1、二次函数的动点问题1如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE ； D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由分析 (1)由点B(-2,m)在直线上,可求得的值及点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,过点B作BGx轴，与y轴交于F、直线x=2交于G
2、，过点E作EHx轴，交y轴于H，由DFBDHE,证得D是BE的中点；(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.解（1） 点B(-2,m) 在直线上， m=-2(-2)-1=3. B(-2,3) 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （2）直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐
3、标分别为D(0,-1) E(2,-5).过点B作BGx轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则点G坐标为(2,3)BG直线x=2，BG=4.在RtBGC中，BC=. CE=5， CB=CE=5. 过点E作EHx轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90. DFBDHE （SAS）， BD=DE. 即D是BE的中点. (3)由于PB=PE， 点P必在线段BE的中垂线CD上，又点P在抛物线上, 符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将点D(0,-
4、1) C(2,0) 代入，得. 解得 . 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.解方程组 得 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).2.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？3.如图10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F
5、 FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF（1） 求证：BEF CEG（2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？ 4如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2 （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点
6、的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）令y=0，解得或（1分）A（-1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）（1分）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分） E（1分）P点在E点的上方，PE=（2分）当时，PE的最大值=（1分）（3）存在4个这样的点F，分别是（结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分）5如图13，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与
7、x轴交于点D 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q（1）求点B和点C的坐标；图13（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）在线段BC上是否存在点Q，使得DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由解： （1）把x =0代入得点C的坐标为C（0，2） 把y =0代入得点B的坐标为B（3，0） （2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y） =+= = = 点M运动到B点上停止，（） （3）存在 BC= 若BQ = DQ BQ = DQ，BD
8、 = 2 BM = 1 OM = 31 = 2 QM =所以Q的坐标为Q （2，） 若BQ=BD=2 BQMBCO， = = QM = = = BM = OM = 所以Q的坐标为Q （，） 6 如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ （1）点 （填M或N）能到达终点；（2）求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存
9、在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由图12解：（1）点 M （2）经过t秒时， 则，= 当时，S的值最大 （3）存在 设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，= 若，则是等腰Rt底边上的高是底边的中线 点的坐标为（1，0） 若，此时与重合点的坐标为（2，0） 7.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB3，AD5若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿ABCD的路线作匀速运动当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运
10、动时间为t（秒）。当t5时，求出点P的坐标；若OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间（3+5+3）111（秒）（2）当t5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，BP=2 过点P作PEAD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2OD=OA+AE=10+2=12点P的坐标为（12，3）分三种情况：i当0t3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=ts=2tt= t ii当3t8时，点P在AB上运动，此时OA=2ts=2t3=3 tiii当8t11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= tDP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- ts=2t(11- t)=- t+11 t综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0t3时，s= t；当3t8时，s=3 t；当8t11时，s=- t+11 t
