1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2A ，B x x ，则 A B 1,0,1, 2 | 1A 1,0,1 B 0,1 C 1,1 D 0,1,22若 z(1 i) 2i ，则 z=A
2、 1 i B 1+i C1 i D1+i3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6 C0.7 D0.824（1+2x）（ 1+x）43的展开式中 x的系数为A12 B16 C20 D245已知各项均为正数的等比数列 an的前 4 项和为 15，且 a5=3 a3+4a1，则 a3=A16 B
3、8 C4 D2x6已知曲线 y ae x ln x 在点（ 1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则A a e，b 1 Ba= e，b=1 C1a e ，b 1 D1a ，b 1e7函数32xy 在 6,6 的图像大致为x x2 2A BC D8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心， ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD ，M 是线段 ED 的中点，则ABM =EN，且直线 BM，EN 是相交直线BBM EN，且直线 BM，EN 是相交直线CBM =EN，且直线 BM，EN 是异面直线DBM EN，且直线 BM，EN 是异面直线9执行下边的程序框图，如果输入的 为 0.01，
4、则输出 s的值等于A2142B2152C2162D217210双曲线 C：2 2x y4 2=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点，若 PO = PF ，则PFO 的面积为A3 24B3 22C2 2 D 3 211设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0,+ 单调递减，则A f （log3 14） f （232） f （223）B f （log3 14） f （223） f （232）C f （232） f （223） f （log3 14）D f （223） f （232） f （log3 14）12设函数 f x =sin（x ）( 0)，已知 f
5、x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：5 f x 在（ 0,2 ）有且仅有 3 个极大值点 f x 在（ 0,2 ）有且仅有 2 个极小值点 f x 在（ 0,）单调递增10 的取值范围是 12 29， )5 10其中所有正确结论的编号是A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 a b=0，若 c 2a 5b ，则 cos a ,c _.14记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和， a10，a2 3a1，则S10S5_.15设 F1，F2 为椭圆 C:2 2x y+ 136 20的两个焦点， M 为 C 上一点且
6、在第一象限 .若MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为 _.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型 .如图，该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点，3AB = BC = 6 cm ,AA = 4 cm ，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所1需原料的质量为 _g.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题
7、：共 60 分。17（ 12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A ，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比 .根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（ 12 分
8、）A CABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin sin a b A 2（1）求 B；（2）若 ABC 为锐角三角形，且 c=1，求 ABC 面积的取值范围19（ 12 分）图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1，BE=BF =2，FBC =60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG ，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B- CG - A 的大小 .20（ 12 分）已知函数3 2f (x) 2x ax
9、 b .（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）是否存在 a,b，使得 f (x) 在区间 0,1 的最小值为 1且最大值为 1？若存在， 求出 a, b的所有值；若不存在，说明理由 .21已知曲线 C：y=2x2，D 为直线 y=12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积 .（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4 ：坐标系与参数方程 （10 分）如图，在
10、极坐标系 Ox 中， A(2,0) ， B( 2, ) ， ( 2, )C ， D (2, ) ，弧 AB ， BC ，CD 所在圆4 4的圆心分别是 (1,0) ， (1, )2，(1, ) ，曲线 M1 是弧 AB ，曲线M 是弧 BC ，曲线2M 是弧 CD .3（1）分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；（2）曲线 M 由M 1 ， M 2 ，M 3 构成，若点 P在 M 上，且 |OP | 3 ，求 P 的极坐标 .23选修 4-5 ：不等式选讲 （10 分）设 x, y, z R ，且 x y z 1.（1）求2 2 2(x 1) ( y 1) (z 1) 的最小
11、值；（2）若2 2 2 1(x 2) ( y 1) ( z a) 成立，证明： a 3或a 1 .32019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 参考答案一、选择题1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8B 9C 10A 11C 12D二、填空题1323144 15(3, 15) 16118.8三、解答题17解：（ 1）由已知得 0.70= a+0.20+0.15，故a=0.35b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.
12、05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00A C18解：（ 1）由题设及正弦定理得 sin Asin sin B sin A2A C因为sinA 0，所以 sin sin2BA C B由 A B C 180 ，可得 sin cos2 2B B B，故 cos 2sin cos2 2 2B因为 cos 02，故sinB 12 2，因此 B=60（2）由题设及（ 1）知 ABC的面积3S a ABC4由正弦定理得asin 120 Cc sin A 3 1sin C sin C 2 tanC 2由于 ABC为锐角三角形， 故0 A90，0C 90，由（1）知
13、A+ C=120 ，所以 30 C0 ，则当 x ( ,0) , 时 ， f ( x) 0； 当 x 0, 时， f (x) 0故 f ( x) 在3 3a( ,0), ,3单调递增，在 0,a3单调递减；若 a=0， f (x) 在 ( , ) 单调递增；a a若 a0 ，则当 x , (0, ) 时 ， f ( x) 0； 当 x ,0 时 ， f (x) 0 故 f ( x) 在3 3a, ,(0, )3a单调递增，在 ,03单调递减 .（2）满足题设条件的 a，b 存在 .（i）当 a 0 时，由（ 1）知， f (x) 在0，1单调递增，所以 f (x) 在区间0，l 的最小值为f
14、(0)= b，最大值为f (1) 2 a b .此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b 1， 2 a b 1，即 a=0， b 1（ii）当 a 3 时，由（ 1）知， f (x) 在0，1单调递减，所以 f ( x) 在区间0，1的最大值为f (0)= b ，最小值为f (1) 2 a b 此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2 a b 1，b=1，即 a=4，b=13a a（iii ）当 0a3 时，由（1）知， f (x) 在0，1的最小值为f b，最大值为b 或 2 a b3 27若3a273b 1，b=1，则a 3 2 ，与 0 a3 矛盾 .若3a27b 1， 2 a b 1，则a
15、 3 3 或 a 3 3 或 a=0，与 0a3 矛盾综上，当且仅当 a=0， b 1或 a=4，b=1 时， f (x) 在0， 1的最小值为- 1，最大值为11221 解：（ 1）设 D t A x1 y1 ，则x1 2y1 ., , , 2由于 y x ，所以切线DA的斜率为x ，故11y12x t 1x1.整理得2 tx 2 y +1=0.1 1设B x2, y2 ，同理可得 2tx2 2 y2 +1=0 .故直线AB的方程为2tx 2y 1 0.所以直线AB过定点1(0, )2.（2）由（1）得直线 AB的方程为1y tx .2由y txy2x212，可得2 2 1 0x tx .于
16、是2x1 x2 2t, x1x2 1, y1 y2 t x1 x2 1 2t 1，22 2 2| AB | 1 t x x 1 t x x 4x x 2 t 1 .1 2 1 2 1 2设d1,d2分别为点 D，E到直线AB的距离，则22d t 1, d1 2 2t1.因此，四边形 ADBE的面积12 2S | AB | d d t 3 t 1 .1 22设M为线段AB的中点，则2 1M t,t .2由于 EM AB ，而2EM t,t 2 ， AB 与向量 (1, t) 平行，所以2 2 0t t t .解得t=0或t 1.当t =0时，S=3；当t 1时， S 4 2 .因此，四边形 AD
17、BE的面积为3或4 2 .22.解：（1）由题设可得， 弧 AB, BC, CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos ， 2sin ， 2cos .所以M 的极坐标方程为12cos 04，M 的极坐标方程为22sin 34 4，M 的极坐标方程为332cos 4.（2）设 P( , ) ，由题设及（ 1）知若0，则 2cos 3 ，解得4；6若 3，则 2sin 3 ，解得4 4或32；3若34，则 2cos 3 ，解得5.6综上， P的极坐标为 3,6或3,3或3,23或3,56.23解：（ 1）由于2( x 1) ( y 1) ( z 1)2 2 2(x 1) (y 1) (z 1) 2(
18、 x 1)( y 1) ( y 1)( z 1) (z 1)( x 1)2 2 23 ( x 1) ( y 1) ( z 1) ，故由已知得2 2 2 4(x 1) ( y 1) (z 1) ，3当且仅当 x=53，y=13，1z 时等号成立3所以2 2 2(x 1) ( y 1) ( z 1) 的最小值为43.（2）由于2( x 2) ( y 1) ( z a)2 2 2(x 2) ( y 1) (z a) 2( x 2)( y 1) (y 1)( z a) (z a)( x 2)2 2 23 (x 2) ( y 1) (z a) ，故由已知22 2 2 (2 a)( x 2) ( y 1) (z a) ，3当且仅当4 ax ，31 ay ，32a 2z 时等号成立32 2 2(x 2) ( y 1) (z a) 的最小值为(2 a)32因此 由题设知2(2 a) 13 3，解得 a 3或a 1
