1、高考数学 构造函数模型解决数列综合题与应用题高考要求:纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.重难点归纳:1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(
2、比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关:(1)事理关:需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关:在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.典型题例示范讲解:例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后
3、每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加:(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型.知识依托:本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析:(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和
4、，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解:(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1)万元，第n年投入为800(1)n1万元，所以，n年内的总投入为:an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1+)，第n年旅游业收入400(1+)n1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+)+400(1+)k1=400()k1=1
5、600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得:5x27x+20.解此不等式，得x，或x1(舍去). 即()n，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.例2已知Sn=1+,(nN*)，设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立.命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.
6、错解分析:本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法:解决本题的关键是把f(n)(nN*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为.函数f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2解:Sn=1+ (nN*)f(n+1)f(n)f(n)是关于n的增函数f(n).min=f(2)=要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此时设logm(m1)2=t:则t0于是解得0t1.由此得0logm(m1)21.解得m且m2.例3已知二次函数y=f(x)在x=
7、处取得最小值.(t0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1g(x)为多项式，nN*),试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.解:(1)设f(x)=a(x)2，由f(1)=0得a=1.f(x)=x2(t+2)x+t+1.(2)将f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得:(x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的xR都成立，取x=1和x=t+1
8、分别代入上式得:且t0，解得an=(t+1)n+11，bn=1(t+1n)(3)由于圆的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=an+1an=(t+1)n+1设rn的公比为q，则得q=t+1，代入得rn=Sn=(r12+r22+rn2)=(t+1)2n1.学生巩固练习:1.已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则.(d1+d2+dn)的值是( )A 1.B 2C 3D 42.在直角坐标系中，O
9、是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则OP1P2的面积是_3.从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_升.4.据2000年3月5日九届人大五次会议政府工作报告:“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十五”期间(2001年2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为_亿元.5.已知数列an满足条件:a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为q(
10、q0)的等比数列，设bn=a2n1+a2n(n=1,2,). (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的q的取值范围；(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；(3)设r=219.21，q=，求数列的最大项和最小项的值.6.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1kn)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b
11、表示ak(不必证明)；(2)证明akak+1(k=1,2,n1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b). 7.据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问:(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至2001年可节约多少平方公
12、里土地？8.已知点的序列An(xn，0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.(1)写出xn与xn1、xn2之间关系式(n3);(2)设an=xn+1xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明；(3)求xn.参考答案:1.解析:当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)x+1,由x1x2=，得dn=，d1+d2+dn答案:A2.解析:由1,x1,x2,4依次成等差数列得:2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y
13、2=8,解得y1=2,y2=4,P1(2,2),P2(3,4).=(3,4).答案:13.解析:第一次容器中有纯酒精ab即a(1)升，第二次有纯酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有纯酒精a(1)n升.答案:a(1)n4.解析:从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，a5=95933(1+7.3%)4120000(亿元). 答案:1200005.解:(1)由题意得rqn1+rqnrqn+1.由题设r0,q0,故从上式可得:q2q10，解得q,因q0,故0q;(2).b1=1+r0，所以bn是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=(1
14、+r)qn-1.当q=1时，Sn=n(1+r),.,从上式可知，当n20.20，即n21(nN*)时，Cn随n的增大而减小，故1CnC21=1+=2.25当n20.20，即n20(nN*)时，Cn也随n的增大而减小，故1CnC20=1+=4综合两式知，对任意的自然数n有C20CnC21,故Cn的最大项C21=2.25，最小项C20=4.6.解:(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1)b，第3位职工的奖金a3=(1)2b，第k位职工的奖金ak=.(1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设fk(b)表示奖金发
15、给第k位职工后所剩余数，则f1(b)=(1)b,f2(b)=(1)2b,fk(b)=(1)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1)nb,故.7.解:设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列an是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.883225(万吨)(2)S6=99.299299.3(万吨)从1996年到2000年共节约开采矿石2099.31986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾499.3=397.2(万吨)，从1996年到2001年共节约:3.平方公里.8.解:(1)当n3时，xn=;由此推测an=()n-1a(nN)证法一:因为a1=a0,且.(n2)所以an=()n-1a.证法二:用数学归纳法证明:()当n=1时，a1=x2x1=a=()0a,公式成立；()假设当n=k时，公式成立，即ak=()k1a成立.那么当n=k+1时，ak+1=xk+2xk+1=据()()可知，对任意nN，公式an=()n-1a成立.(3)当n3时，有xn=(xnxn1)+(xn1xn2)+(x2x1)+x1=an1+an2+a1,由(2)知an是公比为的等比数列，所以
