1、 立体几何测试 (高考题汇编)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （2013（理）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A若,则B若,则 C若,则D若,则【答案】D .（2013年高考大纲卷（文）已知正四棱锥的正弦值等于（）ABCD【答案】A （2013（理）在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,恒有,则（）A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 【答案】A （2013春季高考）若两个球的表面积之比为,则这两个
2、球的体积之比为（）ABCD【答案】C （2013（理）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 正视图俯视图侧视图第5题图（）ABCD【答案】B （2013数（理）已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为（）ABCD【答案】B （2013年高考卷（文）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C （2013新课标（理）已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则（）A,且B,且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于【答案】D （2013（理）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）A
3、BCD 【答案】C （2013（理）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么（）A8B9C10D11【答案】A （2013新课标（理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A （2013（理）在下列命题中,不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上所有的点都在此平面D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一
4、条过该点的公共直线【答案】A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上（2013（文）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_.1俯视图侧（左）视图正（主）视图 2 1 1 2 【答案】3（2013（理）在平面上,将两个半圆弧和、两条直线 和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_【答案】. （2013（理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_.【答案】 （2013（文科）已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上
5、两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则_.【答案】 三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（2013（文）如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则 在 在,故 由 (2) , 同理, 因此.设点B1到平面的距离为d,则 ,从而 （2013（理）如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.【答案】 （20
6、13（理）如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.ABCDPQM（第20题图）【答案】解:证明()方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; （2013春季高考）如图,在正三棱锥中,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.B1A
7、1C1ACB【答案】解因为 . 所以为异面直线与.所成的角,即=. 在Rt中, 从而, 因此该三棱柱的体积为. （2013（理）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,故 所以,即直线BC1到平面D1AC的距离为. （2013
8、（理）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.COBDEACDOBE图1图2【答案】() 在图1中,易得 CDOBEH 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. () 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由() 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为.
