1、一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1综合题 （1）【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少（2）【拓展应用】如图，在ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少（用含a，h的代数式表示） （3）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16
2、，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积 （4）【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积 【答案】（1）解：EF、ED为ABC中位线，EDAB，EFBC，EF= BC，ED= AB，又B=90，四边形FEDB是矩形，则 ；（2）解：PNBC，APNABC， ，即 ，PN=a- PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQPN=x（a- x）=- x2+ax=- （x- ）2+ ，当PQ
3、= 时，S矩形PQMN最大值为 .（3）解：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF和HED中， ，AEFHED（ASA），AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI= =24，BI=2432，中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为 BG BF= （40+20） （32+16）=720，答：该矩形的面积为720；（4）解：如
4、图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，tanB=tanC= ，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH= BC=54cm，tanB= = ，EH= BH= 54=72cm，在RtBHE中，BE= =90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中点Q在线段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为 BCEH=1944cm2 ， 答：该矩形的面积为1944cm2 【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得EDAB，EFBC，EF= BC，ED= AB，
5、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，而B=90，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以;(2）因为PNBC，由相似三角形的判定可得APNABC，则可得比例式,即,解得,设PQ=x，则S矩形PQMN=PQPN=x（）,因为0，所以函数有最大值，即当PQ=时，S矩形PQMN有最大值为;（3）延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH，于是用角边角可得AEFHED，所以AF=DH=16，同理可得
6、CDGHDE，则CG=HE=20，所以=24,BI=2432，所以中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由（1）得矩形的最大面积为 BG BF= （40+20） （32+16）=720；（4）延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，因为tanB=tanC，所以B=C，则EB=EC，由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH= 54=72cm，在RtBHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm，所以BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面积为 BCEH=1
7、944cm2。2如图，已知：在RtABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分CPB交边BC于点Q，QMAB于M，QNCP于N（1）当AP=CP时，求QP； （2）若四边形PMQN为菱形，求CQ； （3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与BPQ的面积相等？ 【答案】（1）解：AB=10，sinA= ，BC=8，则AC= =6，PA=PCPAC=PCA，PQ平分CPB，BPC=2BPQ=2A，BPQ=A，PQAC，PQBC，又PQ平分CPB，PCQ=PBQ，PB=PC，P是AB的中点，PQ= AC=3（2）解：四边形PMQN为菱形，MQPC，APC=
8、90， ABCP= ACBC，则PC=4.8，由勾股定理得，PB=6.4，MQPC， = = = ，即 = ，解得，CQ= （3）解：PQ平分CPB，QMAB，QNCP，QM=QN，PM=PN，SPMQ=SPNQ ，四边形PMQN与BPQ的面积相等，PB=2PM，QM是线段PB的垂直平分线，B=BPQ，B=CPQ，CPQCBP， = = ， = ，CP=4 =4 =5，CQ= ，BQ=8 = ，BM= = ，AP=ABPB=AB2BM= 【解析】【分析】（）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6，BC=8，因为PQ平分CPB，所以PQ/AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是
9、ABC的中位线，PQ =3;(2)当四边形PMQN为菱形时，因为APC=，所以四边形PMQN为正方形， 可得PC=4.8，PB=3.6，因为MQ/PC，所以，可得;(3)当QM垂直平分PB 时，四边形PMQN的面积与BPQ的面积相等，此时CPQCBP，对应边成比例，可得，所以，因为AP=AB-2BM，所以AP=.3如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是BC边上的点， ，连接AE， 交于点F（1）求证： ； （2）连接CF，求 的值； （3）连接AC交DF于点G，求 的值 【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，BAD=ADC=B=90，AB=CD=4，DFAE，AFD=90，BAE+EAD=
10、EAD+ADF=90，BAE=ADF，在RtABE中，AB=4，BE=3，AE=5，在ABE和DFA中， ，ABEDFA（AAS）.（2）解：连结DE交CF于点H，ABEDFA，DF=DC=4，AF=BE=3，CE=EF=2，DECF，DCF+HDC=DEC+HDC=90，DCF=DEC，在RtDCE中，CD=4，CE=2，DE=2 ，sinDCF=sinDEC= .（3）过点C作CKAE交AE的延长线于点K，DFAE，CKDF， ，在RtCEK中，EK=CEcosCEK=CEcosAEB=2 = ,FK=FE+EK=2+ = , = = .【解析】【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角
11、的余角相等可得BAE=ADF，在RtABE中，根据勾股定理可得AE=5，由全等三角形的判定AAS可得ABEDFA.（2）连结DE交CF于点H，由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4，AF=BE=3，由同角的余角相等得DCF=DEC，在RtDCE中，根据勾股定理可得DE=2 ,根据锐角三角函数定义可得答案.（3）过点C作CKAE交AE的延长线于点K，由平行线的推论知CKDF，根据平行线所截线段成比例可得 ，在RtCEK中，根据锐角三角函数定义可得EK= ,从而求出FK，代入数值即可得出答案.4如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1
12、）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断： AGBE的值为： （2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H若AG=6，GH=2 ，则BC=_ 【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BCD=90，BCA=45，GEBC、GFCD，CEG=CFG=ECF=90，四边形CEGF是矩形，CGE=ECG=45，EG=EC，四边形CEGF是正方形（2）解：连接CG，由旋转性质知BCE=ACG
13、=，在RtCEG和RtCBA中， =cos45= 、 =cos45= ， = ，ACGBCE， ，线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE（3） 【解析】【解答】（1）由知四边形CEGF是正方形，CEG=B=90，ECG=45， ，GEAB， ，故答案为： ；（ 3 ）CEF=45，点B、E、F三点共线，BEC=135，ACGBCE，AGC=BEC=135，AGH=CAH=45，CHA=AHG，AHGCHA， ，设BC=CD=AD=a，则AC= a，则由 得 ，AH= a，则DH=ADAH= a，CH= = a，由 得 ，解得：a=3 ，即BC=3 ，故答案为：3 【分析】（1）根据正方形的
14、性质得出BCD=90，BCA=45，根据垂直的定义及等量代换得出CEG=CFG=ECF=90，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出CGE=ECG=45，根据等角对等边得出EG=EC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形；根据正方形的性质得出GECD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GEAB，根据平行线分线段成比例定理得出GCECAGBE，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GCEC=，从而得出答案；（2）连接CG，由旋转性质知BCE=ACG=，根据余弦函数的定义得出,从而判断出ACGBCE，根据相似三角形对应边的比等于
15、相似比即可得出结论线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE ；（ 3 ）根据CEF=45，点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出BEC=135，根据ACGBCE，得出AGC=BEC=135，故AGH=CAH=45，然后判断出AHGCHA，根据相似三角形对应边成比例得出AGACGHAHAHCH，设BC=CD=AD=a，则AC= a，根据比例式得出关于AH的方程，求解AH的值，根据DH=ADAH表示出DH，根据勾股定理表示出CH，根据前面的比例式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出BC的值。5如图，第一象限内半径为2的C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作C的切线l交x轴于点B，P为直线
16、l上一动点，已知直线PA的解析式为：ykx+3. （1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式. （2）设C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有AMNABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明； （3）是否存在使AMN的面积等于 的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：y轴和直线l都是C的切线，OAAD，BDAD；又OAOB， AOBOADADB90，四边形OADB是矩形；C的半径为2，ADOB4；点P在直线l上，点P的坐标为（4，p）；又点P也在直线AP上，p4k+3（2）解：连接
17、DN.AD是C的直径，AND90， ADN90DAN，ABD90DAN，ADNABD，又ADNAMN，ABDAMN，MANBAP，AMNABP（3）解：存在.理由：把x0代入ykx+3得：y3，即OABD3，AB ， SABD ABDN ADDBDN ，AN2AD2DN2 ，AMNABP， ，即 当点P在B点上方时，AP2AD2+PD2AD2+（PBBD）242+（4k+33）216（k2+1），或AP2AD2+PD2AD2+（BDPB）242+（34k3）216（k2+1），SABP PBAD （4k+3）42（4k+3）， ，整理得：k24k20，解得k12+ ，k22 当点P在B点下方时
18、，AP2AD2+PD242+（34k3）216（k2+1），SABP PBAD （4k+3）42（4k+3） 化简得：k2+1（4k+3），解得：k2，综合以上所得，当k2 或k2时，AMN的面积等于 【解析】【分析】（1）由切线的性质知AOBOADADB90，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据O的半径是2求得直径AD4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程ykx3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.直径所对的圆周角是直角，AND90，根据图示易证ANDABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知ADNAMN，再由等量代换可知ABDAMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明AMNABP
19、；（3）存在.把x0代入ykx3得y3，即OABD3，然后由勾股定理求得AB5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k24k20，解关于k的一元二次方程；当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k21（4k3），解关于k的一元二次方程.6操作： 和 都是等边三角形， 绕着 点按顺时针方向旋转， 是 、 的中点，有以下三种图形. 探究：（1）在上述三个图形中， 是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值； （2） 的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论； （3） 与 有怎样的位置关系，请你
20、结合图（2）或图（3）证明你的结论. 【答案】 （1）解： 是等边三角形，由图（1）得AOBC， ， ；（2）证明： ， ， （3）证明：在图（3）中，由（2）得 ，2+4=1+3，即AEF =AOBAOB=90， .【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AOBC，BO= BC= AB，根据勾股定理计算即可求得AO= BO，即AOBO是一个固定的值 1；（2）由等边三角形的性质可得AOBC， ，由同角的余角相等可得 ，由（1）可得 ，可得 ，根据相似三角形的性质可得 ；（3）在图（3）中，由（2）得 ，根据相似三角形的性质可得1=2，根据对顶角相等得3=4，则2+4=1+3=AOB=90
21、，即 .7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）； （2）联结AC、BC，若ABC的面积为6，求此抛物线的表达式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当CGF为直角三角形时，求点Q的坐标 【答案】 （1）解：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（1，0）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=a
22、x22ax3a，当x=0时，y=3a，C（0，3a）（2）解：A（1，0），B（3，0），C（0，3a），AB=4，OC=3a，SACB= ABOC=6，6a=6，解得a=1，抛物线解析式为y=x22x3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）过点G作GHx轴，垂足为点H，如图，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，OF=2m+1，HF=1，当CGF=90时，QGH+FGH=90，QGH+GQH=90，GQH=HGF，RtQGHRtGFH， = ，即 ，解得m=9，Q的坐标为（9，0）；当CFG=90时，GFH+CFO=90，GFH
23、+FGH=90，CFO=FGH，RtGFHRtFCO， = ，即 = ，解得m=4，Q的坐标为（4，0）；GCF=90不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标； （2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=ABOC=6可求得a的值，则解析式可求解； （3）设点Q的坐标为（m，0）过点G作GHx轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m
24、+1，QO=QH=m，OC=GH=3。分两种情况讨论：当CGF=90时，由同角的余角相等可得GQH=HGF，于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得RtQGHRtGFH，则可得比例式 ， 代入可求得m的值，则点Q的坐标可求解； 当CFG=90时，同理可得另一个Q坐标。8在 中， 为 边上一点，过点 作 交 于点 ，以 为折线，将 翻折，设所得的 与梯形 重叠部分的面积为 （1）如图（甲），若 ， ， ， ，则 的值为_ （2）如图（乙），若 ， ， 为 中点，则 的值为_ （3）若 ， ， ，设 求 与 的函数解析式 是否有最大值，若有，求出 的最大值；若没有，请说明理由【答案】（1）（2）1
25、2（3）解：如图a，作 于点 ，在 中， ， ， ， ， ，当 落在 上时， 为 的中点：即 故分以下两种情况讨论：当 时，如图b， ， ， ， ，即 ，当 时， 当 时，如图c，设 ， 分别交 于 ， ，由折叠可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，由同理得 ，又 ， ， ， ，且当 时满足 ， 。 当 时， 值最大，最大值为 【解析】【解答】解：（ ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， （ ） ， ， 边上的高为 ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， 【分析】（1）ADE与梯形DBCE重叠部分的面积y就是ADE的面积。用勾股定理求得另一直角边AC=8，由折叠的性质可得ADEDE，因
26、为DEBC，由相似三角形的判定可得ADEABC， 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得ADE的面积=ABC的面积，则DE的面积即可求解；（2） 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解；（3）作AHBC于点H，在RtABH中，解直角三角形ABH可求得AH的长，ABC的面积可求解，当A落在BC上时，D为AB的中点，即x=5故分以下两种情况讨论：当0x5时，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得ADEABC， 由 相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解；当5x10时，设DA，EA分别交BC于M，N，由折叠可知，ADEADE，MANDAE， 由相似三角形的性质即可求解。
