1、知识结构知识结构、导数的概念、导数的概念、几种常见函数的导数公式、几种常见函数的导数公式 aaaeeexxxxxxxxQnnxxccxxxxaannlnlog1log1lnsincoscossin01）（，）（）（，）（），（）（）（）（为常数）（、求导法则、求导法则、复合函数求导、复合函数求导、导数的几何意义、导数的几何意义 的切线的斜率处）（，）在点（就是曲线），（处的导数）在点（函数0000 xfxPxfyxfxxfy、导数的应用、导数的应用 1 1判断函数的单调性判断函数的单调性 2 2求函数的极值求函数的极值3求函数的最值求函数的最值 例2：用公式法求下列导数：（1）y=（3）y=l
2、n(x+sinx)（2）y=（4）y=2)13(2xxxexcos2)1(log23x解(1)y=(2)(3)(4)2)13(622)13(3)13(22)13()2(212221xxxxxxxxxxxxxxxysincos1)sin(sin1xexeyxxsincos2221log2)1(log1123232xexxexy例例3、已知、已知f(x)=2x2+3x f (1),f (0)=解:由已知得:f (x)=4x+3 f (1),f (1)=4+3 f (1),f (1)=-2 f (0)=40+3 f (1)=3(-2)=-6例例1已经曲线已经曲线C：y=x3x+2和点和点A(1,2)
3、。求在点。求在点A处的切线方程？处的切线方程？解：解：f/(x)=3x21，k=f/(1)=2 所求的切线方程为：所求的切线方程为：y2=2(x1),即即 y=2x变式变式1：求过点求过点A的切线方程？的切线方程？例例1已经曲线已经曲线C：y=x3x+2和点和点(1,2)求在求在点点A处的切线方程？处的切线方程？解：变解：变1：设切点为设切点为P（x0，x03x0+2），），切线方程为切线方程为y y(x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0)21又又切线过点切线过点A(1,2)2 2(x03x0+2)=(3 x02 21 1)(1x0)化简得化简得(x0 01)1)2 2(2(
4、2 x0+1)=0，2114当当x0=1时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k=f/(x0)=3 x021，当当x0=时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y2=(x1),即即x+4y9=01)1)如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,ba,b)内单调递增；内单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0f(x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xf返回返回xyo12()yf x xyo12()y
5、f x xyo1 2()yf x xyo12()yf x xyo()yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)练习：练习：设设 是函数是函数 的导函数，的导函数，的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是()()f x()fx()yfx()yf x 题型二题型二 判断函数判断函数的单调性的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf );,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解解:(1)因为因为 ,所以所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此因此,
6、函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为因为 ,所以所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当当 ,即即 时时,函数函数 单调递增单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf );,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解解:(3)因为因为 ,所以所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此因此,函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为因为 ,所以所以
7、12432)(23xxxxf 当当 ,即即 时时,函函数数 单调递增单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf 当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf题型二题型二 判断函数判断函数的单调性的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:题型三题型三 分类讨论单调性分类讨论单调性1.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.)0()(2acbxaxxf解解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0 )1(a 由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是0)
8、(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab总结总结:当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求定义域求求()fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间作出结论作出结论1 1什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法”求函数单调性、求函数单
9、调性、单调区间较简便？单调区间较简便？2 2试总结用试总结用“导数法导数法”求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？总结：总结：2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧附近的左侧附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(af(a)函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值.函数的极值函数的极值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f(x)0f(x)0，在在b b右侧附近右侧附近f(x)0f(x)0,即在（0，1上恒成立f xa-xx31max而()在（0，1上
10、单调递增，()(1)=-1g xxg xg 1a-2120 10 1已知函数（），(若（）在(上是增函数，求 的取值范围f xaxx,f xxx,a.增例增例2：322当a1时，()f xx 1对x（0，1）也有()0时，（）在(0,1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+）本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：maxminmf()恒成立()()恒成立()xmf xmf xmf x小结：1.利用导数的几何意义求切线的斜率；利用导数的几何意义求切线的斜率；2.求函数的单调区间，只要解不等式求函数的单调区间，只要解不等式f(x)0或或f(x)0即可；即可；3.求函数求函数f(
11、x)的极值，首先求的极值，首先求f(x),在求在求f(x)=0的根，的根，然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；4.函数函数f(x)在在a,b内的最值求法：内的最值求法：求求f(x)在（在（a,b）内的极值；内的极值；将将f(x)的各极值与的各极值与f(a),f(b)比较，其中比较，其中最大的是最大值，最小的为最小值。最大的是最大值，最小的为最小值。导数的应用主要表现在：导数的应用主要表现在：1、求曲边梯形的思想方法是什么？、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义、物理是什么？、定积分的几何意义、物理是什么？3、微积分基本定理是什么？
12、、微积分基本定理是什么？求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1,xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。(3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim()niniSfxxD1()niiSfxxD (1)分割分割:在区
13、间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb定积分的定义定积分的定义 11()()nniiiibafxfnxxD 小矩形面积和S=如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作 ba(x)dx，即f(x)dx f(x i)Dxi。从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1()lim()ninibaf x d
14、xfnxba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。1()lim()ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy baIdxxf)(iinixfD D )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限 Sbaf(x)dx；按定积分的定义，有 (1)由连续曲线yf(x)(f(x)
15、0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为 sbav(t)dt。定积分的定义：Oab()vv ttv1()lim()ninibaf x dxfnxba即 例例1、求曲线、求曲线 与直线与直线 x轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。32,0 sin xxy,32,0 xx 略解：根据定积分的略解：根据定积分的几何意义所求面积为几何意义所求面积为 2332320 oxxdxS|cossin（一）利用定积分求平面图形的面积一）利用定积分求平面图形的面积 平面图形的面积平面图形的面积 badxxfA)(平面图形的面
16、积平面图形的面积 badxxfxfA)()(12xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab)(1xfy )(2xfy 平面图形的面积平面图形的面积2121()()()()bbaabaAfx dxf x dxfxf x dxab平面图形的面积平面图形的面积()baAf x dx)(xfy ab平面图形的面积平面图形的面积21()()baAfxf x dx 特别注意图形面积与定积分不一定相等特别注意图形面积与定积分不一定相等,2,sin xxy的图像与的图像与x轴围成的图形的面积为轴围成的图形的面积为4,而其定积分为而其定积分为0.如函数如函数)(1xfy )(2xfy ab 1
17、 1、求直线、求直线 与抛物线与抛物线 所围成的图形面积。所围成的图形面积。32 xy2xy 332|)33)323132231 xxxdxxxS（32 xy 略解：如图直线略解：如图直线与抛物线与抛物线2xy 的交点的交点坐标为（坐标为（1 1，1 1）和（和（3，9），则），则2、求由抛物线、求由抛物线342 xxy 及其在点及其在点M（0，3）和和N（3，0）处的两条切线所围成）处的两条切线所围成的图形的面积。的图形的面积。xyoy=x2+4x-3略解：略解：42 xy/则在则在M M、N N点处的切线方程点处的切线方程分别为分别为、34 xy62 xy3220S4x 3x4x 3 dx
18、()()（3/2，3）323292x6x4x 3 dx4()()3、在曲线在曲线)0(2xxy 上的某点上的某点A处作处作一切线使之与曲线以及一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为轴所围成的面积为121.试求：切点试求：切点A的坐标以及切线方程的坐标以及切线方程.x yOy=x2ABC略解：略解：设切点坐标为设切点坐标为),200 xx（xy2/2002xxxy 则切线方程为则切线方程为切线与切线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为),(020 x),(020 x0 x0(,)则由题可知有则由题可知有1211223022002202000 xdxxxxxdxxSxxx)(10 x所以切点坐标与切线
19、方程分别为所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(Axy0 x2200030 x1Sx dxx22x11212(:)另解x yOy=x2ABC （1）画图）画图,并将图形分割为若干个并将图形分割为若干个曲边梯形；曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在）对每个曲边梯形确定其存在的范围的范围,从而确定积分的上、下限；从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和）求出各曲边梯形的面积和,即即各积分的绝对值的和。各积分的绝对值的和。小结小结:求平面图形面积的方法与步骤：求平面图形面积的方法与步骤：以及以及x(1)曲线曲线fyf0 xx()()）与直线与
20、直线)(,babxax 轴所围成的曲边梯形的面积：轴所围成的曲边梯形的面积：以及以及(2)曲线曲线fyf0 xx()()）与直线与直线)(,babxax x轴所围成的曲边梯形的面积：轴所围成的曲边梯形的面积：badxxfS)(y)(xfy abxy)(xfy abxb badxxfS)(我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功几种常见的曲边梯形面积的计算方法：几种常见的曲边梯形面积的计算方法：(3)两条曲线两条曲线）其其中中，)()()()(xgxfxgyxfy 与直线与直线)(,babxax 围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积:baSf xg x dx()()y)(xfy )(xgy axby)(xfy )(xgy abxb4、求曲线、求曲线xy2log 与曲线与曲线)(logxy 42以及以及x轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。略解：略解：如图如图由由xy2log 得得yyfx2 )(当当 时时y0 1g yf y(,)()()，则所求图形的面积为则所求图形的面积为11y00Sg yf y dy42 2 dy()()()【eeyy210224224log|)log （由由)(logxy 42yygx24 )(得得
