1、中考重难点攻关二次函数综合题型解析二次函数是初中代数综合性最强的知识，在不同地区、不同版本的中考试题中经常做为压轴题出现，足见其重要性。函数思想和解题方法原理不仅仅局限于初中学习，在高中、大学及以后的生活、工作中都有广泛的用途。在中考前的复习中掌握好二次函数的综合题解题方法，将大大提高中考成绩。现举一例：【四川省内江市2019中考试题加试卷压轴题】已知抛物线C1：与C2：的顶点相同.(1)求抛物线C2的解析式；(2)点A是抛物线C2在第四象限内的一动点，过点A作APx轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；Q1B1Q2B2BCOxyAPG1G2(3)设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为(-1，-
2、4).问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90得到线段QB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。难度： 考点：函数综合应用解析：(1)抛物线C1：的顶点为(1，-4)，又抛物线C1与C2：的顶点相同，解得m=2，进而解得n=-3，抛物线C2的解析式是.(2)抛物线C2：与x轴交于点(-1，0)和(3，0)设点A的坐标为(a，a2-2a-3)(0a3)，则点P坐标为(a，0)，AP+OP=|a2-2a-3|+a=-a2+3a+3=当时，AP+OP取得最大值，为.(3)连结BC.抛物线C2的对称轴为直线l：x=1点B的坐标为(-1，-4)
3、，点C的坐标为(1，-4)，BC=2，BC直线l.假设在抛物线C2上存在满足条件的点B，过点B作BG直线l于点G，则有BCQQGB，进而有BC=QG=2，CQ=GB.设点Q的坐标为(1，q)，点B的坐标为(x，x2-2x-3)，则QG=x2-2x-3-q=2，CQ=|-4-q|，GB=|x-1|联立，整理得q2+7q+10=0，解得q=-2或-5满足要求的点Q的坐标为(1，-2)或(1，-5).题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4)，O(0,0)，B(2,0)三点(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(2)若点M是该抛物
4、线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值解：(1)把A(-2,-4)，O(0,0)，B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得 解这个方程组，得a=，b=1，c=0M所以解析式为(2)由，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OBOM=BM OM+AM=BM+AM连接AB，交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小，过点A作ANx轴于点N，在RtABN中，AB，因此OM+AM最小值为.方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，只需做出点A关于这条直线的对称点A，将点B与A连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+BM的最小值。同理，也
5、可以做出点B关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+BM的最小值。应用的原理是：两点之间线段最短。例2：已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。(1)求抛物线C1的顶点坐标.(2)已知实数，请证明：，并说明为何值时才会有.(3)若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，是C2上的两个不同点，且满足：AOB=90，m0，n0，.请你用含有的表达式表示出的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。解：(1)抛物线过点， -3a-3 a1 y=x2+bx-3x2+bx-3=0的两根为x1，x2且4且b
6、0 b-2 y=x2-2x-3=(x-1)2-4 抛物线C1的顶点坐标为(1，-4) (2)x0，00，显然当x1时，才有 (3)方法一：由平移知识易得C2的解析式为：yx2 A(m，m)，B（n，n）AOB为直角三角形，OA+OB=ABmmnn(mn)(mn) 化简得：m n-1 又m n-1SAOB的最小值为1，此时m1, A(1，1)直线OA的一次函数解析式为yx方法提炼：已知一元二次方程两个根x1，x2求。因为=例3：如图，已知抛物线经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点(1)求抛物线的解析式(2)点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M
7、的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长(3)在(2)的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3)，则：a(0+1)(0-3)=3，a=-1；抛物线的解析式：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=-x+3点M的横坐标为m，M(m，-m+3)、N(m，-m2+2m+3)；故MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0m3)(3)如图.SBNC=SMNC+SMNB=，SBNC=（0m3）；当m=时，
8、BNC的面积最大，最大值为方法提炼：因为BNC的面积不好直接求，将BNC的面积分解为MNC和MNB的面积和。然后将BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例4：如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1，0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1，0)，在直线上有一点P，使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，
9、使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)由题意得，A(3，0)，B(0，3)抛物线经过A、B、C三点，把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点分别代入得方程组 解得：抛物线的解析式为 (2)由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示，若ABOAP1D，则DP1=AD=4，P1(-1，4)若ABOADP2 ，过点P2作P2 Mx轴于M，AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合P2(1，2)(3)如图设点E(x，y) ，则 当P1(-1，4)时，= ， 点E在x
10、轴下方， y=-4代入得：x2-4x+3=-4，即x2-4x+7=0 =(-4)2-47=-120 此方程无解.当P2(1，2)时，= 点E在x轴下方 y=-2 代入得：x2-4x+3=-2，即x2-4x+5=0 =(-4)2-45=-40 此方程无解.综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考
11、虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例5：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置(1)求点B的坐标；(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1)如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120， BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=，点B的坐标为(-2，-)；(2)抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A(4，0)，B(-2，-)代入，得D
12、P，解得，此抛物线的解析式为(3)存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为(2，y)，C若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=，当y=时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=不符合题意，舍去，点P的坐标为(2，-)若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y= -，故点P的坐标为(2，-)，若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=-，故点P的坐标为(2，-)，综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，-).方法提炼：求一
13、动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；(2)点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由(3)请在直线AC上
14、找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标解：(1)当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3点A在点B的左侧，A、B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)当x=0时，y=3C点的坐标为(0，3).设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k10)，则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，顶点D的坐标为(1，4) (2)抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为(2，3)；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q2坐标为(1+，-3)；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为
15、-3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为(1-，-3)；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1(2，3)，Q2(1+，-3)，Q3(1-，-3) (3)点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角， 1=2 RtAOCRtAFB， 由A(-1，0)、B(3，0)C(0，3)得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4 ， BF=， BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB， ， BE=，BE=，OE=BE-OB=-3= B点的坐标为(-，)设直线BD的解析式为y=k2x+b
16、2(k20)，解得，直线BD的解析式为：，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例7：如图，半径为2的C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）若抛物线过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBO=POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求S的最大（小）值解：（1）如答图1，连接OBBC=2，OC=1 OB=
17、B（0，）将A(3，0)，B(0，)代入二次函数的表达式得 ，解得 ，（2）存在如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点PB（0，），O（0，0），直线l的表达式为代入抛物线的表达式，得；解得，P（）（3）如答图3，作MHx轴于点H设M（ ），则SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=(MH+OB)OH+HAMHOAOB= ， = xyBAPH C O D当时，取得最大值，最大值为题型五：二次函数中的证明问题例8：如图，已知二次函数的图像过点A(-4，3），B(4，4). （1）求二次函数的解析式： （2）求证：ACB是直角三角形； （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一
18、动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代入中，整理得： 解得 二次函数的解析式为：， 整理得： （2）由 整理得 C(-2，0)，D(，0) 从而有：AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2，故ACB是直角三角形. （3）设(x0) PH=，HD=，AC=，BC=. 当PHDACB时有： 即： 整理 ，（舍去）.此时， . 当DHPACB时有： 即： 整理，得 ，（舍去）此时， . 综
19、上所述，满足条件的点有两个即，.例9： 在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ，交y轴于点M作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B设点P的横坐标为m（1）如图1，当m=时，求线段OP的长和tanPOM的值；在y轴上找一点C，使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形ODME是矩形解：（1）把x=代入y=x2，得y=2，P（，2），OP=.PA丄x轴，PAMOtanPOM=tanOPA=设Q（n，n2
20、），tanQOB=tanPOM，n=.Q（，），OQ=当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；当OQ=CQ时，则C3（0，1）（2）P（m，m2），设 Q（n，n2），APOBOQ，得，Q设直线PO的解析式为y=kx+b，把P（m，m2）、Q代入，得： 解得b=1，M（0，1），QBO=MOA=90，QBOMOAMAO=QOB，QOMA同理可证：EMOD又EOD=90，四边形ODME是矩形题型六：自变量取值范围问题例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析
21、式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A(2，0)、B(5，4)、C(0，4)、D(3，0)；设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x3)，得：2(3)a=4，a=；抛物线：（2）由A(2，0)、B(5，4)得直线AB：；由（1）得，则：
22、，解得，；由图可知：当y1y2时，2x5（3）SAPE=AEh，当P到直线AB的距离最远时，SABC最大；若设直线lAB，则直线l与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线l：，当直线l与抛物线有且只有一个交点时，且=0.求得：，即直线l：；可得点P由（2）得：E，则直线PE：；则点F（，0），AF=OA+OF=；PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为题型七：二次函数实际应用问题例11：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=
23、2x+100（利润=售价制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（1）z =（x18）y=（x18）（2x+100）=2x2+136x1800，z与x之间的函数解析式为z=2x2+136x1800；（2）由z=350，得350=2x2+136x1800，解这个方程得x1=25，x2=43所以，销售单价定为25元或43元，将z2x2+136x1800配方，得z=2（x34）2+512，因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； （3）结合（2）及函数z=2x2+136x1800的图象（如图所示）可知，当25x43时z350，又由限价32元，得25x32，根据一次函数的性质，得y=2x+100中y随x的增大而减小，当x=32时，每月制造成本最低最低成本是18（232+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元
