1、一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1在ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当ABC=90时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|=2，EF=2，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长【答案】（1）OF =OE；（2）OFEK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明AOECOK，从而可得OE
2、=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明ABEBCF，AOECOK，继而可证得EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFEK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO，OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK，EFK是直角三角形，OF=EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，ABC=AEB=CFB=90，ABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，AB=BC，
3、ABEBCF，BE=CF，AE=BF，AOECOK，AE=CK，OE=OK，FK=EF，EFK是等腰直角三角形，OFEK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PHOF于H，|CFAE|=2，EF=2，AE=CK，FK=2，在RtEFK中，tanFEK=，FEK=30，EKF=60，EK=2FK=4，OF=EK=2，OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在RtPHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2，OP=.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，POF=PFO=30，BOP=90，OP=OE=，综上所述：OP的长为或.【点睛】本题考查了全等
4、三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2已知RtABC中，ACB=90，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究APE的度数：（1）如图1，若k=1，则APE的度数为 ；（2）如图2，若k=，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出APE的度数（3）如图3，若k=，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由【答案】（1）45；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理
5、由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出FAEACD，得出EF=AD=BF，再判断出EFB=90，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出FAEACD，再判断出EFB=90，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出ACDHEA，再判断出EFB=90，即可得出结论；详解：（1）如图1，过点A作AFCB，过点B作BFAD相交于F，连接EF，FBE=APE，FAC=C=90，四边形ADBF是平行四边形，BD=AF，BF=ADAC=
6、BD，CD=AE，AF=ACFAC=C=90，FAEACD，EF=AD=BF，FEA=ADCADC+CAD=90，FEA+CAD=90=EHDADBF，EFB=90EF=BF，FBE=45，APE=45 （2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AFCB，过点B作BFAD相交于F，连接EF，FBE=APE，FAC=C=90，四边形ADBF是平行四边形，BD=AF，BF=ADAC=BD，CD=AE，BD=AF，FAC=C=90，FAEACD，FEA=ADCADC+CAD=90，FEA+CAD=90=EMDADBF，EFB=90在RtEFB中，tanFBE=，FBE=30，APE=30，
7、（3）（2）中结论成立，如图3，作EHCD，DHBE，EH，DH相交于H，连接AH，APE=ADH，HEC=C=90，四边形EBDH是平行四边形，BE=DH，EH=BDAC=BD，CD=AE，HEA=C=90，ACDHEA，ADC=HAECAD+ADC=90，HAE+CAD=90，HAD=90在RtDAH中，tanADH=，ADH=30，APE=30点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质3如图，在ABC中，ABC90，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接
8、DE，OE（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC22CDOE；（3）若，求OE的长【答案】（1）DE为O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到ADB为直角，可得出BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得C=CDE，再由OA=OD，得A=ADO，由RtABC中两锐角互余，从而可得ADO与CDE互余，可得出ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为O的切线；（2）由已知可得OE是ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由C=C，AB
9、C=BDC，可得ABCBDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得试题解析：（1）DE为O的切线，理由如下：连接OD，BD，AB为O的直径，ADB=90，在RtBDC中，E为斜边BC的中点，CE=DE=BE=BC，C=CDE，OA=OD，A=ADO，ABC=90，C+A=90，ADO+CDE=90，ODE=90，DEOD，又OD为圆的半径，DE为O的切线；（2）E是BC的中点，O点是AB的中点，OE是ABC的中位线，AC=2OE，C=C，ABC=BDC，ABCBDC，即BC2=ACCDBC2=2CDOE；
10、（3）解：cosBAD=，sinBAC=，又BE=，E是BC的中点，即BC=，AC=又AC=2OE，OE=AC=考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数4如图，二次函数yx2+bx3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为2，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作M（1）求二次函数的表达式；（2）在点T的运动过程中，DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；若MTAD，求点M的坐标；（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MHx轴于点H，设HTa
11、，当OHxOT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）【答案】（1）yx22x3（2）在点T的运动过程中，DMT的度数是定值（0，）（3）见解析【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可；（2）如图1，连接AD构造RtAED，由锐角三角函数的定义知，tanDAE即DAE60，由圆周角定理推知DMT2DAE120；如图2，由已知条件MTAD，MTMD，推知MDAD，根据ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为M的直径时，MDAD根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可；（3）如图3，作MHx于点H，则AHHTAT易得H（a1，0），
12、T（2a1，0）由限制性条件OHxOT、动点T在射线EB上运动可以得到：0a1x2a1需要分类讨论：（i）当，即，根据抛物线的增减性求得y的极值（ii）当，即a2时，根据抛物线的增减性求得y的极值（iii）当a11，即a2时，根据抛物线的增减性求得y的极值【详解】解：（1）把点B（3，0）代入yx2+bx3，得32+3b30，解得b2，则该二次函数的解析式为：yx22x3；（2）DMT的度数是定值理由如下：如图1，连接AD抛物线yx22x3（x1）24抛物线的对称轴是直线x1又点D的纵坐标为2，D（1，2）由yx22x3得到：y（x3）（x+1），A（1，0），B（3，0）在RtAED中，ta
13、nDAEDAE60DMT2DAE120在点T的运动过程中，DMT的度数是定值；如图2，MTAD又MTMD，MDADADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，点M是线段AD的中点时，此时AD为M的直径时，MDADA（1，0），D（1，2），点M的坐标是（0，）（3）如图3，作MHx于点H，则AHHTAT又HTa，H（a1，0），T（2a1，0）OHxOT，又动点T在射线EB上运动，0a1x2a10a12a1a1，2a11（i）当，即1时，当xa1时，y最大值（a1）22（a1）3a24a；当x1时，y最小值4（ii）当，即a2时，当x2a1时，y最大值（2a1）22（2a1）34a28a当x1时，y
14、最小值4（iii）当a11，即a2时，当x2a1时，y最大值（2a1）22（2a1）34a28a当xa1时，y最小值（a1）22（a1）3a24a【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解5已知：如图，AB为O的直径，AC与O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D作O的切线交AC于E（1）求证：AECE（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：FAB+FBMEDC（3）
15、如图，在（2）的条件下，当GHFH，HMMF时，tanABC，DE时，N为圆上一点，连接FN交AB于L，满足NFH+CAFAHG，求LN的长【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得ADC90，由切线长定理得EAED，再由等角的余角相等，得到CEDC，进而得证结论.（2）由同角的余角相等，得到BADC，再通过等量代换，角的加减进而得证结论.（3）先由条件得到AB26，设HMFMa，GHHF2a，BHa，再由相交弦定理得到GHHFBHAH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到HFLHAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得
16、到LNLFALBL，进而求出LN的长.【详解】解：（1）证明：如图1中，连接ADAB是直径，ADBADC90，EA、ED是O的切线，EAED，EADEDA，C+EAD90，EDC+EDA90，CEDC，EDEC，AEEC（2）证明：如图2中，连接ADAC是切线，AB是直径，BACADB90，BAD+CAD90，CAD+C90，BADC，EDCC，BADEDC，DBFDAF，FBM+FABFBM+DAFBAD，FAB+FBMEDC（3）解：如图3中，由（1）可知，DEAEEC，DE，AC，tanABC，,AB26，GHFH，HMFN，设HMFMa，GHHF2a，BHa，GHHFBHAH，4a2a
17、（26a），a6，FH12，BH8，AH18，GHHF，ABGF，AHG90，NFH+CAFAHG，NFH+CAF90，NFH+HLF90，HLFCAF，ACFG，CAFAFH，HLFAFH，FHLAHF，HFLHAF，FH2HLHA，122HL18，HL8，AL10，BL16，FL 4，LNLFALBL，4LN1016，LN .【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.6如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，（1）
18、填空：点的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，构成的四边形的面积【答案】（1），；（2）当时，有最大值是3； 使为直角三角形时的值为3或；（3）点，构成的四边形的面积为：6或或.【解析】【分析】（1）把点A坐标代入直线表达式y，求出a3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；分BNP90、NBP90、BPN90三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个
19、点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可【详解】解：（1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）在线段上，且轴，点，抛物线开口向下，当时，有最大值是3，当时，点的纵坐标为-3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），；当时，两直线垂直，其值相乘为-1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表
20、达式联立并解得：或0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3），在中，则：，轴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表
21、达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：，解得：，则点、的横坐标分别为，作交直线于点，则，作轴，交轴于点，则：，则：，同理：，故：点，构成的四边形的面积为：6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过0，确定图中N点的坐标7如图，正方形ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：ABFACE；（2）求tanBAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值【答案】（1）证明见解析；（2）tanEAB1；（3）P
22、E+PF的最小值为【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EHAC于H首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ACEABFCAB45，AE平分CAB，EACBAF22.5，ABFACE（2）解：如图1中，作EHAC于HEA平分CAB，EHAC，EBAB，BEEB，HCE45，CHE90，HCEHEC45，HCEH，BEEHHC，设BEHEHCx，则E
23、Cx，BC+1，x+x+1，x1，在RtABE中，ABE90，tanEAB1（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小作EMBD于MBMEM，AC2+，OAOCOBAC ，OHOFOAtanOAFOAtanEAB （1），HMOH+OM，在RtEHM中，EH PE+PF的最小值为【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型8如图，半圆O的直径AB20，弦CDAB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD相交于点E（点E与点C、D不重合）
24、，设OMm（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；（2）令弦CD所对的圆心角为，且sin若DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；若动点N在CD上，且CNOM，射线BM与射线ON相交于点F，当OMF90 时，求DE的长【答案】（1）DE；（2）S，（m10），DE.【解析】【分析】（1）由CDAB知DEMOBM，可得，据此可得；（2）连接OC、作OPCD、MQCD，由OCOD、OPCD知DOPCOD，据此可得sinDOPsinDMQ、sinODP，继而由OMm、OD10得QMDMsinODP（10m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD8、CD16，证CDMB
25、OM得，求得OM，据此可得m的取值范围；如图3，由BMOBsinBOM106，可得OM8，根据（1）所求结果可得答案【详解】（1）CDAB，DEMOBM，即，DE；（2）如图1，连接OC、作OPCD于点P，作MQCD于点Q，OCOD、OPCD，DOPCOD，sin，sinDOPsinDMQ，sinODP，OMm、OD10，DM10m，QMDMsinODP（10m），则SDEMDEMQ（10m），如图2，PDODsinDOP108，CD16，CDAB，CDMBOM，即，解得：OM，m10，S，（m10）当OMF90时，如图3，则BMO90，在RtBOM中，BMOBsinBOM106，则OM8，由
26、（1）得DE【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力9已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于D，BE：AB=3：5，若CE= ，cosACD= ，求tanAEC的值及CD的长【答案】tanAEC=3, CD=【解析】解：在RTACD与RTABC中 ABC+CAD=90, ACD+CAD=90ABC=ACD, cosABC=cosACD= 在RTABC中， 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由 ,BE=3k 则CE=k,且CE= 则k=，AC=3 RTACE中，tanAEC=3 RTACD中cosACD= ,，CD=.
27、 10如图，为的直径，、为上异于、的两点，连接，过点作，交的延长线于点，垂足为点，直径与的延长线相交于点.（1）连接、，求证：.（2）若.求证：是的切线.当，时，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； .【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得ADB=90，即ADBD，由CEDB证得ADCF，根据平行线的性质即可证得结论；（2）连接OC先根据等边对等角及三角形外角的性质得出3=21，由已知4=21，得到4=3，则OCDB，再由CEDB，得到OCCF，根据切线的判定即可证明CF为O的切线；由CFAD，证出BAD=F，得出tanBAD=tanF=，求出AD=BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=，即可求出CF【详解】解：（1）是的直径，且为上一点，.（2）如图，连接.，.，.，.，.又为的半径，为的切线.由（1）知，.，.，解得.【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果
