1、高考圆锥曲线经典真题知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( )A. B. C. D. 3(2008年海南-宁夏卷)设双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双
2、曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为_.热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当2k2=0,即k=时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当
3、=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与
4、C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例2 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。解：由消去得，由题意，有：设M（），则由P（）、M（）、Q（）三点共线，可求得设，则在上为减函数。所以，且所以 所以或考点三：弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利
5、用韦达定理，设而不求简化运算.例3.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0.由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S=2(5+m),从而S2=4(1m)
6、(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号.故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8.考点4：圆锥曲线关于直线对称问题例4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为,(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围.【解析】(I)设椭圆的方程为由条件知,故椭圆的方程是(II)依题意,直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是,设点F(2,0)关于直线的对称点为,则因为在椭圆上,所以即故,则因为于是,当且仅当(*)上述方程存在正实根,即直线
7、存在.解(*)得即的取值范围是规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线方程与圆锥曲线C的方程联立,消去(也可消去)得一个关于变量的一元方程当时,若有,则与C相交;若,则与C相切;若,则与C相离. 当时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2. “设而不求”的方法若直线与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A()、B(),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,
8、有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3. 韦达定理与弦长公式斜率为的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(),B()则 ,然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题能力训练：一、选择题1.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )A.2B. C.D. 2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=01.解析：弦长|AB|=.答案：C2.解析：解方程组,得ax2kxb
9、=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入验证即可.答案：B3.斜率为2的直线过双曲线的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率的取值范围是 ( D )A. B. C. D. 4.过点A(4,0)的直线与抛物线交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是 ( C )A.锐角三角形B.钝角三角形C. 直角三角形D.形状不确定二、填空题5.已知两点M(1，)、N(4，)，给出下列曲线方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否
10、存在交点.答案：6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_.7.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_.6解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案：18或507.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2)
11、.即kAB=8.故所求直线方程为y=8x15.答案：8xy15=0三、解答题8.已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.9.知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).(1)求双曲线方程.(2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点
12、A1与A点关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l过点A，斜率为k,当0k1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.11. 已知过双曲线方程(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程;(2)是否存在直线,使为被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.8解：(1)设直线l的方程为：y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点
13、C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=p.线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而SNAB=当a有最大值时，S有最大值为p2.9.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求双曲线方程为=1.(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有，kl=l的方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=1642
14、80,所求直线l不存在.10.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=1,解得k=1.即渐近线为y=x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).a=b,所求双曲线C的方程为x2y2=2.(2)设直线l：y=k(x)(0k1,依题意B点在平行的直线l上，且l与l间的距离为.设直线l：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2.把l代入双曲线方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、两式相减得k=m,代入得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).11.解析(1)设,则则有.-得双曲线的一条渐近线方程为,而,与双曲线交于两点.为所求.(2)假设过N直线交双曲线于, 则有,.两式相减得双曲线的一条渐近线方程为,直线与双曲线没有公共点.以为弦中点的直线不存在.【点评】”设而不求”是保证A、B两交点存在的情况下,所采用整体运算求直线方程的方法,但如果是假定直线与曲线存在两个交点A、B为前提下求出直线,则必须验证与圆锥曲线公共点的存在性.
