1、2020高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2020高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 【答案】B2.【2020高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 【答案】C3.【2020高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，
2、是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） 【答案】A4.【2020高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C5.【2020高考真题四川理10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）A、
3、B、 C、 D、【答案】A6.【2020高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A.7.【2020高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D8.【2020高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D【答案】B9.【2020高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A12 B.45 C.57 D.81【答案】C10.【2020高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球 B.三棱
4、柱 C.正方形 D.圆柱【答案】D.11.【2020高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【答案】A 12.【2020高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 【答案】B13.【2020高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2 B C D 1【答案】D二、填空题14.【2020高考真题浙江理11】已知某
5、三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.【答案】115.【2020高考真题四川理14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_。【答案】【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.16.【2020高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_。【答案】38【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。17.【2020高考真题山东理
6、14】如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为_.【答案】18.【2020高考真题辽宁理16】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_。【答案】【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱19.【2020高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。【答案】20.【2020高考真题上海理14】如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，
7、其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 。【答案】。21.【2020高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。22.【2020高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是【答案】92【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。23.【2020高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3. 【答案】24.【2020高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.【答案】三、解答题25.【2020高
8、考真题广东理18】（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点 E在线段PC上，PC平面BDE（1） 证明：BD平面PAC；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.26.【2020高考真题辽宁理18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱，点M，N分别为和的中点。 ()证明：平面; ()若二面角为直二面角，求的值。【答案】【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系
9、求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。27.【2020高考真题湖北理19】（本小题满分12分）如图1，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小DABCACDB图2图1ME.第19题图【答案】（）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且
10、，所以平面又，所以于是 ，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时, 三棱锥的体积最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得当时，；当时， 所以当时，取得最大值故当时, 三棱锥的体积最大 （）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系由（）知，当三棱锥的体积最大时，于是可得，且设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时， 设平面的一个法向量为，由 及，得 可取 设与平面所成角的大小为，则由，可得，即CADB图aEMxyz图bCADBEFMN 图cBDPCFNEBGMNEH图d第19题解答图N 故与平面所成角的大小为 解法2：由（）知，当三棱锥的体积最大时，如图b
11、，取的中点，连结，则.由（）知平面，所以平面.如图c，延长至P点使得，连，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则，所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以.因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一个四等分点）， 连接，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面在平面中，过点作于，则平面故是与平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 28.【2020高考真题新课标理19】（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小.【答案】（1）
12、在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为29.【2020高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。 （2）要
13、证直线平面，只要证平面上的即可。30.【2020高考真题四川理19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，平面平面。（）求直线与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力. 31.【2020高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.（）求证：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （）若二面角A-B1EA1的大小为30，求AB的长
14、.【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.32.【2020高考真题北京理16】（本小题共14分） 如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如图2.(I)求证：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【答案】解：（1
15、），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，,设平面法向量为则 又，与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则 。假设平面与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。33.【2020高考真题浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA，M，N分别为PB，PD的中点()证明：MN平面ABCD；() 过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。【答
16、案】()如图连接BDM，N分别为PB，PD的中点，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，0)，N(，0，0)，C(，3，0)设Q(x，y，z)，则，由，得： 即：对于平面AMN：设其法向量为则 同理对于平面AMN得其法向量为记所求二面角AMNQ的平面角大小为，则所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为34.【2020高考真题重庆理19】（本小题满分12分 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（）求点C到平面的距离;（）若求二面角 的平面角的余弦值.【答案】【命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查
17、线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用.35.【2020高考真题江西理20】（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。【答案】【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，
18、二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.36.【2020高考真题安徽理18】（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值。【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。【解析】(综合法)（I）取
19、的中点为点，连接， 则，面面面，同理：面 得：共面，又面。（）延长到，使 ，得：，面面面面，。（）是二面角的平面角。在中，在中，得：二面角的余弦值为。37.【2020高考真题上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小。【答案】【解析】（1）PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，CDPD，又，CD=2，PCD的面积为。（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF, 则EFBC，AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角。在ADF中，EF=、AF=,AE=2，AEF是等腰直角三角形，
20、AEF=，异面直线BC与AE所成的角大小为。解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)，=(1，,1)，=(0,0),设与的夹角为，则=,又0，=。【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于必修2立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题38.【2020高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱
21、形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（）证明：PC平面BED；（）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小.【答案】39.【2020高考真题山东理18】（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【答案】40.【2020高考真题湖南理18】（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点.（）证明：CD平面PAE；（）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求
22、四棱锥P-ABCD的体积.【答案】解法1（如图（1），连接AC，由AB=4，是的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD平面PAE.（）过点作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是为直线与平面PAE所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：（）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以()由题设和（）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 .41.【2020高考真题天津理17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1.（）证明PCAD；（）求二面角A-PC-D的正弦值；（）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长. 【答案】
