1、高考理科数学数列题型归纳与训练【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算例1 设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn2Sn=36，则n=A5 B6C7 D8【答案】D【解析】解法一：由题知，Sn2=(n2)2，由Sn2Sn=36得，(n2)2n2=4n4=36，所以n=8.解法二：Sn2Sn=an1an2=2a1(2n1)d=22(2n1)=36，解得n=8.所以选D【易错点】对Sn2Sn=36，解析为an2，发生错误。题组二 等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列an中，若，则a6的值是_【答案】4【解析】设公比为q(q0)，a2
2、=1，则由得，即，解得q2=2，.【易错点】忘了条件中的正数的等比数列.【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明例1设数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意nN*，Sn是a和an的等差中项(1)证明：数列an为等差数列；(2)若b
3、n=n5，求anbn的最大项的值并求出取最大值时n的值【答案】(1)见解析；(2) 当n=2或n=3时，anbn的最大项的值为6.【解析】(1)由已知可得2Sn=aan，且an0，当n=1时，2a1=aa1，解得a1=1；当n2时，有2Sn1=aan1，所以2an=2Sn2Sn1=aaanan1，所以aa=anan1，即(anan1)(anan1)=anan1，因为anan10， 所以anan1=1(n2)故数列an是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)可知an=n，设cn=anbn，则cn=n(n5)=n25n=2，因为nN*，所以当n=2或n=3时，anbn的最大项的值为6.【易错点
4、】Sn是a和an的等差中项，无法构建一个等式去求解出an。【思维点拨】等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法题组二 等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn1=4an2.(1)设bn=an12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【答案】(1)见解析；(2) an=(3n1)2n2.【解
5、析】(1)由a1=1及Sn1=4an2，得a1a2=S2=4a12.a2=5，b1=a22a1=3.又，得an1=4an4an1，an12an=2(an2an1)bn=an12an，bn=2bn1，故bn是首项b1=3，公比为2的等比数列.(2)由(1)知bn=an12an=32n1，=，故是首项为，公差为的等差数列=(n1)=，故an=(3n1)2n2.【易错点】对于bn=an12an，在条件中无法构造出来，等比数列的判定与证明常用的方法不清楚.【思维点拨】等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列（2）等比中项法：数列是等比数列（3）通项公式法：数列是等比数列（4
6、）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用例1若an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170成立的最大正整数n是A2 016 B2 017C4 032 D4 033【答案】C【解析】因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0170成立的最大正整
7、数n是4 032.【易错点】等差数列的求和与等差数列的某一项有关系。题组二 等比数列性质的应用例2已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a3=4，a4a5a6=8，则S12=A40B60C32 D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S12=481632=60，选B【易错点】，等式不会转化.【思维点拨】等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点：（1）
8、熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.（2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列an的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mn=pq，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提
9、条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.等差数列与等比数列的综合例1 已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0【答案】B【解析】由a=a3a8，得(a12d)(a17d)=(a13d)2，整理得d(5d3a1)=0，又d0，a1=d，则a1d=d20，又S4=4a16d=d，dS4=d20， 由，分别加上1，1，3后成等比数列，得，解得d=2，.，即bn=.(2)由(1)得anbn=.Tn=+，Tn=+，得Tn=+2+.Tn=.【易错点】注意错位相减的运算步骤.【思维
10、点拨】错位相减法适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把Sn=a1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn=a1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.裂项相消法求和例1 已知数列的前项和，则数列的前6项和为ABCD【答案】A【解析】数列的前项和，时，两式作差得到，当时，也适合上式，所以，所以，裂项求和得到，故答案为A.【易错点】需要检验n=1时通项公式.【思维点拨】本题考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法.数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求的表达式，一般是写出后两式作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.数列求和的常用方法有
11、：错位相减、裂项求和、分组求和等.例2 已知等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn=3n1a(nN*)(1)求a的值及数列an的通项公式；(2)若bn=(1an)log3(aan1)，求数列的前n项和Tn.【答案】(1) a=3，an=3n1(nN*)；(2) Tn=.【解析】(1)6Sn=3n1a(nN*)，当n=1时，6S1=6a1=9a，当n2时，6an=6(SnSn1)=23n，即an=3n1，an是等比数列，a1=1，则9a=6，得a=3，数列an的通项公式为an=3n1(nN*)(2)由(1)得bn=(1an)log3(aan1)=(3n2)(3n1)，Tn=(1)=.【易错点】裂
12、项相消法注意分子.【思维点拨】裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列 拆项分组法求和例1 已知函数，且，则ABCD【答案】A【解析】由题意可得，所以，所以【易错点】奇数项与偶数项分别求和，每个和都是等差数列的和，从而易于求解【思维点拨】数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、并项求和法、倒序相加法等，当遇到数列的通项为的形式时，可以用并项求和法或者用分组求和法，由于本题中，因此我们把奇数项与偶数项分别求和，每个和都是等差数列的和，从而易于求解例2 已知等差数列an中，
13、a2=5，前4项和S4=28.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=(1)nan，求数列bn的前2n项和T2n.【答案】(1) an= 4n3；(2) T2n=4n.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，则由已知条件得an=a1(n1)d=4n3.(2)由(1)可得bn=(1)nan=(1)n(4n3)，T2n=1591317(8n3)=4n=4n.【易错点】注意拆项分组是为了合并.【思维点拨】拆项分组法把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和数列求通项例1设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1Sn1Sn，则Sn.【答案】【解析】法一：构
14、造法由已知得an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则1(n1)(1)n，所以Sn.法二：归纳推理法由a11，an1SnSn1可得a2S1S2a1(a1a2)，故a2，同理可得a3，a4，由此猜想当n2时，有an，所以当n2时，Sna1a2an1.又因为S11也适合上式，所以Sn.【易错点】(1)条件中既有an1，又有Sn，自然想到用公式an又因为结果求Sn，所以考虑用公式an1Sn1Sn换掉an1，进而得到关于Sn的递推公式，用构造新数列使问题获解(2)考虑到填空题的题型特点，由递推关系求出a2，a3，a4，进而发现规律，猜想通项公式
15、an，最后由an求出Sn，当然这需要冒一定风险【思维点拨】1一般地，对于既有an，又有Sn的数列题，应充分利用公式an有时将an转化为Sn，有时将Sn转化为an，要根据题中所给条件灵活变动特别注意的是，公式anSnSn1当且仅当n2时成立，所以在利用作差法求解数列的通项公式时，应注意对n1的检验2由递推公式求数列通项的常用方法(1)形如an1anf(n)，常用叠加法，即利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)求通项公式(2)形如an1anf(n)，常可采用叠乘法，即利用恒等式ana1求通项公式(3)形如an1band(其中b，d为常数，b0,1)的数列，常用构造法其基本思路是：
16、构造an1xb(anx)，则anx是公比为b的等比数列，利用它即可求出an.(4)形如an1(p，q，r是常数)的数列，将其变形为.若pr，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；若pr，则再采用(3)的办法求解数列的综合应用题组一 数列与不等式的交汇例1 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=9，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.【答案】(1) an=112n；(2)见解析.【解析】(1)由a1=9，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0，95d0，解得d.d为整数，d=2.故an的通项公
17、式为an=112n.(2)由(1)得，=()，Tn=()()()=()令bn=，由函数f(x)=的图象关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b6b70，bnb4=1.Tn(1)=.【易错点】数列的不等式注意最后的分析.题组二 数列与函数的交汇例2 设曲线y=2 018xn1(nN*)在点(1，2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令，则a1a2a2 017的值为A2 018B2 017C1 D1【答案】D【解析】因为y=2 018(n1)xn，所以切线方程是y2 018=2 018(n1)(x1)，所以xn=，所以a1a2a2 017=log2 018(x1x
18、2x2 017)=log2 018()=1.故选D.【易错点】数列结合了导数和对数的知识，综合性强.【思维点拨】数列与不等式的交汇多为不等式恒成立或证明和的范围的形式，在求解时要注意等价转化，即分离参数法与放缩法的技巧应用已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形【巩固训练】题型一 求等差数列和等比数列的基本量1已知等差数列的前项和为，且，.若，则A420 B340 C420 D340【答案】D【解析】根据等差数列的性质得到，故得到2在等比数列中，若，则ABCD【答案】A
19、【解析】设等比数列的公比为，则，.故选A.3已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是A是常数 B是常数 C是常数 D是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D题型二等差数列和等比数列的求和基本量求解1对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和_【答案】【解析】由，且，得，所以数列表示首项为，公差的等差数列，所以，所以， 则， 两式相减可得， 解得2等比数列中，已知对任意自然数n，则等于ABCD以上都不对【答案】C【解析】当时，当时，两式作差可得：，当时，综上可得，数列的通项公式为，故，则数列是首项为，公比为的等比数列，其前n项和为.本题选择C选项.
20、3已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则ABCD【答案】D【解析】，故，又， ，故选D4中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升， 升， 升，1斗为10升.则下列判断正确的是A依次成公比为2的等比数列，且B依次成公比为2的等比数列，且C依次成公比为的等比数列，
21、且D依次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.题型三数列求和1记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）；（2），最小值为【解析】（1）设的公差为，由题意得，由得所以的通项公式为（2）由（1）得，当时，取得最小值，最小值为2等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设数列的公比为，.或.（2）由（1）知，或，或（舍），.3等差数列的前项和为，则 【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，所以
22、题型四通项公式求解1已知数列an中，a13，且点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，则数列an的通项公式为_【答案】an4n1【解析】因为点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，所以4anan110.所以an14.因为a13，所以a1.故数列是首项为，公比为4的等比数列所以an4n1，故数列an的通项公式为an4n1.2数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，则an_.【答案】【解析】因为数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，所以log2an12log2an，即2.又a12，所以log2a1log221.故数列log2an是首项为1，公比为2的等比数列所以log2an2n1，即an.3数列an满足a12，a21，并且(n2)，则数列an的第100项为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为(n2)，所以数列是常数数列，设k，所以，所以1，所以50，所以a100.24
