1、几何难题精选 解答题（共30小题）1（2015河南）如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0时，= ；当=180时，= （2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长 2（2015济南）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点
2、F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长 3（2015岳阳）已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： （2）猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问（1）中
3、的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB=90（如图所示），若两平行线m、n之间的距离为2k求证：PAPB=kAB 4（2015重庆）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF
4、与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF） 5（2015烟台）【问题提出】如图，已知ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由 6（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=A
5、EF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由） 7（2015襄城区模拟）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（09
6、0），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由 8（2015重庆校级一模）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DFPG于点H，DF交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE，连
7、结EF（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1，计算出DG的长；（2）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 9（2015房山区二模）在ABC中，AB=BC=2，ABC=90，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转（0180）得到EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点FBE与FC相交于点H（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系： ；（2）如图2，M、N分别
8、为EF、BC的中点求证：MN=；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： 10（2015衢州校级模拟）图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起（C与O重合）（1）操作：固定ABC，将0DE绕点C顺时针旋转30后得到ODE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论（2）在（1）的条件下将的ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与AB
9、C重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围（3）将图1中0DE固定，把ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为ABG，然后将ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设BGE=（3090）；（图4）探究：在图4中，线段ONEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出ONEM的值，如果有变化，请你说明理由 11（2015武义县模拟）（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将EOC沿CE折叠如图1，当点O落在AB边上的点
10、D处时，求点E的坐标；如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EGx轴交CD于点H，交BC于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；（2）如图3，将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将EOC沿CE折叠点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T，若=，求AT的长 12（2015石家庄校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于点O （1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G判断AEF
11、是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由 13（2015春泰安校级期中）如图，正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N（1）求证：OM=ON；（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连结PM若PM=13，试求AM的长；（3）连接MN，求AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系 14（2014天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEDF
12、，记旋转角为（）如图，当=90时，求AE，BF的长；（）如图，当=135时，求证AE=BF，且AEBF；（）若直线AE与直线BF相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可） 15（2014春青山区期末）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求的值 16（2013盐城）阅读材料如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB
13、边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD解决问题（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角ACB=EDF=，请直接写出的值（用含的式子表示出来） 17（2013梅州）用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以
14、下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由 18（2015营口）如图，点P是O外一点，PA切O于点A，AB是O的直径，连接OP，过点B作BCOP交O于点C，连接AC交OP于点D（1
15、）求证：PC是O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长 19（2015永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与
16、B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值 20（2015盘锦）如图1，ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，点B在线段AE上，点C在线段AD上（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；（2）如图2，将图1中的ABC绕点A顺时针旋转角（0360），（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；当
17、AC=ED时，探究在ABC旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角的度数；若不存在，请说明理由 21（2015朝阳）问题：如图（1），在RtACB中，ACB=90，AC=CB，DCE=45，试探究AD、DE、EB满足的等量关系探究发现小聪同学利用图形变换，将CAD绕点C逆时针旋转90得到CBH，连接EH，由已知条件易得EBH=90，ECH=ECB+BCH=ECB+ACD=45根据“边角边”，可证CEH ，得EH=ED在RtHBE中，由 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 实践运用（1
18、）如图（2），在正方形ABCD中，AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长 22（2015自贡）在ABC中，AB=AC=5，cosABC=，将ABC绕点C顺时针旋转，得到A1B1C（1）如图，当点B1在线段BA延长线上时求证：BB1CA1；求AB1C的面积；（2）如图，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差 23（2015
19、吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）其中，C=DEF=90，ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值 24（2015汕尾）在RtABC中，A=90，AC=
20、AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果） 25（2015赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，EDF=60，当C
21、E=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ 26（2015海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD=60，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点（1）求证：ADPECP；（2）若BP=nPK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M
22、，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数 27（2015丹东）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点
23、O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系 28（2015成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90（1）如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF（i）求证：CAECBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且=k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等
24、量关系（直接写出结果，不必写出解答过程） 29（2015锦州）如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，
25、不用加以证明 30（2014绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：DECEDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值 几何难题精选(1) 旋转 圆 四边形参考答案与试题解析 一解答题（共30小题）1（2015河南）如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角
26、为（1）问题发现当=0时，= ；当=180时，= （2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】（1）当=0时，在RtABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少=180时，可得ABDE，然后根据，求出的值是多少即可（2）首先判断出ECA=DCB，再根据，判断出ECADCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可（3）根据题意，分两种情况：点A，D，E所在的直
27、线和BC平行时；点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可【解答】解：（1）当=0时，RtABC中，B=90，AC=，点D、E分别是边BC、AC的中点，如图1，当=180时，可得ABDE，=故答案为：（2）如图2，当0360时，的大小没有变化，ECD=ACB，ECA=DCB，又，ECADCB，（3）如图3，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，AD=BC，AB=DC，B=90，四边形ABCD是矩形，如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，点D、E分别是边BC、AC的中点，DE=2
28、，AE=ADDE=82=6，由（2），可得，BD=综上所述，BD的长为4或【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握 2（2015济南）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如
29、图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】（1）根据题意证明MACNBC即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明MACNBC即可；（3）作GKBC于K，证明AM=AG，根据MACNBC，得到BDA=90，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案【解答】解：（1）ACB=90，MCN=90，ACM=BCN，在MAC和NBC中，MACNBC，NBC=
30、MAC=90，又ACB=90，EAC=90，NDE=90；（2）不变，在MACNBC中，MACNBC，N=AMC，又MFD=NFC，MDF=FCN=90，即NDE=90；（3）作GKBC于K，EAC=15，BAD=30，ACM=60，GCB=30，AGC=ABC+GCB=75，AMG=75，AM=AG，MACNBC，MAC=NBC，BDA=BCA=90，BD=，AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，a+a=+1，a=1，KB=KG=1，BG=，AG=，AM=【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋
31、转的性质的灵活运用 3（2015岳阳）已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA=PB （2）猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB=90（如图所示），若两平行线m、n之间的距离为2k求证：PAPB=kAB【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】（
32、1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可（2）首先过C作CEn于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、PCA=PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出PACPBE，即可判断出PA=PB仍然成立（3）首先延长AP交直线n于点F，作AEBD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出AEFBPF，即可判断出AFBP=AEBF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PAPB=2kAB，所以PAPB=kAB，据此解答即可【解答】解：（1）ln，BCBD，三角形CBD是直角三角形，又点P为线段CD的中点，
33、PA=PB（2）把直线l向上平移到如图的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图，过C作CEn于点E，连接PE，三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，PD=PE，又点P为线段CD的中点，PC=PD，PC=PE；PD=PE，CDE=PEB，直线mn，CDE=PCA，PCA=PEB，又直线lm，ln，CEm，CEn，lCE，AC=BE，在PAC和PBE中，PACPBE，PA=PB（3）如图，延长AP交直线n于点F，作AEBD于点E，直线mn，AP=PF，APB=90，BPAF，又AP=PF，BF=AB；在AEF和BPF中，AEFBPF，AFBP=AEBF，AF=2PA，AE=2k，BF=
34、AB，2PAPB=2kAB，PAPB=kAB【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握 4（2015重庆）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（
35、1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF）【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】（1）如图1，易求得B=60，BED=90，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，易证MBDNCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，
36、则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3同（1）可得：B=ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM然后在RtBMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BECF）【解答】解：（1）如图1，AB=AC，A=60，ABC是等边三角形，B=C=60，BC=AC=AB=4点
37、D是线段BC的中点，BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90，AED=3606090120=90，BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2=1；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，则有AMD=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360609090=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND，EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点D作DMAB于M，如图3同（1）可得：B=ACD=60同（2
38、）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FNDN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中，DM=BMtanB=BM，BE+CF=（BECF）【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键 5（2015烟台）【问题提出】如图，已知ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点
39、C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】首先判断出CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60，所以EAF=BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBFEA，即可判断出BD=AE，
40、AB=AE+BF，所以AB=DB+AF（1）首先判断出CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60，所以EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，再根据FCG=EAD，D=EAD，可得D=FEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBFEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AB=BDAF即可（2）首先根据点E在线段BA的延长线上，在图的基础上将图形补充完整，然后判断出CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60，再判断出DBE=EAF，BDE=AEF；最
41、后根据全等三角形判定的方法，判断出EDBFEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可【解答】证明：ED=EC=CF，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BCA=60，BE=AF，EC=CF，CEF是等边三角形，EF=EC，CEF=60，又ED=EC，ED=EF，ABC是等腰三角形，BCA=60，ABC是等边三角形，CAF=CBA=60，EAF=BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE，CAF=CEF=60，A、E、C、F四点共圆，AEF=ACF，又ED=EC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFE
42、A，DB=AE，BE=AF，AB=AE+BE，AB=DB+AF（1）AB=BD+AF；延长EF、CA交于点G，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BE=AF，EC=CF，CEF是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，EFC=BAC=60，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，又FCG=ECD，D=ECD，D=FEA，由旋转的性质，可得CBE=CAF=120，DBE=FAE=60，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFEA，BD=AE，EB=AF，BD=FA+AB，即AB=BDAF（2）如图，ED=EC=CF，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC是等边三角形，ABC=60，又CBE=CAF，CAF=60，EAF=180CAFBAC=180
