1、学习-好资料第10讲 圆锥曲线历年高考分析：回顾20092013年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A级要求相符合预测在2014年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解题型分类： (1)圆锥曲线的几何性质，如a，b，c，p的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简
2、单的直线与椭圆位置关系问题； (3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高例1：若椭圆1的离心率e，则m的值是_解析：当m5时，解得m；当m0)，则x22x3，解得x1，所求距离为1.例3：双曲线2x2y260上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_解析：双曲线方程化为1.设P到另一焦点的距离为d，则由|4d|2得d42，或d42(舍去)例4：(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析：由题意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.例5：已知椭圆的离心率，
3、连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆的方程为 例6：在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，其中也是抛物线的焦点，点为和在第一象限的交点，且,则的方程为 例7：(2011重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为_例8：(2013南京二模)在平面直角坐标系中，已知双曲线C：设过点M(0,1)的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则直线的斜率为_例9：已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)
4、求PAB的面积解：(1) 由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2) 设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得e，则该椭圆离心率e的取值范围是_解析：(1)2 (2)e，PF1ePF2e(2aPF1)，PF1.又acPF1ac，acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0e0)，则有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin，当2k
5、，kZ，即2k，kZ，2cos 1，sin 时，FAB的周长最大，此时FAB的面积等于(11)33.法二：椭圆右焦点为F(1,0)由椭圆定义|AF|AF|BF|BF|2a.则FAB的周长l|AF|BF|AB|4a(|FA|FB|)|AB|4a|FA|FB|AB|4a.所以FAB周长最大时，直线xm经过F(1,0)，这时|AB|3，此时SFAB233.(2)由题意可设：|PF1|4m，|F1F2|3m，|PF2|2m，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a|PF1|PF2|4m2m6m，焦距为2c|F1F2|3m，离心率e；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a|PF1|PF2|4m2m2m，焦距为2c|
6、F1F2|3m，离心率e.答案(1)3(2)或解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a，b，c之间关系的区别演练2：(1)已知双曲线1的一个焦点坐标为(，0)，则其渐近线方程为_；(2)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析：(1)由a23，可得a1，双曲线方程为x21，其渐近线方程为x0，即yx.(2)由y24x可知l2：x1是抛物线的准线，所以P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为点F(1,0)到直线l1：4x3
7、y60的距离d2.答案：(1)yx(2)2典例3：(2012北京高考)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得 (12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以MN .又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为SMNd.由，化简得7k42k250，解得k1.本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质
8、及直线与椭圆的位置关系解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题演练3：已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且AB9.求该抛物线的方程解：直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得ABx1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.典例4：已知点P(4,4)，圆C：(xm)2y25(mb0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切(1) 求m的值与椭圆E的方程；(2) 设Q为椭圆E上的一
9、个动点，求的取值范围解：(1) 点A坐标代入圆C方程，得(3m)215. m3， m1.圆C：(x1)2y25.设直线PF1的斜率为k，则PF1：yk(x4)4，即kxy4k40. 直线PF1与圆C相切， .解得k或k. 当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4， c4，F1(4,0)，F2(4,0). 2aAF1AF256，a3，a218，b22.椭圆E的方程为：1.(2) (1,3)，设Q(x，y)，(x3，y1)，(x3)3(y1)x3y6. 1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|3y|， 3xy3.则(x3y)2x2(3
10、y)26xy186xy的取值范围是0,36. x3y的取值范围是6,6 x3y6的取值范围是12,0. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)典例5：(2012南师大信息卷)已知双曲线x21，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)(1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AMMN，求AMB的余弦值；设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程解(1)双曲线焦点为(2,0)，设椭圆方程为1(ab0)则解得a216，b21
11、2.故椭圆方程为1.(2)由已知，A(4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x8.设N(8，t)(t0)AMMN，M.由点M在椭圆上，得t6.故点M的坐标为M(2,3)所以(6，3)，(2，3)，1293.cos AMB.设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，F，N三点坐标代入，得得圆的方程为x2y22xy80，令x0，得y2y80.设P(0，y1)，Q(0，y2)，由线段PQ的中点为(0,9)，得y1y2t18.此时，所求圆的方程为x2y22x18y80.本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程演练5：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a
12、b0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T求证：点T在椭圆C上解：(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b.因为离心率e，所以 ，解得a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2. 设T点的坐标为(x，y)联立解得x0，y0.因为1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T的坐标满足椭圆
13、C的方程，即点T在椭圆C上典例6：已知抛物线D的顶点是椭圆C：1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点若直线l的斜率为1，求MN的长；是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解(1)由题意，可设抛物线方程为y22px(p0)由a2b216151，得c1.抛物线的焦点为(1,0)，p2.抛物线D的方程为y24x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)直线l的方程为：yx4，联立整理得x212x160，则x1x212，x1x216，所以MN 4.设存在直线
14、m：xa满足题意，则圆心E，过E作直线xa的垂线，垂足为H，设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2EG2EH2，即GH2EA2EH22ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.当a3时，GH23，此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2.因此存在直线m：x3满足题意 以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在演练6：已知椭圆C的离心率e，一条准线方程为x4，P为准线上一动点，直线PF1、PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径
15、的圆O交于点M、N.(1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，4，解得c2，a2，则b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1.(2)由(1)易知F1F24，所以圆O的方程为x2y24.设P(4，t)，则直线PF1方程为y(x2)，由得(t236)x24t2x4(t236)0，解得x12，x2，所以M，同理可得N.若MNx轴，则，解得t212，此时点M，N的横坐标都为1，故直线MN过定点(1,0)；若MN与x轴不垂直，即t212，此时kMN，所以直线MN的方程为y，即y(x1)，所以直线MN过定点(1,0)综上，直
16、线MN过定点(1,0)专题技法归纳：(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2ny21(mn0)，这样可以避免对参数的讨论(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值(3)在双曲线中由于e21，故双曲线的渐近线与离心率密切相关课后练习(十)1已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_解析：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则解得1m；若方程表示双曲线，则(m1)(2m)0，解得m2.答案：(，1)(2，)2点P为
17、椭圆1(ab0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果PF1F275，PF2F115，则椭圆的离心率为_解析：由题意得F1PF290，PF12c cos 75，PF22c sin 75，所以2c(sin 75cos 75)2a，e.3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_解析：直线AB的方程为yx，即xy，代入y22px得，y22pyp20.则yAyB2p4，p2，准线方程为x1.4(2011天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程
18、为_解析：由题设可得双曲线方程满足3x2y2(0)，即1.于是c2.又抛物线y224x的准线方程为x6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则c236，于是27.所以双曲线的方程1.5已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_解析：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，B点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c0)为右焦点，则由2，得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标xD，由2 知，c2，得3c2a2，e.6(2011江西高考)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过
19、椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_ _解析：由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25，故得所求椭圆方程为1.7已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_ _解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是1.8已知双曲线C:的右顶点
20、、右焦点分别为A、F,它的左准线与轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 .9设P点在圆x2(y2)21上移动，点Q在椭圆y21上移动，则PQ的最大值是_解析：圆心C(0,2)，PQPCCQ1CQ，于是只要求CQ的最大值设Q(x，y)，CQ ，1y1，当y时，CQmax ，PQmax1.10(2012辽宁高考)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|
21、PF1|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.11(2011四川高考)过点C(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(a,0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值解：(1)由已知得b1，解得a2，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x28x0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为
22、.故|CD|.(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1.自制性手工艺品。自制饰品其实很简单，工艺一点也不复杂。近两年来，由于手机的普及，自制的手机挂坠特别受欢迎。代入椭圆方程化简得(4k21)x28kx0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.又直线AC的方程为y1，直线BD的方程为y(x2)，联立解得因此Q点坐标为(4k,2k1)随着社会经济、文化的飞跃发展，人们正从温饱型步入小康型，崇尚人性和时尚，不断塑造个性和魅力的现代文化价值观念，已成为人们的追求目标。因此，顺应时代的饰品文化显示出强大的发展势头和越来越广的市场，从事饰品销售是有着
23、广阔的市场空间。又P点坐标为，所以(4k,2k1)4.（三）DIY手工艺品的“自助化”故为定值12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，一条准线l：x2.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比，就有价值意义，虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾，为何会如此深得人心，更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力，不仅实用还有很大的装饰功用哦。
24、若PQ，求圆D的方程；若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程解：(1)由题设：，b2a2c21，椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知：F(1,0)，设M(2，t)，300元以下918%则圆D的方程：(x1)221，直线PQ的方程：2xty20，标题：上海发出通知为大学生就业鼓励自主创业，灵活就业 2004年3月17日PQ，2 ，t24，t2.400-500元1326%圆D的方程：(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.年轻有活力是我们最大的本钱。我们这个自己动手做的小店，就应该与时尚打交道，要有独特的新颖性，这正是我们年轻女孩的优势。证明：法一：设P(x0，y0)，由知即消去t得xy2点P在定圆x2y22上法二：设P(x0，y0)，则直线FP的斜率为kFP.6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？FPOM，直线OM的斜率为kOM，（二）创业优势分析直线OM的方程为yx，点M的坐标为M.MPOP，0，x0(x02)y00xy2，点P在定圆x2y22上更多精品文档
