1、 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系acxxabxxxxacbxax2121212,)0(0则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx2121212,0则：，的两根为若方程推论1推论20,2121221xxxxxxxx）（方程是为根的一元二次以两个数说出下列各方程的说出下列各方程的两根之和两根之和与与两根之积两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2 =4(2)2x2-3x+=021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-234134在使用在使用韦达定理韦达定理时，应注意：时，应注意：、
2、不是一般式的要先化成一般式；、不是一般式的要先化成一般式；、在使用、在使用X1+X2=时，注意时，注意“”不要漏写不要漏写。（3）前提是方程有实数根即前提是方程有实数根即0几种常见的求代数式的值几种常见的求代数式的值21113xx、2121xxxx)2)(2.(621xx4)(22121xxxx1221.5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21.7xx221)(xx 212214)(xxxx22211xx、2212212xxxx、221)(4xx、引申引申:1、若、若ax2 bx c 0(a 0 0)（1）若两根互为相反数）若两根互为相反数,（2）若两根互为倒数）若
3、两根互为倒数,（3）若一根为）若一根为0,（4）若一根为）若一根为1,（5）若一根为）若一根为 1,（6）若）若a、c异号异号,补充规律：则b0;则ac;则c0;则abc0;则abc0;方程一定有两个实数根.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法一：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。作用作用1 1：已知方程一根，求另一根及未知数。：已知方程一根，求另一根及未知数。例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法二
4、：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。作用作用1 1：已知方程一根，求另一根及未知数。：已知方程一根，求另一根及未知数。解：设方程的两根分别为 和 ，则：而方程的两根互为倒数 即 所以：得：例例2.方程方程 的两根互为倒的两根互为倒数，求数，求k的值。的值。01232kkxx1x2x1221kxx121 xx112k1k例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。解：设方程的两根分别为x1和x2，则：x1x2=3-3=k k=-9例1.已知
5、两个数的和是1，积是-2，求这两 个数。解法一:设两数分别为x,y则:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法二:设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1,221aa这两个数为2和-作用作用2：已知两个数的和与积，求两数：已知两个数的和与积，求两数例例2.2.已知两数之和为已知两数之和为1414，乘积为，乘积为-5151，求这两数，求这两数.设这两数为设这两数为 m,n，解：解：1451mnmn 则m,n可以看作是方程可以看作是方程 x2-14x-51=0的两个根的两个根173mn 317mn 或这两数为这两数为17，-3作用作用2：已知两个数的和与积，求两数：已知两个
6、数的和与积，求两数作用作用3 3：求代数式的值：求代数式的值例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1 ,x2 。求下列代数式的值。(1)x12+x22 （2）（3）（x1-x2)22111xx解：x1+x2=,x1 x2=-121x12+x22(x1x2)2-2x1x2491-2-)21(2=）（2）x1+x2=,x1 x2=-1212111xx+2121xxxx+=21-1-21=（3）x1+x2=,x1 x2=-121（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x24171-4-212=）（）（例2.已知方程的两个实数根 是且 求k的值。解：由根与系数的关系得 x
7、1+x2=-k，x1x2=k+2 又 x12+x2 2=4 即(x1+x2)2-2x1x2=4 K2-2(k+2）=4 K2-2k-8=0 解得：k=4 或k=-2022kkxx2,1xx42221 xx =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，=-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）当当k=-2k=-2时，时，=4=40 0 k=-2 k=-2 1.已知已知a、b是一元二次方程是一元二次方程x2+3x-7=0的的两个实数根，求代数式两个实数根，求代数式a2+4a+b的值的值 解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根 a2+3a-7=0，a+b=-3，则a
8、2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：x12+(m-2)x1+2=0,x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1,x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)=2x12x2 =4x1x2 =42 =85.已知：已知：x1、x2是方程是方程x2-x+a=0的两个实数根，的两个实数根，且且 ，求，求a的值的值.解：据
9、题意得x1+x2=1；x1x2=a3a2+2a-1=0，即.1 1a a3 31 1a a 或或又=1-4a0，a4 41 1a=1/3舍去，a=-1.3112221=+xx3112221=+xx322212221=+xxxx3)(2-)(22121221=+xxxxxx32-12=aa*6.(孝感中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)xm20 有两个实数根 x1和 x2.(1)求实数 m 的取值范围；(2)当 x21x220 时，求 m 的值 8.已知关于已知关于 x 的方程的方程 x2 2+2+2（m-2m-2）x+m+m2 2+4=0+4=0 有两个实数根有两个实数根，并且这
10、，并且这两个根的平方和两个根的平方和比比两根的积大两根的积大2121。求。求m m的值。的值。解解=4(m-2)2-4(m2+4)=-16m0 m0 设方程两个根为设方程两个根为x1、x2，则由题意：，则由题意：x1+x2=-2(m-2),x1x2=m+4 x12+x22-x1x2=21 (x1+x2)2-3x1x2=21 4(m-2)2-3(m2+4)=21 m2-16m-17=0 m1=-1，m2=17（不符合（不符合m0，舍去）舍去）m=-1 9.当当m为何值时，为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根的一个根是另一个根的两倍是另一个根的两倍.解：设两根分别为解：设两根分别为,2,
11、则由韦达定理得：则由韦达定理得：3222322mm2 得得23322322mm即29922(23)mm即2230,mm整理得：(3)1)0mm即(31mm 或298(23)mm 代入得，0 31mm 或10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是 ，求的m值。429解：设方程两根为x1,x2.则212-,22121+=+mxxmxx4292221=+xx4292-)(21221=+xxxx429212-2-)2(2=+mm解得：m1=-11,m2=3当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0,=112-42230,方程无实数根，m=-11不合题意，舍去当m=3时，方程为
12、2x23x5=0,=(-3)2-42(-5)0,方程有两个不相等的实数根.m的值为311已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根。求k的取值范围；是否存在这样的实数k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由23222121xxxx解：42-4k(-3)0且k0 k 且k034假设存在.kxxkxx3,42121,2322121xxxx又28kk舍去）不符合解得：,34(2,421kkk存在满足条件的k值，且k=4例例1 1：已知方程已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0解：解：（1 1）设方程的两个根为）设方程的两个根为x1 1,x2 2，2
13、2122124(1)4(2)02(1)020kkxxkx xk 12801(2)(2)0kkkk32122kkkk 或2k 则则x1 1 0 0 ，x2 2 0 0作用作用5 5：研究方程根的情况：研究方程根的情况（1 1）k 为何值时，方程有两个负数根？为何值时，方程有两个负数根？例例1 1：已知方程已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0（2 2）k 为何值时，方程有一正根和负根？为何值时，方程有一正根和负根？解：解：(2)(2)设方程的两个根为设方程的两个根为x1 1,x2 2，222124(1)4(2)020kkx xk 1280(2)(2)0kkk3222kk22k则则x1 1 0 0作用作用5 5：研究方程根的情况：研究方程根的情况补充规律：一正根，一负根0 x1x20两个正根0 x1x20 x1+x20两个负根0 x1x20 x1+x2000例例2 2：方程：方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的取值范围。的取值范围。0)1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1)0(0122mmmxmx解：设方程的两个根为解：设方程的两个根为x1 1,x2 2，则则x1 1 0 0
