1、中考数学反比例函数综合练习题含详细答案一、反比例函数1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，3）和点B（m，2）（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标 【答案】（1）解：点A（2，3）在反比例函数y= 的图形上，k=23=6，反比例函数的解析式为y= ，点B在反比例函数y= 的图形上，2m=6，m=3，B（3，2），点A，B在直线y=ax+b的图象上， ， ，一次函数的解析式为y=x+1（2）解：以A、B、P、Q
2、为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，AB=PQ，ABPQ，设直线PQ的解析式为y=x+c，设点Q（n， ）， =n+c，c=n ，直线PQ的解析式为y=x+n ，P（1，n 1），PQ2=（n1）2+（n 1+ ）2=2（n1）2 ， A（2，3）B（3，2），AB2=50，AB=PQ，50=2（n1）2 ， n=4或6，Q（4. ）或（6，1） 【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，ABPQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论2如图，直线y
3、=mx+n与双曲线y= 相交于A（1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求m，n的值； （2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得SPAB=SDAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）解：点A（1，2）在双曲线y= 上，2= ，解得，k=2，反比例函数解析式为：y= ，b= =1，则点B的坐标为（2，1）， ，解得，m=1，n=1（2）解：对于y=x+1，当x=0时，y=1，点C的坐标为（0，1），点D与点C关于x轴对称，点D的坐标为（0，1），ABD的面积= 23=3（3）解：对于y=x+1，当y=0时
4、，x=1，直线y=x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），SPAB= |1a|2+ |1a|1=3，解得，a=1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），SPAB= |1b|2+ |1b|1=3，解得，b=1或3，P点坐标为（1，0）或（3，0）或（0，1）或（0，3） 【解析】【分析】（1）由点A（1，2）在双曲线上，得到k=2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出ABD的面积；（3）由一次
5、函数的解析式得到直线y=x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出SPAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出SPAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.3如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，2）. （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； （3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移 个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论. 【答案】 （1）解：设反比例函数的解析式为 （k0） A（m，2）在y=2x上，2=2m，
6、解得m=1。A（1，2）。又点A在 上， ，解得k=2。，反比例函数的解析式为 （2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为1x0或x1。（3）解：四边形OABC是菱形。证明如下： A（1，2）， 。由题意知：CBOA且CB= ，CB=OA。四边形OABC是平行四边形。C（2，n）在 上， 。C（2，1）。 。OC=OA。平行四边形OABC是菱形。【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为 （k0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结
7、合题意CBOA且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC4如图，已知A（3，m），B（2，3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点（1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方； （3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得OBC的面积等于OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标 【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（2，3）代入，可得k=2（3）=6，反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，A（3，2），设直线AB 的解析式为y
8、=ax+b，把A（3，2），B（2，3）代入，可得 ，解得 ，直线AB 的解析式为y=x1（2）解：由题可得，当x满足：x2或0x3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C如图所示，延长AO交双曲线于点C1 ， 点A与点C1关于原点对称，AO=C1O，OBC1的面积等于OAB的面积，此时，点C1的坐标为（3，2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ， 则OBC2的面积等于OBC1的面积，OBC2的面积等于OAB的面积，由B（2，3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b，把C1（3，2）代入，可得2= （3）+b，解得b= ，直线C1C2的解析式为
9、y= x+ ，解方程组 ，可得C2（ ）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3 ， 则OBC3的面积等于OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= 3+ ，解得 = ，直线AC3的解析式为y= x ，解方程组 ，可得C3（ ）；综上所述，点C的坐标为（3，2），（ （） ）【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于
10、零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。5如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）解：在矩形OABC中，OA=6，OC=4，B（6，4），F为AB的中点，F（6，2），又点F在反比例函数 （k0）的图象上，k=12，该函数的解析
11、式为y= （x0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ）， ，= = = = ，当k=12时，S有最大值S最大=3 【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可6如图，P1、P2是反比例函数y= （k0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）若P1OA1与P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点 （1）求反比例函数的解析式 （2）求P2的坐标 根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次
12、函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值 【答案】（1）解：过点P1作P1Bx轴，垂足为B 点A1的坐标为（4，0），P1OA1为等腰直角三角形OB=2，P1B= OA1=2P1的坐标为（2，2）将P1的坐标代入反比例函数y= （k0），得k=22=4反比例函数的解析式为 （2）过点P2作P2Cx轴，垂足为C P2A1A2为等腰直角三角形P2C=A1C设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a）将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得a= ，解得a1= ，a2= （舍去）P2的坐标为（ ， ）在第一象限内，当2x2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）先根据点
13、A1的坐标为（4，0），P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围7已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sinAOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D （1）求这个反比例函数的解析式； （2）四边形OABC的面积 【答案】（1）解：过C作CMx轴于M，则CMO=90， OC=2 ，sinAOC= =
14、，MC=4，由勾股定理得：OM= =2，C的坐标为（2，4），代入y= 得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y= （2）解： 过B作BEx轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DNx轴于N，D为AB的中点，DN= =2，AN= =1，把y=2代入y= 得：x=4，即ON=4，OA=41=3，四边形OABC的面积为OACM=34=12【解析】【分析】（1）过C作CMx轴于M，则CMO=90，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可8如图，在平面直角
15、坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CEx轴，垂足为点E，tanABO= ，OB=4，OE=2（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DFy轴，垂足为点F，连接OD、BF如果SBAF=4SDFO ， 求点D的坐标（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标【答案】（1）解：tanABO= ， = ，且OB=4，OA=2，CEx轴，即CEAO，AOBCEB， = ，即 = ，解得CE=3，C（2，3），m=23=6，反比例函数解析式为y= （2）解
16、：设D（x， ），D在第四象限，DF=x，OF= ，SDFO= DFOF= x =3，由（1）可知OA=2，AF=x+ ，SBAF= AFOB= （x+ ）4=2（x+ ），SBAF=4SDFO ， 2（x+ ）=43，解得x=3+ 或x=3 ，当x=3+ 时， 的值为3 ，当x=3 时， 的值为3+ ，D在第四象限，x=3 不合题意，舍去，D（3+ ，3 ）（3）解：D在第四象限，在BCD中，由三角形三边关系可知CDCBBC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得 ，解得 ，直线AB解析式为y= x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得 ，解得 或
17、（舍去），D（6，1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，1）【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由AOBCEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出BAF和DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在BCD中，由三角形三边关系可知CDCBBC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标9如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 和点 ，过点 作 轴交抛物线于点 （1）求此抛物线的表达式； （2）点 是抛物线上一点
18、，且点 关于 轴的对称点在直线 上，求 的面积； （3）若点 是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到某一位置时， 的面积最大，求出此时点 的坐标和 的最大面积 【答案】 （1）解： 抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 和点 ， ，得 ， 此抛物线的表达式是 （2）解： 抛物线 交 轴于点 ， 点 的坐标为 ， 轴，点 是抛物线上一点，且点 关于 轴的对称点在直线 上， 点 的纵坐标是5，点 到 的距离是10，当 时， ，得 或 ， 点 的坐标为 ， ， 的面积是： （3）解：设点 的坐标为 ，如图所示， 设过点 ，点 的直线 的函数解析式为 ， ，得 ，即直线 的函数解析式为 ，当 时， ，
19、 ， 的面积是： ， 点 是直线 下方的抛物线上一动点， ， 当 时， 取得最大值，此时 ，点 的坐标是 ， ，即点 的坐标是 ， 时， 的面积最大，此时 的面积是 【解析】【分析】（1）根据题意可以求得 、 的值，从而可以求得抛物线的表达式；（2）根据题意可以求得 的长和点 到 的距离，从而可以求得 的面积；（3）根据题意可以求得直线 的函数解析式，再根据题意可以求得 的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题10如果三角形的两个内角与满足2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. （1）若ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，则B=_； （2）如图，在RtABC中，ACB
20、=90，AC=4，BC=5.若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由. （3）如图，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长. 【答案】 （1）15（2）解：如图中， 在RtABC中，B+BAC=90，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD是“准互余三角形”，ABE也是“准互余三角形”，只有2B+BAE=90，B+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C=90，CAECBA，可得CA
21、2=CECB，CE= ，BE=5 = .（3）解：如图中，将BCD沿BC翻折得到BCF. CF=CD=12，BCF=BCD，CBF=CBD，ABD=2BCD，BCD+CBD=90，ABD+DBC+CBF=180，A、B、F共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122 ， x=9或16（舍去），AF=7+9=16，在RtACF中，AC= 【解析】【解答】（1）ABC是“准互余三角形”，C90，A=60， 2B+A=90，解得，B=15；【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义
22、构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA，可得CA2=CECB，由此即可解决问题；（3）如图中，将BCD沿BC翻折得到BCF.只要证明FCBFAC，可得CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122 ， 推出x=9或16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；11如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，点P是边AB上的一动点，连结DP. （1）若将DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A处，试求AP的长； （2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将DAP与PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A，B处，若P，A，B三点恰好在同一直线上，且AB2，试
23、求此时AP的长； （3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将DAP与PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长. 【答案】 （1）解:当点A落在对角线BD上时，设APPAx， 在RtADB中，AB4，AD3，BD 5，ABDA3，BA2，在RtBPA中，（4x）2x2+22 ， 解得x ，AP .当点A落在对角线AC上时，由翻折性质可知：PDAC，则有DAPABC， ，AP . AP的长为 或 （2）解:如图3中，设APx，则PB4x， 根据折叠的性质可知：PAPAx，PBPB4x，AB2，4xx2，x1，PA1；如图4中，设APx，
24、则PB4x，根据折叠的性质可知：PAPAx，PBPB4x，AB2，x（4x）2，x3，PA3；综上所述，PA的长为1或3（3）解:如图5中，作FHCD由H. 由翻折的性质可知；ADDF3.BGBF，G、F、D共线，设BGFGx，在RtGCD中，（x+3）242+（3x）2 ， 解得x ，DGDF+FG ，CGBCBG ，FHCG， ， ，FH ，DH ，CH4 ，在RtCFH中，CF 【解析】【分析】（1）分两种情形：当点A落在对角线BD上时，设AP=PA=x，构建方程即可解决问题；当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）
25、如图5中，作FHCD由H.想办法求出FH、CH即可解决问题12在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx22mxm1（m0）与x轴的交点为A，B （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点 当m=1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围【答案】 （1）解：将抛物线表达式变为顶点式 ，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：m=1时，抛物线表达式为 ，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；抛物线顶点为（1，-
26、1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则 ，得到A、B两点坐标分别为（ ，0），（ ，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到 ， 【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）m=1时，抛物线表达式为 ，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则 ，解方程可得到A、B两点坐标分别为（ ，0），（ ，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到 ，即可得到结论
