5
26、AE=PE=1.5在在RtRtOEPOEP中中,由勾股定理得由勾股定理得OE=OE=ON=OM=2OE=ON=OM=2OE=在在RtRtOMNOMN中中,由勾股定理得由勾股定理得MN=MN=2535.132222 EPOP5310322ONOM2023-5-3模型四：正方形中三垂直全等模型模型四：正方形中三垂直全等模型教材母题：教材母题：课本课本6969页第页第1414题题例例4 4：如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是正方形，点是正方形，点E E是边是边BCBC的中点的中点，AEF=90AEF=90，且且EFEF交正方形外角交正方形外角的的平分线平分线CFCF于点于点F F求证
27、：求证：AEAE=E EF FM M证明：取证明：取ABAB的中点的中点M M，连接，连接ME.ME.AMAMBMBM AB.AB.EE是是BCBC的中点，的中点，BEBEECEC BC.BC.四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，B BBCDBCD9090，ABABBC.BC.AMAMECEC，BMBMBE.BE.BMEBME4545.AME.AME135135.又又CFCF是正方形外角的平分线，是正方形外角的平分线，ECFECF135135.AEFAEF9090，AEBAEBFECFEC9090.又又AEBAEBBAEBAE9090，BAEBAEFEC.FEC.AMEAMEECF
28、ECF（ASAASA）AEAEEF.EF.21212023-5-3M M是是 例例4 4：如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是正方形，点是正方形，点E E是边是边BCBC的中点的中点，AEF=90AEF=90，且且EFEF交正方形外角交正方形外角的的平分线平分线CFCF于点于点F F求证：求证：AEAE=E EF F【探究【探究1 1】变特殊为一般】变特殊为一般若题中若题中“点点E E是边是边BCBC的中点的中点”变为变为“点点E E是是BCBC边上任意一点边上任意一点”，则上述结论是否仍然成立？则上述结论是否仍然成立？（填（填“是是”或或“否否”）2023-5-3例例4 4：如
29、图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是正方形，点是正方形，点E E是边是边BCBC的中点的中点，AEF=90AEF=90，且且EFEF交正方形外角交正方形外角的的平分线平分线CFCF于点于点F F求证：求证：AEAE=E EF FM MH H解：命题仍然成立证明：解：命题仍然成立证明：过点过点F F作作FHBCFHBC，交，交BCBC的延长线于点的延长线于点H H，AEFAEF9090，AEBAEBFEHFEH9090.ABEABE9090，AEBAEBBAEBAE9090.BAEBAEHEF.HEF.在在ABEABE和和EHFEHF中，中，ABEABEEHFEHF，BAEBAEHE
30、FHEF，AEAEEFEFABEABEEHFEHF（AASAAS）BEBEHFHF，ABABEHEHBC.BC.BCBCECECEHEHECEC，即，即BEBECH.CH.HFHFCH.CH.HCFHCFHFCHFC4545，DCFDCF4545.CFCF是正方形外角的平分线是正方形外角的平分线【探究【探究2 2】在探究】在探究1 1的前提下，若题中结论的前提下，若题中结论“AE“AEEF”EF”与条件与条件“CF“CF是正方形外角的平分线是正方形外角的平分线”互换，互换，则命题是否还成立？请给出证明则命题是否还成立？请给出证明2023-5-32 2.2.如图所示，直线如图所示，直线l l过正
31、方形过正方形ABCDABCD的顶的顶点点B B，点，点A A、C C到直线的距离分别是到直线的距离分别是2 2和和4 4，则正方形的边长为则正方形的边长为_1.1.如图如图,四边形四边形ACDFACDF是正方形是正方形,CEA,CEA和和ABFABF都是直角，且点都是直角，且点E,A,BE,A,B三点共线三点共线,若若AB=AB=2 2,则阴影部分的面积是则阴影部分的面积是_._.3.3.如图，直线如图，直线l l上有三个正方形上有三个正方形a a，b b，c c，若，若a a，c c的面积分别为的面积分别为5 5和和1212，则则b b的面积为的面积为_5217 2023-5-3模型五：正方
32、形中的半角模型模型五：正方形中的半角模型例例5 5：如图，在正方形：如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E是是ABAB上一点，上一点，F F是是ADAD延长线上一点，且延长线上一点，且DFDFBE.BE.（1 1）求证：）求证：CECECFCF；（2 2）若点）若点G G在在ADAD上，且上，且GCEGCE4545，则，则GEGEBEBEGDGD成立吗？为什么？成立吗？为什么？解：（解：（1 1）证明：）证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，BCBCCDCD，BBCDF.CDF.又又BEBEDFDF，CBECBECDFCDF（SASSAS）CECECF.CF.（2 2）G
33、EGEBEBEGDGD成立成立理由：由（理由：由（1 1）得，）得，CBECBECDFCDF，BCEBCEDCF.DCF.BCEBCEECDECDDCFDCFECDECD，即即BCDBCDECFECF9090.又又GCEGCE4545，GCFGCFGCEGCE4545.CECECFCF，GCEGCEGCFGCF，GCGCGCGC，ECGECGFCGFCG（SASSAS）GEGEGF.GF.GEGEDFDFGDGDBEBEGD.GD.2023-5-3（1 1）如图，正方形）如图，正方形ABCDABCD中，若中，若EAFEAF4545，则：，则：EFEFBEBEDFDF；CEFCEF的周长为正方形
34、的周长为正方形ABCDABCD边长的边长的2 2倍；倍；FAFA平分平分DFEDFE，EAEA平分平分BEF.BEF.方法一：方法一：方法二：方法二：G模型归纳：模型归纳：2023-5-3拓展拓展1 1：若：若ABAB1010，EFEF8 8，试求，试求AEFAEF的面积的面积.拓展拓展2 2：若：若BE=3BE=3，DF=2DF=2，求，求ABAB的长的长.1.1.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E，F F为为BCBC，CDCD边上的点，若边上的点，若FAFAE E4545，试探究线段试探究线段BEBE，EFEF，DFDF之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说
35、明理由.解：解：EF=BE+DFEF=BE+DF，理由如下：，理由如下：如图，将如图，将ADFADF绕点绕点A A顺时针旋转顺时针旋转9090得到得到ABHABHADFADFABHABH，BAH=DAFBAH=DAF，AF=AHAF=AH，DF=HBDF=HBFAH=90FAH=90，EAF=EAH=45EAF=EAH=45，在在FAEFAE和和HAEHAE中，中，AF=AHAF=AH，EAF=EAHEAF=EAH，AE=AEAE=AEFAEFAEHAEHAE（SASSAS），），EF=HEEF=HEHEHE=BE+HB=BE+HB，EF=BE+DFEF=BE+DF，2023-5-3模型六：正
36、方形中的图形变换问题模型六：正方形中的图形变换问题例例6 6：如图：如图1 1，已知正方形，已知正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，E E是是ACAC上一点，连接上一点，连接EBEB，过点过点A A作作AMBEAMBE，垂足为，垂足为M M，AMAM交交BDBD于点于点F F（1 1）求证：）求证：OE=OFOE=OF；（1 1）证明：）证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形BOE=AOF=90BOE=AOF=90，OB=OAOB=OA又又AMBEAMBE，MEA+MAE=90MEA+MAE=90=AFO+MAE=AFO+MAE，MEA=
37、AFOMEA=AFOBOEBOEAOFAOFOE=OFOE=OF2023-5-3例例6 6：如图：如图1 1，已知正方形，已知正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，E E是是ACAC上一点，连接上一点，连接EBEB，过点过点A A作作AMBEAMBE，垂足为，垂足为M M，AMAM交交BDBD于点于点F F（2 2）如图）如图2 2，若点，若点E E在在ACAC的延长线上，的延长线上，AMBEAMBE于点于点M M，AMAM交交DBDB的延长线于点的延长线于点F F，其它，其它条件不变，则结论条件不变，则结论“OE=OF”“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由说明理由（2 2）解：）解：OE=OFOE=OF成立成立证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，BOE=AOF=90BOE=AOF=90，OB=OAOB=OA又又AMBEAMBE，F+MBF=90F+MBF=90，E+OBE=90E+OBE=90，又又MBF=OBEMBF=OBE，F=EF=ERtRtBOERtBOERtAOFAOFOE=OFOE=OF2023-5-3thankyou2023-5-3
