1、历年高考数学真题汇编专题21 空间向量与几何体1、【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱，平面平面，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形
2、由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，
3、则A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，2，0)因此，由得（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.2、【2018年江苏卷】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值【解析】（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根
4、据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=AA1=2，所以（1）因为P为A1B1的中点，所以，从而，故因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为（2）因为Q为BC的中点，所以，因此，设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取，设直线CC1与平面AQC1所成角为，则，所以直线CC1与平面AQ
5、C1所成角的正弦值为3、【2018年江苏卷】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，AE，AD平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直
6、线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos|.因为0，所以sin.因此二面角BA1DA的正弦值为.4、【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【解析】方法一
7、：（1）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（2）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（2）设直线与平面所成的角为.由（1）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.5、【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）
8、证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【解析】（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即可取.设是平面AEC的法向量，则同理可得.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.6、【2015江苏高考】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦
9、值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长【解析】则各点的坐标为，（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，因为，设平面的法向量为，则，即令，解得，所以是平面的一个法向量从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2）因为，设（），又，则，又，从而设，则当且仅当，即时，的最大值为因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值又因为，所以一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平
10、面的法向量，3、如何求出指定平面的法向量呢？求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组： 解出的比值即可（二）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）1、判定类（1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角： （2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（三）、关于通过向量求角的一些注意点1、线线角：线线角一定是锐角或者直角，通过向量求角可能会出现钝角或者余弦值为负的，要注意转化。2、线面角：线面角是指斜线与平面内的摄影所成的角，并且也是锐角。但是通
11、过直线的方向向量与平面的法向量所求的角所求的角不是同一个角，要注意转化。3、面面角：面面角是通过平面的法向量求出的角，所求出的角与面面角相等或者互补，因此要注意观察题目中所给的角为锐角还是钝角。题型一 异面直线所成的角线线角一定是锐角或者直角，通过向量求角可能会出现钝角或者余弦值为负的，要注意转化。例1、(2019南京、盐城一模） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD1，PAAB，点E是棱PB的中点(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值 第(1)问，欲求“异面直线EC与PD所成角的余弦值”，即求“直线EC与PD方向向量的余弦
12、值的绝对值”；第(2)问，欲求“二面角BECD的余弦值”，则需先求“两平面法向量夹角余弦值”，再根据图形判断二面角与向量夹角的大小关系判断符号规范解答 (1)因为PA底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系又因为PAAB，AD1，所以A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，(2分)因为E是棱PB的中点，所以E，所以，(0，1，)，所以cos，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.(6分)(2)由(1)得，(0，1，0)，(，0，0)设平面BEC的法向量为n1(
13、x1，y1，z1)，所以令x11，则z11，所以平面BEC的一个法向量为n1(1，0，1)设平面DEC的法向量为n2(x2，y2，z2)，所以令z2，则y21，所以平面DEC的一个法向量为n2(0，1，)，所以cosn1，n2.由图可知二面角BECD为钝角，所以二面角BECD的余弦值为.(10分)例2、(2018南京学情调研） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1.(1) 若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2) 求二面角BPDA的余弦值解答 (1) 以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为APABAD1，所以A(0，
14、0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设C(1，y，0)，则(1，0，1)，(1，1y，0)(2分)因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos，|，即，解得y2或y0(舍)，所以C(1，2，0)，所以BC的长为2.(5分)(2) 设平面PBD的法向量为n1(x，y，z)因为(1，0，1)，(0，1，1)，则即令x1，则y1，z1，所以n1(1，1，1)(7分)因为平面PAD的一个法向量为n2(1，0，0)，所以cosn1，n2，所以，由图可知二面角BPDA的余弦值为.(10分) 1.先建立空间直角坐标系，再利用位置关系解出或设出各点坐标，求出要用的向量坐标，一切具备后
15、再进行相关角的计算，忌书写混乱；2.平面PAD的法向量可直接利用题中垂直信息来减少计算量例3、(2016苏州暑假测试） 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；(2) 求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.规范解答 (1) 因为DA，DC，DD1两两垂直，所以分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示因为棱长为 3, A1ECF1，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，C1(0,3,3)，E(3,0,2)，F(0,3,1)(2分)所以(3,
16、3,3)，(3,0，1)，所以cos， ，所以异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是.(5分)(2) 设平面 BED1F的法向量是n(x，y，z)，又因为(0，3,2)，(3,0,1)，n，n，所以n0，n0，即令z3，则x1，y2，所以n(1,2,3)(7分)又(3,3,3)，所以cos，n ，所以直线 AC1与平面 BED1F 所成角的正弦值为|cos，n|.(10分)题型二 直线与平面所成的角线面角是指斜线与平面内的摄影所成的角，并且也是锐角。但是通过直线的方向向量与平面的法向量所求的角所求的角不是同一个角，要注意转化。例4、(2019常州期末）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已
17、知正四棱锥PABCD的高OP2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB，点M是棱PC的中点(1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；(2) 求二面角APBC的余弦值规范解答 (1)记直线AM与平面PAB所成角为，A(0，1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，M，则(1，1，0)，(0，1，2)，.设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，所以即令x2，则y2，z1，所以平面PAB的一个法向量为n(2，2，1)，所以sin|cosn，|.(5分)即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为.(6分)(2)设平面PBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，(1，1，0)，(
18、1，0，2)由即令x12，则y12，z11，所以平面PBC的一个法向量为n1(2，2，1)，所以cosn，n1.(9分)由图可知二面角APBC为钝角，故二面角的余弦值为.(10分)例5、(2019镇江期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB2，AC4，AA13，D是BC的中点(1) 求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1DC1A1的余弦值规范解答 在直三棱柱ABCA1B1C1中，有ABAC，又AA1AB，AA1AC，以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示(1分)因为AB2，AC4，AA13，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
19、C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)因为D是BC的中点，所以D(1，2，0)(1) (1，2，3)，设n1(x1，y1，z1)为平面A1B1D的法向量，(2，0，0)，(1，2，3)，所以即取n1(0，3，2)为平面A1B1D的一个法向量(3分)设直线DC1与平面A1B1D所成角为，则sin|cos，n1|，所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为.(5分)(2)(1，2，3)，(2，4，0)，设n2(x2，y2，z2)为平面B1DC1的法向量，所以即取n2(2，1，0)为平面B1DC1的一个法向量(7分)同理可以求得平面A1DC1的一个法向量为n
20、3(3，0，1)，则cosn2，n3.(9分)由图可知二面角为锐角，故二面角B1DC1A1的余弦值为.(10分)例6、(2016镇江期末） 如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值. 规范解答 (1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，(3,3,3)，B(3,3,0)，E(3,0,2)，(0，3,2)(2分)所以cos，故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分)(2) B(3,3,0)，(0，3,2)，
21、(3,0，1)设平面BED1F的一个法向量为n(x，y，z)，由得所以则n(x,2x,3x)，不妨取n(1,2,3)，设直线BB1与平面BED1F所成的角为，则sin|cos，n|.(9分)所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.(10分)题型三 平面与平面所成的角：面面角是通过平面的法向量求出的角，所求出的角与面面角相等或者互补，因此要注意观察题目中所给的角为锐角还是钝角。例7、(2019 盐城市2019届高三第三次模拟考试）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABACAD3，PABC4.(1) 求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(2) 求平面PAD与平面PBC
22、所成锐二面角的余弦值 规范解答 (1) 设BC的中点为E，由ABAC，可知AEBC，故分别以AE，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)(2分)则A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，2，0)，C(，2，0)(1) 设为两直线所成的角，由(，2，4)，(，1，0)，得cos.(6分)(2) 设n1(x，y，z)为平面PBC的法向量，(，2，4)，(，2，4)，n10，n10，即取平面PBC的一个法向量n1(4，0，)，平面PAD的一个法向量为n2(1，0，0)设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则cos.所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余
23、弦值为.(10分)例8、(2017常州期末） 如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos，.(1) 求的值；(2) 求二面角BVCD的余弦值. 规范解答 (1) 根据条件，可得B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，a,0)，V(0,0，h)，E，所以，(1分)故cos，.(3分)又cos，则，解得.(4分)(2) 由，得，且容易得到，(2a,0,0)，(0,2a,0)设平面BVC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即则取y13，z12，则n1(0,3,2)(6分)同理可得
24、平面DVC的一个法向量为n2(3,0,2)(8分)cosn1，n2，结合图形，可以知道二面角BVCD的余弦值为.(10分)1、(2019南京学情调研） 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长AB3，侧棱AA12，E是棱CC1的中点，点F满足2.(1) 求异面直线FE和DB1所成角的余弦值；(2) 记二面角EB1FA的大小为，求|cos|. 规范解答 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为AB3，AA12，E是CC1的中点，2，所以E(0，3，1)，F(3，2，0)，B1(3，3，2). (2分)(1)从而(3
25、，1，1)，(3，3，2)设异面直线FE和DB1所成的角为，则cos|cos，|.因此，异面直线FE和DB1所成角的余弦值为. (5分)(2)设平面B1FE的法向量为n1(x，y，z)因为(3，1，1)，(0，1，2)，由得 所以取z3，则平面B1FE的一个法向量为n1(1，6，3)(8分)又因为平面AB1F的一个法向量为n2(1，0，0)，所以cosn1，n2.因此|cos| cosn1，n2|. (10分)2、(2018镇江期末）如图，ACBC，O为AB中点，且DC平面ABC，DCBE.已知ACBCDCBE2.(1) 求直线AD与CE所成角；(2) 求二面角OCEB的余弦值解答 (1)因为
26、ACCB且DC平面ABC，则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系(1分)因为ACBCBE2，则C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，且(0，2，2)，(2，0，2)(2分)所以cos，.(4分)所以直线AD和CE的夹角为60.(5分)(2) 平面BCE的一个法向量为m(0，1，0)，设平面OCE的法向量n(x0，y0，z0)(6分)由(1，1，0)，(2，0，2)且n，n，得则解得(8分)取x01，则n(1，1，1)(9分)因为二面角OCEB为锐二面角，记为，则cos
27、|cosm，n|.(10分)3、(2016泰州期末） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1) 设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求实数的值；(2) 若点D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的余弦值规范解答 (1) 由AC3，BC4，AB5得ACB90，(1分)以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x，y，z)，则由得(33，4，0)，而(3,0,4)，根据，解得或.(5分)(2) 由题意得D，2,0，(0,4,4)，可取平面CDB1的一个法
28、向量为n1，因为n10，n10，所以n1可取(4，3,3)；(7分)同理，平面CBB1的一个法向量为n2(1,0,0)，并且n1，n2与二面角DCB1B相等或互补，所以二面角DCB1B的余弦值为cos|cosn1，n2|.(10分)(第(1)题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分第(2)题如果结果相差符号扣1分)4、（2016南京、盐城一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.(1) 若1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 若二面角B1A1C1D的大小为60，求实数的值 规范解答 分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z
29、轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0，0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)(2分)(1) 当1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，(1，2,2)，(0,4,0)，(1,2，2)，设平面A1C1D的法向量为n1(x，y，z)，则得所以取n1(2,0,1)，又cos，n1，所以DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(6分)(2) 因为，设D(x，y,0)，所以(x2，y,0)，(x,4y,0)，所以x2x，y(4y)，即x，y.所以D(，0)，所以(0,4,0)，(，2)，设平面A1C1D的法向量为n1(x，y，z)，则即所以取n
30、1(1,0,1)(8分)又平面A1B1C1的一个法向量为n2(0,0,1)，由题意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合题意，舍去)，所以实数的值为1.(10分)5、(2018苏北四市期末）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，AA12，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1) 求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2) 求二面角FBC1C的余弦值 规范解答 (1) 因为AB1，AA12，则F(0，0，0)，A，C，B，E，所以(1，0，0)，.(2分)记异面直线AC和BE所成角为，则cos|cos，|，所以异面
31、直线AC和BE所成角的余弦值为.(4分)(2) 设平面BFC1的法向量为m(x1，y1，z1)因为，则取x14，得平面BFC1的一个法向量为m(4，0，1)(6分)设平面BCC1的法向量为n(x2，y2，z2)因为，(0，0，2)，则取x2得平面BCC1的一个法向量为n(，1，0)，(8分)所以cosm，n.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.(10分)6、(2017南京、盐城二模） 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1AAB2，ABC，E，F分别是BC，A1C的中点(1) 求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2) 设
32、点M在线段A1D上，.若CM平面AEF，求实数的值规范解答 (1) 连结AC，则ABC是正三角形又E是BC的中点，可得AEBC，从而AEAD.以，为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0，0,2)，F.(2分)因为，(0,2,0)所以cos，.所以异面直线EF，AD所成角的余弦值是.(4分)(2) 设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，由不妨取n(0,2，1)(6分)因为点M在线段A1D上，所以，得(，1,2)(0,2，2)(，21,22)(8分)因为CM平面AEF，所以n，从而n0，即2(21)(22)0，解得.(
33、10分)7、(2017南通一调）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)(1) 若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2) 若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值 规范解答 以，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.(1) 因为(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为.(4分)(2) 由题意可知，(0,0,2)，(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2)(6分)又因为直线AA1与平面APQ所成角为45，所以|co
34、sn，|，可得5240，又因为0，所以.(10分)8、(2017苏北四市一模）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，M为PC的中点(1) 求异面直线AP，BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求的值 规范解答 (1) 因为PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又因为BAD90，所以PA，AB，AD两两互相垂直分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD2AB2BC4，PA4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4
35、,0)，P(0,0,4)又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)所以(1,1,2)，(0,0,4)，(2分)所以cos，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.(5分)(2) 因为AN，所以N(0，0)(04)，则(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则 即 令x2，解得y0，z1，所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量(7分)因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos，m|，解得10,4，所以的值为1.(10分)9、(2018南通、泰州一调） 如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BCAD，且APABAD4，
36、BC2.(1) 求二面角PCDA的余弦值；(2) 已知H为线段PC上异于C的点，且DCDH，求的值 规范解答 以，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)(1) 由题意可知，(0，4，4)，(4，2，0)设平面PCD的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，则y2，z2.所以平面PCD的一个法向量为n1(1，2，2)(3分)平面ACD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2，且由图可知二面角为锐二面角，所以二面角PCDA的余弦值为.(5分)(2) 由题意可知(4，2，4)，(4，2，
37、0)，设(4，2，4)，则(4，24，44)，(7分)因为DCDH，所以，化简得32410，所以1或.又因为点H异于点C，所以，即.(10分)10、(2018苏州期末）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直线AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1) 求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2) 在线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由规范解答 由AEAB，且AEBP，得BPAB.所以CBP是直二面角CABP的平面角以，为正交基底，建立空间直角坐标系Bxyz.B(
38、0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，2，0)，E(2，1，0)，C(0，0，1)，D(2，0，1)(1) 设平面PCD的法向量为m(a，b，c)，(0，2，1)，(2，0，0)由不妨取m(0，1，2)(2分)平面ABPE的一个法向量为n(0，0，1)(4分)设平面PCD与平面ABPE所成的二面角的大小为，则由图可知.cos|cosm，n|.(5分)所以平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值为.(6分)(2) 假设线段PD上存在点N，使得直线BN与平面PCD所成角满足sin.即sin|cos，m|.设(2，2，1)，其中0，1.(2，22，)由(1)知平面PCD的一个法向量m(0，1，2)，所以，即92810，(8分)解得1或(舍去)所以当N在点D处时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.(10分) 33 / 33
