1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在锐角ABC中，AC是最短边以AC为直径的O，交BC于D，过O作OEBC，交OD于E，连接AD、AE、CE（1）求证：ACE=DCE；（2）若B=45，BAE=15，求EAO的度数；（3）若AC=4，求CF的长【答案】（1）证明见解析，（2）60；（3） 【解析】【分析】（1）易证OEC=OCE，OEC=ECD，从而可知OCE=ECD，即ACE=DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证AGC=B+BAG=60，由于OEBC，所以AEO=AGC=60，所以EAO=AEO=60；（3）易证，由于，所以=，由圆周角定理可知AEC=FDC=90，
2、从而可证明CDFCEA，利用三角形相似的性质即可求出答案【详解】（1）OC=OE，OEC=OCEOEBC，OEC=ECD，OCE=ECD，即ACE=DCE；（2）延长AE交BC于点GAGC是ABG的外角，AGC=B+BAG=60OEBC，AEO=AGC=60OA=OE，EAO=AEO=60（3）O是AC中点，=AC是直径，AEC=FDC=90ACE=FCD，CDFCEA，=，CF=CA=【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识2如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点
3、B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是O的切线；（3）若FG=BF，且O的半径长为3，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得BFCDGC且FECGAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到FAO=EBO，结合BE是圆的切线，得到PAOA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FHAD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的
4、相似性质即可以求出BD的长度详解：证明：(1)BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，EBBC.又ADBC，ADBE.BFCDGC，FECGAC，=，=，=，G是AD的中点，DG=AG，BF=EF；(2)连接AO，AB.BC是圆O的直径，BAC=90，由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点，AF=FB=EF，可得FBA=FAB，又OA=OB，ABO=BAO，BE是圆O的切线，EBO=90，FBA+ABO=90，FAB+BAO=90，即FAO=90，PAOA，PA是圆O的切线；（3）过点F作FHAD于点H，BDAD，FHAD，FHBC，由(2)，知FBA=BAF，BF=AF.BF=FG，AF
5、=FG，AFG是等腰三角形.FHAD，AH=GH，DG=AG，DG=2HG.即，FHBD，BFAD，FBD=90，四边形BDHF是矩形，BD=FH，FHBCHFGDCG，即，O的半径长为3，BC=6，BD=2.点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.3如图，ABC内接于O，AB是直径，O的切线PC交BA的延长线于点P，OFBC交AC于点E，交PC于点F，连结AF(1)判断AF与O的位置关系并说明理由；(2)若AC24，AF15，求sinB【答案】(1) AF与O相切 理由见解析；（2）【解析】试题
6、分析：（1）连接OC，先证OCF=90，再证明OAFOCF，得出OAF=OCF=90即可；（2）先求出AE、EF，再证明OAEAFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论试题解析：解：（1）AF与O相切理由如下：连接OC如图所示PC是O的切线，OCPC，OCF=90OFBC，B=AOF，OCB=COFOB=OC，B=OCB，AOF=COF在OAF和OCF中，OA=OC，AOF=COF，OF=OF，OAFOCF（SAS），OAF=OCF=90，AF与O相切；（2）OAFOCF，OAE=COE，OEAC，AE=AC=12，EF=OAF=90，OAEAFE，即，OA=2
7、0，AB=40，sinB=点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键4如图，ABC内接于O，且AB为O的直径ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F（1）求证：DPAB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长【答案】详见解析【解析】【分析】（1）连接OD，由AB为O的直径，根据圆周角定理得ACB=90，再由ACD=BCD=45，则DAB=ABD=45，所以DAB为等腰直角三角形，所以DOAB，根据切线的性质得ODPD，于是可得到DPA
8、B（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于DAB为等腰直角三角形，可得到；由ACE为等腰直角三角形，得到，在RtAED中利用勾股定理计算出DE=，则CD=，易证得PDAPCD，得到，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，AB为O的直径，ACB=90ACB的平分线交O于点D，ACD=BCD=45DAB=ABD=45DAB为等腰直角三角形DOABPD为O的切线，ODPDDPAB（2）在RtACB中，DAB为等腰直角三角形，AECD，ACE为等腰直角三角形在RtAED中，ABPD，PDA=DAB=45PAD=PCD又DPA=CPD，
9、PDAPCDPA=PD，PC=PD又PC=PA+AC，PD+6=PD，解得PD=5问题发现(1)如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) 的最小值为.(3) 【解析】试题分析：（1）根据两种
10、不同方法求面积公式求解；（2）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，求的长即可;(3) 连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为，由求得GM的值，再由 求解即可.试题解析：（）从到距离最小即为过作的垂线，垂足为，（）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，且与交于，则的最小值为的长，设与交于，则，且，即的最小值为（）连接，则， ，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为， ，【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题6如图1，已知O是ADB
11、的外接圆，ADB的平分线DC交AB于点M，交O于点C，连接AC，BC（1）求证：AC=BC；（2）如图2，在图1 的基础上做O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作O的切线AH，若AH/BC，求ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若ABD的面积为，ABD与ABC的面积比为2：9，求CD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3） 【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接AO并延长交BC于I交O于J,由AH是O的切线且AHBC得AIBC，易证IAC=30，故可得ABC=60=F=ACB，由CF是直径可得ACF的度数；（3）过点D作DGAB ，
12、连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtAEO中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：（1）DC平分ADB，ADC=BDC， AC=BC（2）如图，连接AO并延长交BC于I交O于JAH是O的切线且AHBC，AIBC，BI=IC，AC=BC，IC=AC，IAC=30，ABC=60=F=ACBFC是直径，FAC=90，ACF=180-90-60=30（3）过点D作，连接AO由（1）（2）知ABC为等边三角形ACF=30，AE=BE，AB=，在RtAEO中，设EO=x，则AO=2x，x=6，O的半径为6，CF=12，DG=2如图，过点D作,连接
13、OD,，CF/DG，四边形GDGE为矩形，在Rt中，点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.7如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BDBC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EFBD.(1)求证：EFBC；(2)若EH4，HF2，求的长.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）根据EFBD可得，进而得到，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接D
14、F，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出BHG，进而求出BDE的度数，确定所对的圆心角的度数，根据DFH90确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)EFBD， DDEF又BDBC，DC，DEF=CEFBC(2)AB是直径，BC为切线，ABBC又EFBC，ABEF，弧BF=弧BE,GFGE(HF+EH)=3，HG=1DB平分EDF，又BFCD，FBDFDBBDEBFHHBHF2cosBHG，BHG60.FDBBDE30DFH90，DE为直径，DE4，且弧BE所对圆心角60.弧BE4【点
15、睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.8如图，点B在数轴上对应的数是2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tanAOB，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4（1）S扇形AOB （大于半圆的扇形）；（2）点P是优弧AB上任意一点，则PDB的最大值为 （3）在（2）的条件下，当PDB最大，且AOP180时，固定OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将OPD顺时针旋转（0360）连接CP，AD在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；当PDAO时，求AD
16、2的值；直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围【答案】（1）（2）30（3）AD2PC20+8或20+81d3【解析】【分析】（1）利用扇形的面积公式计算即可（2）如图1中，当PD与O相切时，PDB的值最大解直角三角形即可解决问题（3）结论：AD2PC如图2中，连接AB，AC证明COPAOD，即可解决问题分两种情形：如图3中，当PDOA时，设OD交O于K，连接PK交OC于H求出PC即可如图中，当PAOA时，作PKOB于K，同法可得判断出PC的取值范围即可解决问题【详解】（1）tanAOB，AOB60，S扇形AOB （大于半圆的扇形），（2）如图1中，当PD与O相切时，PDB
17、的值最大PD是O的切线，OPPD，OPD90， PDB30，同法当DP与O相切时，BDP30，PDB的最大值为30故答案为30（3）结论：AD2PC理由：如图2中，连接AB，ACOAOB，AOB60，AOB是等边三角形，BCOC，ACOB，AOCDOP60，COPAOD，COPAOD，AD2PC如图3中，当PDOA时，设OD交O于K，连接PK交OC于HOPOK，POK60，OPK是等边三角形，PDOA，AOPOPD90，POH+AOC90，AOC60，POH30，PHOP1，OHPH，PC，AD2PC，AD24（5+2）20+8如图中，当PAOA时，作PKOB于K，同法可得：PC212+（1）
18、252，AD24PC2208由题意1PC3，在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1d3【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题9如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于C点，AC平分DAB（1）求证：ADCD；（2）若AD2，AC=，求O的半径R的长【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接OC，由题意得OCCD又因为AC平分DAB，则1=2=DAB即可得出ADOC，则ADCD；（2）连接BC，则ACB=90，可证明ADCACB则，从而求得R
19、试题解析：（1）证明：连接OC，直线CD与O相切于C点，AB是O的直径，OCCD又AC平分DAB，1=2=DAB又COB=21=DAB， ADOC，ADCD （2）连接BC，则ACB=90，在ADC和ACB中1=2，3=ACB=90，ADCACB R=10如图，AB为O的直径，DA、DC分别切O于点A，C，且AB=AD（1）求tanAOD的值（2）AC，OD交于点E，连结BE求AEB的度数；连结BD交O于点H，若BC=1，求CH的长【答案】（1）2；（2）AEB135；【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得BAD=90，由题意可得AD=2AO，即可求tanAOD的值；（2）根据切线长定理可得
20、AD=CD，OD平分ADC，根据等腰三角形的性质可得DOAC，AE=CE，根据圆周角定理可求ACB=90，即可证ABC=CAD，根据“AAS”可证ABCDAE，可得AE=BC=EC，可求BEC=45，即可求AEB的度数；由BC=1，可求AE=EC=1，BE，根据等腰直角三角形的性质可求ABE=HBC，可证ABEHBC，可求CH的长【详解】（1）DA是O切线，BAD=90AB=AD，AB=2AO，AD=2AO，tanAOD2；（2）DA、DC分别切O于点A，C，AD=CD，OD平分ADC，DOAC，AE=CEAB是直径，ACB=90，BAC+ABC=90，且BAC+CAD=90，ABC=CAD，且AB=AD，ACB=AED=90，ABCDAE（AAS），CB=AE，CE=CB，且ACB=90，BEC=45=EBC，AEB=135如图，BC=1，且BC=AE=CE，AE=EC=BC=1，BEAD=AB，BAD=90，ABD=45，且EBC=45，ABE=HBC，且BAC=CHB，ABEHBC，即，CH【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键
