1、中考数学 压轴题题 精选（题）【】如图，已知抛物线（）经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结 （）求该抛物线的解读式；（）若动点从点出发，以每秒个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒个长度单位和个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长【】如图，在中， ， 点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回
2、；点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动伴随着、的运动，保持垂直平分，且交于点，交折线于点点、同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止设点、运动的时间是秒（）（）当 时， ，点到的距离是 ；（）在点从向运动的过程中，求的面积与的函数关系式；（不必写出的取值范围）图（）在点从向运动的过程中，四边形能否成为直角梯形？若能，求的值若不能，请说明理由；（）当经过点时，请直接写出的值 【】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点（，）、（，）、（，）.抛物线过、两点. ()直接写出点的坐标，并求出抛物线的解读式； ()动点从点出发沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动速度均为每
3、秒个单位长度，运动时间为秒.过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点.当为何值时，线段最长?连接在点、运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形?请直接写出相应的值。【】如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 （）求的面积；（）求矩形的边与的长；（）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关的函数关系式，并写出相应的的取值范围（）（第题）【】如图，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（）求点到的距离；（）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时
4、（如图），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点在线段上时（如图），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.图（备用）图（备用）图图图（第题）【】如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点（，），的面积为。（）求该二次函数的关系式；（）过轴上的一点（，）作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为（，），点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点
5、 （）求直线的解读式； （）连接，如图，动点从点出发，沿折线方向以个单位秒的速度向终点匀速运动，设的面积为（），点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； （）在（）的条件下，当 为何值时，与互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值 【】如图所示，在直角梯形中，是的中点，。（1） 求证：；（2） 求证：是线段的垂直平分线；（3） 是等腰三角形吗？并说明理由。【】一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接（）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图，试证明：；（）若点分别在反比
6、例函数的图象的不同分支上，如图，则与还相等吗？试证明你的结论（第题图）（第题图）【】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且经过点，对称轴是直线，顶点是（）求抛物线对应的函数表达式；（）经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（）设直线与轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；（）当是直线上任意一点时，（）中的结论是否成立？（请直接写出结论）（第题图）【】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接，（）求证：；（）将图中绕点逆时针旋
7、转，如图所示，取中点，连接，问（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （）将图中绕点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）第题图第题图第题图 【】如图，在平面直角坐标系中，半径为的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点（）求抛物线的解读式；（）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长（）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由【】如图，抛物线经过三点（）求出抛物线的解读式；（）是抛物线上一动点，过作轴，
8、垂足为，是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标（第题图）【】在平面直角坐标中，边长为的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（）求边在旋转过程中所扫过的面积；(第题)（）旋转过程中，当和平行时，求正方形 旋转的度数；（）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.【】如图，二次函数的图象经过点(，)，且顶点的横坐标为，该图象在 轴上截得的线段
9、的长为.求二次函数的解读式；在该抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标；在抛物线上是否存在点，使与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【】如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（）求正比例函数和反比例函数的解读式；（）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解读式；（）第（）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于、，求过、三点的二次函数的解读式；（）在第（）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使四边形的面积与四边形的面积满足：？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由【】如图，已知抛物线经过，两点，顶点为（）求抛物线的解读式；（）将绕点顺
10、时针旋转后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（）设（）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的倍，求点的坐标（第题）【】如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点（）求抛物线的解读式；（）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；（）在（）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标【】如图所示，将矩形沿折叠，使点恰好落在上处，以为边作正方形，延长至，使，再以、为边作矩形()试比较、的大小，并说明理由()令，请问是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由()在()的条件下，若，为上一点且，
11、抛物线经过、两点，请求出此抛物线的解读式. ()在()的条件下，若抛物线与线段交于点，试问在直线上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似?若存在，请求直线与轴的交点的坐标?若不存在，请说明理由。【】如图甲，在中，为锐角，点为射线上一动点，连结，以为一边且在的右侧作正方形。解答下列问题：（）如果，当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为 ，数量关系为 。当点在线段的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（）如果，点在线段上运动。试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（）若，在（）的条件下，设正方形的边与线段相交
12、于点，求线段长的最大值。年中考数学压轴题题精选答案【】解：（）抛物线经过点，分二次函数的解读式为：分（）为抛物线的顶点过作于，则，分当时，四边形是平行四边形分当时，四边形是直角梯形过作于，则（如果没求出可由求）分当时，四边形是等腰梯形综上所述：当、时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形分（）由（）及已知，是等边三角形则过作于，则分分当时，的面积最小值为分此时)图)分【】解：（），； （）作于点，如图， ，图由， 得 ，即（）能图()图()图 当时，如图 ，四边形是直角梯形 此时由，得，即 解得 如图，当时，四边形是直角梯形此时 由，得 ，即 解得（）或【注：点由向运动，经过点方法一
13、、连接，作于点，如图，由，得，解得方法二、由，得，进而可得，得， 点由向运动，经过点，如图，】【】解.()点的坐标为（，） 分将 ()、（，）两点坐标分别代入 16a 得 64a 解 得抛物线的解读式为： 分（）在和中，,即点的坐标为（，）.点的纵坐标为：（）(）. 分() .，当时，线段最长为. 分共有三个时刻. 分， ， 分【】（）解：由得点坐标为由得点坐标为（分）由解得点的坐标为（分）（分）（）解：点在上且 点坐标为（分）又点在上且点坐标为（分）（分）（）解法一：当时，如图，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则（图）（图）（图）即即（分）图【】（）如图，过点作于点分为的中点，
14、在中，分即点到的距离为分（）当点在线段上运动时，的形状不发生改变，同理分如图，过点作于，图则在中，的周长分当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形当时，如图，作于，则类似，分是等边三角形，此时，分图图图（） 当时，如图，这时此时，当时，如图，则又因此点与重合，为直角三角形此时，综上所述，当或或时，为等腰三角形 【】解：（）,所以,又由面积知,得， 设（）()-，解得,但,所以。 所以解读式为：（）令，解方程得，得,所以()(),在直角三角形中可求得,同样可求得，显然，得是直角三角形。为斜边，所以外接圆的直径为,所以。（）存在，若以为底边，则,易求的解读式为,可设的解读式为，把()代
15、入得解读式为，解方程组得（，） 若以为底边，则,易求的解读式为,可设的解读式为，把 (，)代入得解读式为，解方程组得() 综上，所以存在两点：（）或()。【】【】证明：（），与互余，与互余，分，分分（）是中点，由（）得：分由等腰三角形的性质，得：，。即，是线段的垂直平分线。分（）是等腰三角（）分理由如下：由（）得：由（）得：是等腰三角形。分【】图解：（）轴，轴，四边形为矩形轴，轴，四边形为矩形轴，轴，四边形均为矩形分， ，分由（）知分，分分轴，四边形是平行四边形分同理分（）与仍然相等分，图，又，分，分轴，四边形是平行四边形同理分【】（第题图）解：（）根据题意，得分解得抛物线对应的函数表达式为分
16、（）存在在中，令，得令，得，又，顶点分容易求得直线的表达式是在中，令，得，分在中，令，得，四边形为平行四边形，此时分（）是等腰直角三角形理由：在中，令，得，令，得直线与坐标轴的交点是，分又点，分由图知，分，且是等腰直角三角形分（）当点是直线上任意一点时，（）中的结论成立分【】解：（）证明：在中，为的中点， 分同理，在中， 分 分（）（）中结论仍然成立，即分证法一：连接，过点作于，与的延长线交于点在与中， ， 分在与中， ， 在矩形中， 分在 与中， ， ， 分证法二：延长至,使，连接， 分在 与中， ， 分 在 与中， ， 为直角三角形 ， 分（）（）中的结论仍然成立，即其他的结论还有分【】解
17、：（）圆心在坐标原点，圆的半径为，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，点在抛物线上，将的坐标代入，得： 解之，得：抛物线的解读式为：分（）抛物线的对称轴为，分连结，又，分（）点在抛物线上分设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：分过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：点的坐标为，当时，所以，点在抛物线上分【】解：（）该抛物线过点，可设该抛物线的解读式为将，代入，得解得此抛物线的解读式为（分）（）存在（分）如图，设点的横坐标为，（第题图）则点的纵坐标为，当时，又，当时，即解得（舍去），（分）当时，即解得，（均不合题意，舍去）当时，（分）类似地可求出当时，
18、（分）当时，综上所述，符合条件的点为或或（分）（）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为过作轴的平行线交于由题意可求得直线的解读式为（分）点的坐标为（分）当时，面积最大（分）【】（）解：点第一次落在直线上时停止旋转，旋转了.在旋转过程中所扫过的面积为.分（）解：，,.又，.又,.旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为.分（）答：值无变化. 证明：延长交轴于点，则，.又，. （第题）又, .，.在旋转正方形的过程中，值无变化. 分【】设二次函数的解读式为：()顶点的横坐标为，且过点(，)() 又对称轴为直线，图象在轴上截得的线段长为 (，)，(，) 由解得，二次函数的解读式为：()点、关于直线
19、对称 当点在线段上时取得最小值 与对称轴的交点即为所求点设直线与轴交于点 ，又 点的坐标为(，)由知点(，)，又，在中，当点在轴上方时，过作轴于 如果，由有，则 ，此时点(，)，如果，由对称性知(，)当点在轴下方时，就是，此时点的坐标是(，)，经检验，点(，)与(，)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点，使 点的坐标为(，)或(，)或(，)【】解：（）设正比例函数的解读式为，因为的图象过点，所以，解得这个正比例函数的解读式为（分）设反比例函数的解读式为因为的图象过点，所以，解得这个反比例函数的解读式为（分）（）因为点在的图象上，所以，则点（分）设一次函数解读式为因为的图象是由平移得到的，所以，
20、即又因为的图象过点，所以，解得，一次函数的解读式为（分）（）因为的图象交轴于点，所以的坐标为设二次函数的解读式为因为的图象过点、和，所以（分） 解得这个二次函数的解读式为（分）（）交轴于点，点的坐标是，如图所示，假设存在点，使四边形的顶点只能在轴上方， ，在二次函数的图象上，解得或当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，点的坐标为（分）【】解：（）已知抛物线经过， 解得所求抛物线的解读式为分（），可得旋转后点的坐标为分当时，由得，可知抛物线过点将原抛物线沿轴向下平移个单位后过点平移后的抛物线解读式为：分（）点在上，可设点坐标为将配方得，其对称轴为分图当时，如图，此时图点的坐标为分当时，如图同
21、理可得此时点的坐标为综上，点的坐标为或分【】解：（）抛物线经过，两点， 解得抛物线的解读式为（）点在抛物线上，即，或点在第一象限，点的坐标为由（）知设点关于直线的对称点为点，且，点在轴上，且，即点关于直线对称的点的坐标为（，）（）方法一：作于，于由（）有：，且，设，则，点在抛物线上，（舍去）或，方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于过点作于，又，由（）知，直线的解读式为解方程组得点的坐标为【】（），理由如下：由折叠知，在中，为斜边， 故 分（）为定值四边形()()()四边形() 分（）， ，为等边三角形， 分作于， 点坐标为 分抛物线过点(，)， ，可求得，抛物线解读式为 分（）由（），当时，点坐标为 分方法：若与相似，而，则分情况如下：时，点坐标为或时， 点坐标为或分故直线与轴交点的坐标为 分方法：若与相似，由（）得：或，过作轴于，则或当时，当时， 分【】解：（）， 成立，理由如下： 又 ， （分）（）当时可得，理由如下：如图：过点作的垂线与所在直线交于则 （分）（） （分）（）如图：作于 （分）设为（）则则 （分）()()当时，最长，此时 （分）
