1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合，则( )（A）（B）（C）（D）(2) 若满足 则的最大值为( )（A）0（B）3（C）4（D）5(3)执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k值为( ) （A）1（B）2（C）3（D）4（4）设，是向量，则“”是“”的( )（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知，且，则( )（A）（B）（C）（D）（6）某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为( )
2、（A）（B）（C）（D）（7）将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点若位于函数的图像上，则( )（A），的最小值为（B），的最小值为（C），的最小值为（D），的最小值为（8） 袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半，甲 ，乙，丙 是三个空盒，每次从袋中随意取出两个球，将期中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中的红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6题，每小题5分，共30分（9）设，若复数在复平面
3、内对应的点位于实轴上，则_（10）在的展开式中，的系数为_（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则 _（12）已知为等差数列，为其前项和若，则_（13）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则_（14）设函数若，则的最大值_若无最大值，则实数的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题13分）在中，（1） 求的大小（2） 求的最大值16. （本小题13分），三班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； （）试估计班的学生人数；（）
4、从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从，三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是，（单位：小时），这个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中的数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）17. （本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由（18）（本小题13分）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求的单调区间.（19）（本
5、小题14分）已知椭圆的离心率为，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.20. （本小题13分）设数列如果对小于的每一个正整数都有则称是数列的一个” 时刻”.记是数列的所有” 时刻”组成的集合.对数列写出的所有元素；证明：若数列中存在使得，则；证明：若数列满足,则的元素个数不小于.2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案（理工类）一、选择题（1）解析，集合所以 选c(2)解析如图当取点A(1,2)时，取到最大值4选C（3）循环一次，；循环二次，；循环三次，故答案选B4当与方向相反时，不能得到；而当时，平方得，即，因此与
6、可以不相等，因此选既不充分也不必要选D5.【答案】C【解析】特殊值法：A取排除，B取排除，D取排除，C由单调性可知移项正确（6）A【解析】三视图还原如右图所示：则三棱锥的体积7.【答案】A【解析】点在函数上，所以，即，根据平移的原则，有，根据题意有，结合余弦函数的图像可知满足余弦值等于的最小正角为，故的最小值为（8）共两个球时 有以下两种情况甲 乙 丙 红 黑 甲 乙 丙 黑 红 可排除A和D四个球时的其中一种情况如下甲 乙 丙 红 红 黑 黑 可排除C故：答案选B分析：此题重点考察了选择题的一个重要做题思想：特值法、排除法此外，还考察了学生的逻辑思维能力，以及在紧急状态下的应变能力二、填空题
7、共6题，每小题5分，共30分（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_.解答：，因为复数在实轴上，所以有答案：（10）在的展开式中，的系数为_.解答：其中含有的项为，所以的系数为答案：60（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则_.解：，所以可以变形为，可以变形为因为直线过点，圆的圆心也是，所以交线为直径，又因为，所以答案：2（12）已知为等差数列，为其前项和若，则_.解：为等差数列，所以，解得所以答案：6（13）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则_.解：因为两条渐近线是正方形的相邻两边，所以夹角为，可知渐近线的斜率为，所以因为为该双曲线的
8、焦点，所以，由可得答案：2（14）设函数若，则的最大值_.若无最大值，则实数的取值范围是_.解：当时，函数变为当时，在单增，在单减所以时，的最大值是；时，单减，所以若，则的最大值为函数的最大值只会在三个位置取到极大值点、端点以及断点，因为，在单增，存在最大值为，所以，当时，在上，所以很有最大值为而题目要求不存在最大值，所以是无法取到的，所以答案：2， 三、解答题15.在中，（3） 求的大小（4） 求的最大值解：（1），（2）在中，所以当时，的最大值为16.，三班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； （）试估计班的学生人数；（
9、）从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从，三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是，（单位：小时），这个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中的数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）解析：（）设班的学生人数为，则，解得；（）记该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长为事件;由题可知，从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，共有种；满足条件的有，共种；所以，；（）（提示：新选出，的平均数约为；，的三组数据均为等差数列，平均数分别为，整体平均数显然大于）17
10、.如图，在四棱锥中，平面平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：（）证明：面面，面面,面，面，面，又，面；（）取的中点，连结，,以为原点，建立如图坐标系；易知，则，设平面的法向量为，14、在显微镜下观察物体有一定的要求。物体必须制成玻片标本，才能在显微镜下观察它的精细结构。则，解得，答：无色无味，比空气重，不支持燃烧。设直线与平面所成角为，；10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖，世界人均供水量自1970年以来开始减少，而且持续下降。（）假设存在，使得平面，设，9、月球地貌的最大特征，就是分布着许多大
11、大小小的环形山，环形山大多是圆形的。关于环形山的形成，目前公认的观点是“撞击说”。，得，9、物质的变化一般分为物理变化和化学变化。化学变化伴随的现象很多，最重要的特点是产生了新物质。物质发生化学变化的过程中一定发生了物理变化。平面，平面的法向量为，6、蚜虫是黄色的，在植物的嫩枝上吸食汁液，每个蚜虫只有针眼般大小，在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。，即，解得，3、你知道哪些化学变化的事例呢？举出几个例子。即当时，满足题意18.（1）解析：，根据题意，有9、月球地貌的最大特征，就是分布着许多大大小小的环形山，环形山大多是圆形的。关于环形山的形成，目前公认的观点是“撞击说”。（2）解析：由（1
12、），导函数分母为正，只需考虑分子的符号即可一、填空：构造函数，12、放大镜和显微镜的发明，大大扩展了我们的视野，让我们走进微小世界，让我们看到了微生物和细胞。故在上单调递减，在上单调递增，即恒成立且不恒为，因此且不恒为故在上单调递增，无单调递减区间19.【解析】（1）由题意得，又因为 解得，故方程为（2）当在左顶点处时，所以,当在下顶点时,当在上顶点时，不合题意，当不在顶点处，设，则，即，又因为，则直线：，令，得直线：，令，得， ，20.解：（I） 的所有元素：（II） 证明：不妨设中的最大值第一次出现时为，则由可得因此对小于的每个正整数都有，故，所以；(III) 证明：当时，显然成立；当时，先证明数列中第一次出现比大的数应属于区间，否则假设第一次出现比大的数为，则，矛盾，故结论成立依题同理数列中第一次出现比大的数时应属于区间，其对应的项也都是数列的“时刻”若，则至少对应个“时刻”；若，则第一次出现比大的数时所对应的项数也为数列的“时刻”，则至少会有个“时刻”；综上，的元素个数不小于
