1、备战中考数学圆的综合综合练习题一、圆的综合1如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，求半圆的半径【答案】（1）见解析；(2)【解析】分析: （1）连接CO，由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判断出BCO+BCE=90，即可得出结论；（2）设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明AODACB，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO.AB是半圆的直径，ACB=90. DCB=180-ACB=90.DCE+BCE=90.OC=OB,OCB=B.，OCB=DCE. OC
2、E=DCB=90.OCCE.OC是半径，CE是半圆的切线. （2）解：设AC=2x，在RtACB中，,BC=3x. ODAB,AOD=ACB=90.A=A，AODACB.，AD=2x+10,.解得 x=8.则半圆的半径为.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.2如图，在ABP中,C是BP边上一点,PAC=PBA,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是O的切线； （2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出ACD=90以及利用PA
3、C=PBA得出CAD+PAC=90进而得出答案；（2）首先得出CAGBAC，进而得出AC2=AGAB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,AD是O的直径,ACD=90,CAD+D=90，PAC=PBA，D=PBA，CAD+PAC=90，即PAD=90，PAAD，PA是O的切线；（2）CFAD，ACF+CAF=90，CAD+D=90，ACF=D，ACF=B，而CAG=BAC，ACGABC，AC：AB=AG：AC，AC2=AGAB=12，AC=23在O 中，点C是上的一个动点(不与点A，B重合)，ACB=120，点I是ABC的内心，CI的延长线交O于点D，连结AD,BD（1）求证：AD=
4、BD （2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由 （3）若O的半径为2，点E，F是的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3） 【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据ACB=120，ACD=BCD，可求出BAD的度数，再根据AD=BD，可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明BID=IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为
5、半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是 弧AB 的三等分点，ABD是等边三角形，可证得DAI1=AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：点I是ABC的内心CI平分ACBACD=BCD弧AD=弧BDAD=BD（2）AB=DI理由：ACB=120，ACD=BCDBCD=120=60弧BD=弧BDDAB=BCD=60AD=BDABD是等边三角形，AB=BD，ABD=CI是ABC的内心BI平分ABCCBI=ABIBID=C+CBI，IBD=ABI+ABDBID=IBDID=BDAB=BDAB=DI（3）解：如图，连接DO，延
6、长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧ACB=120，弧AD=弧BDAED=ACB=120=60圆的半径为2，DE是直径DE=4，EAD=90AD=sinAEDDE=4=2点E，F是 弧AB 的三等分点，ABD是等边三角形，ADB=60弧AB的度数为120，弧AM、弧BF的度数都为为40ADM=20=FABDAI1=FAB+DAB=80AI1D=180-ADM-DAI1=180-20-80=80DAI1=AI1DAD=I1D=2弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题
7、关键，注意数形结合思想的渗透.4四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AEEC，BEED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O（1）如图，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD6，求弧AE 的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出ACBD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DEAC，ADE=CDE，进而得出CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解析：证明：（1）四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，四边形ABCD是平行四边形以AD为直径的
8、半圆过点E，AED=90，即有ACBD，四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，ADC为等腰三角形，AD=DC且DEAC，ADE=CDE如图2，过点C作CGAD，垂足为G，连接FOBF切圆O于点F，OFAD，且，易知，四边形CGOF为矩形，CG=OF=3在RtCDG中，CD=AD=6，sinADC=，CDA=30，ADE=15连接OE，则AOE=2ADE=30，点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键5如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，BDBA，BEDC交DC的延长线于点E(1) 求证：BE
9、是O的切线(2) 若EC1，CD3，求cosDBA【答案】（1）证明见解析；（2）DBA【解析】分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到ADC=90，证得四边形BEDF是矩形，即EBF=90，可得出结论.（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接ODBDBA，OAODBF为线段AD的垂直平分线AC为O的直径ADC90BEDC四边形BEDF为矩形EBF90BE是O的切线 (2) O、F分别为AC、AD的中点O
10、FCDBFDE134OBODcosDBAcosDOF点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.6如图1，在RtABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线ADDE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQAC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN设点P的运动时间为t（s） （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_cm（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形时，设五边
11、形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P开始运动时，O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值【答案】（1）t1；（2）S=t2+3t+3（1t4）；（3）t=s【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1cm/s，即可求出DP； （2）由正方形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE
12、上，求出DP=t1，PQ=3，根据MNBC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可； （3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5t，然后由r以0.2cm/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8t=1+0.2t，从而可求得t的值详解：（1）由勾股定理可知：AB=10 D、E分别为AB和BC的中点，DE=AC=4，AD=AB=5，点P在AD上的运动时间=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t1）s DE段运动速度为1cm/s，DP=（t1）cm 故答案为t1 （2）当正方
13、形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示 当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，3t1，t4，DP0，t10，解得：t1，1t4 DFNABC，= DN=PNPD，DN=3（t1）=4t，=，FN=，FM=3=，S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，S=（+3）（4t）+3（t1）=t2+3t+3（1t4） （3）当圆与边PQ相切时，如图： 当圆与PQ相切时，r=PE，由（1）可知，PD=（t1）cm，PE=DEDP=4（t1）=（5t）cm r以0.2cm/s的速度不断增大，r=1+0.2t，1+0.2t=5t，解得：t=s 当圆与MN相切时，r=CM 由（1）可
14、知，DP=（t1）cm，则PE=CQ=（5t）cm，MQ=3cm，MC=MQ+CQ=5t+3=（8t）cm，1+0.2t=8t，解得：t=s P到E点停止，t14，即t5，t=s（舍） 综上所述：当t=s时，O与正方形PQMN的边所在直线相切点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键7如图，ABC中，A=45，D是AC边上一点，O经过D、A、B三点，ODBC（1）求证：BC与O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求
15、出DOB度数，根据平行线性质求出CBO=90，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交O于点F，连接AF，求出ABF，解直角三角形求出BE详解：（1）证明：连接OBA=45，DOB=90ODBC，DOB+CBO=180CBO=90直线BC是O的切线（2）解：连接BD则ODB是等腰直角三角形，ODB=45，BD=OD=15，ODB=A，DBE=DBA，DBEABD，BD2=BEBA，（15）2=（7+BE）BE，BE=18或25（舍弃），BE=18点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大8四边形ABCD内接
16、于O，点E为AD上一点，连接AC，CB，B=AEC （1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若B+CAE=120，ACD=2BAC，求BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交O于点G，若tanBAC= ，EG=2，求AE的长【答案】（1）见解析；（2）60；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到CED=CDE.(2) 作CHDE于H, 设ECH=，由（1）CE=CD，用表示CAE，BAC，而BAD=BAC+CAE.（3）连接AG，作GNAC，AMEG，先证明CAG=BAC，设NG=5m，可得AN=11m，利用直角AGM,AEM，勾股定理可以算出m的值
17、并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：四边形ABCD内接于O.B+D=180，B=AEC，AEC+D=180，AEC+CED=180，D=CED，CE=CD（2）解：作CHDE于H设ECH=，由（1）CE=CD，ECD=2，B=AEC，B+CAE=120，CAE+AEC=120，ACE=180AECACE=60，CAE=90ACH=90（60+）=30，ACD=ACH+HCD=60+2，ACD=2BAC，BAC=30+，BAD=BAC+CAE=30+30=60（3）解：连接AG，作GNAC，AMEG，CED=AEG，CDE=AGE，CED=CDE，AEG=AGE，AE=AG，EM=MG=EG
18、=1，EAG=ECD=2，CAG=CAD+DAG=30+2=BAC，tanBAC=，设NG=5m，可得AN=11m，AG=14m，ACG=60，CN=5m，AM=8m，MG=2m=1，m=，CE=CD=CGEG=10m2=3，AE=79如图，AN是M的直径，NBx轴，AB交M于点C（1）若点A（0，6），N（0，2），ABN=30，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线【答案】(1) B（，2）(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在RtABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC只要证明MCD=90即可试题解析：（1）A的坐标为（0，6），N（0
19、，2），AN=4，ABN=30，ANB=90，AB=2AN=8，由勾股定理可知：NB=，B（，2）（2）连接MC，NC AN是M的直径，ACN=90，NCB=90，在RtNCB中，D为NB的中点，CD=NB=ND，CND=NCD，MC=MN，MCN=MNC，MNC+CND=90，MCN+NCD=90，即MCCD直线CD是M的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质10问题发现(1)如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB3，BC
20、4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) 的最小值为.(3) 【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，求的长即可;(3) 连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为，由求得GM的值，再由 求解即可.试题解析：（）从到距离最小即为过作的垂线，垂足为，（）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，且与交于，则的最小值为的长，设与
21、交于，则，且，即的最小值为（）连接，则， ，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为， ，【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题11如图，AB是O的直径，弦BCOB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G（1）求DGE的度数；（2）若，求的值；（3）记CFB，DGO的面积分别为S1，S2，若k，求的值（用含k的式子表示）【答案】(1)DGE60；(2)；(3)=.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系
22、，可以求得DGE的度数；（2）过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得FGOFCB，进而求得的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值【详解】解：(1)BCOBOC，COB60，CDBCOB30，OCOD，点E为CD中点，OECD，GED90，DGE60；(2)过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3COB60OHOF1，HFOH，HBOBOH2，在RtBHF中，BF，由OCOB，COB60得：OCB60，又OGBDGE60，OGBOCB，OFGCFB，FGOFCB，GF=，=.(3
23、)过点F作FHAB于点H，设OF1，则CFk，OBOCk+1，COB60，OHOF=，HF，HBOBOHk+，在RtBHF中，BF，由(2)得：FGOFCB，即，GO，过点C作CPBD于点PCDB30PCCD，点E是CD中点，DECD，PCDE，DEOE，= 【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答12如图，在RtABC中，AD平分BAC，交BC于点D，点O在AB上，O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留和根号）【答案
24、】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明ODAC即可解决问题；（2）连接OE，OE交AD于K只要证明AOE是等边三角形即可解决问题【详解】（1）连接ODOA=OD，OAD=ODAOAD=DAC，ODA=DAC，ODAC，ODB=C=90，ODBC，BC是O的切线（2）连接OE，OE交AD于K，OEADOAK=EAK，AK=AK，AKO=AKE=90，AKOAKE，AO=AE=OE，AOE是等边三角形，AOE=60，S阴=S扇形OAESAOE22【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
25、是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型13如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD已知CADB（1）求证：AD是O的切线；（2）若CD2，AC4，BD6，求O的半径【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到13，根据直角三角形中角的大小关系得出ODAD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，OBOD，3B，B1，13，在RtACD中，1+290，4180（2+3）90，ODAD，则AD为圆
26、O的切线；（2）过点O作OFBC，垂足为F，OFBDDFBFBD3AC4，CD2，ACD90AD2CADB，OFBACD90BFOACD=即=OBO的半径为【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键14在ABC中，AC=2，P为ABC所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC（1）如图1,已知，以A为旋转中心，将顺时针旋转60度，得到.请画出图形，并求证：C、P、M、N四点在同一条直线上；求PA+PB+PC的值.（2）如图2，如果点P满足，设Q为AB边中点，求PQ的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）；【解析】【分析】（1）
27、欲证明C、P、M、N四点在同一条直线上，只要证明APC+APM=180，AMN+AMP=180即可；只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在RtCBN中，利用勾股定理求出NC即可；（2）如图2中，由BPC=90，推出点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交O与P和P，可得PQ的最小值为-1，PQ的最大值为+1，PQ2，由此即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，APBAMN，APM是等边三角形，APM=APM=60，APB=BPC=APC=120，APB=BPC=APC=AMN=120，APC+APM=180，AMN+AMP=180，C、P、M、
28、N四点在同一条直线上； 解：连接,易得是等边三角形 ABN=60，ABC=30，NBC=90，AC=2，AB=BN=4，BC=2，PA=PM，PB=MN，PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在RtCBN中，CN=，PA+PB+PC=2 (2) 如图2中，BPC=90，点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交O与P和P，可得PQ的最小值为-1，PQ的最大值为+1，PQ2，-1PQ+1且PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，
29、学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题15已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上. (1)如图1，若AC3，CAB30，求半圆O 的半径； (2)如图2，M 是的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE，BC 于点F，D. 过点F 作FGAB 交边BC 于点G，若ACE 与CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的D 与直线AC 的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）半圆O的半径为；（2）D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得C90,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据ACE与CEB相似证出AECCEB90, 再依据M是的
30、中点,证明CFCD, 过点F作FPGB交于AB于点P, 证出ACFAPF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FPGB从而CDGB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1） AB是半圆O的直径， C90 在RtACB中，AB 2 OA （2）D与直线AC相切.理由如下：由（1）得ACB90 AECECB6， AECECB，AEC6 ACE与CEB相似， AECCEB90 在RtACD，RtAEF中分别有1390，2490 M是的中点， COMBOM 12， 34 45， 35 CFCD 过点F作FPGB交于AB于点P，则FPE6在RtAEC，RtACB中分别有CAEACE90，CAE690 ACE6FPE又 12，AFAF， ACFAPF CFFP FPGB，FGAB， 四边形FPBG是平行四边形 FPGB CDGB CDAC， 点D到直线AC的距离为线段CD的长 D与直线AC相切.
