高考数学常见难题大盘点:解析几何(DOC 11页).doc

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1、精诚凝聚 =_= 成就梦想 2013高考数学常见难题大盘点:解析几何1. 设上的两点,满足,椭圆的离心率短轴长为2,0为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值; (3)试问:AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析:本例(1)通过,及之间的关系可得椭圆的方程;(2)从方程入手,通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理;(3)要注意特殊与一般的关系,分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案:(1)椭圆的方程为 (2)设AB的方程为由由已知 2 (3)当A为顶点时,B必为顶点.SAOB=1

2、 当A,B不为顶点时,设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.2. 在直角坐标平面中,ABC的两个顶点为 A(0,1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足 , = = (1)求顶点C的轨迹E的方程(2)设P、Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为(, 0) ,已知 , 且= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 解析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征;(2)要把握好直线与椭圆的位置关系,弦长公式,灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案:(1)设C ( x , y ), ,由知,G为 ABC的重心 , G(,) 由知M是ABC的外心,M在x轴上 由知M(,0),由

3、 得 化简整理得:(x0)。 (2)F(,0 )恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k,则直线PQ的方程为y = k ( x )由设P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1x2 = 则| PQ | = = = RNPQ,把k换成得 | RN | = S =| PQ | | RN | = =) 2 , 16 S 2 , (当 k = 1时取等号)又当k不存在或k = 0时S = 2综上可得 S 2 Smax = 2 , Smin = 3. 如图,F为双曲线C:的右焦点 P为双曲线C右支上一点,且位于轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点 已知四边形为平行四边形,

4、 ()写出双曲线C的离心率与的关系式;()当时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若,求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。解:四边形是,作双曲线的右准线交PM于H,则,又, ()当时,双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:,又,由得:,解得,则,所以为所求 4. 设分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线 ()、求椭圆的方程;()、设为右准线上不同于点(4,0)的任意一点, 若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明:点在以为直径的圆内 分析:本小题主要考查直线

5、、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解:()依题意得 a2c,4,解得a2,c1,从而b 故椭圆的方程为 ()解法1:由()得A(2,0),B(2,0) 设M(x0,y0) M点在椭圆上,y0(4x02) 又点M异于顶点A、B,2x00,0,则MBP为锐角,从而MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内 解法2:由()得A(2,0),B(2,0) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则2x12,2x20),则,F(1,0)。因为M、F、N共线,则有,所以,解得,所以,因而,直线MN的方程是。(3)“逆向问题”一:已知抛物线C:的焦点为F,过

6、点F的直线交抛物线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点。证明:设过F的直线为y=k(x),则由得,所以, , =,所以直线RQ必过焦点A。过点的直线交抛物线C于P、Q两点,FP与抛物线交于另一点R,则RQ垂直于x轴。已知抛物线C:,过点B(m,0 )(m0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(-m,0)。 “逆向问题”二:已知椭圆C:的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),过F2的直线交椭圆C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点。 “逆向问题”三:已知双曲线C:的焦点为F1(-c,0),F2(c,0

7、),过F2的直线交双曲线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点。6. 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(C,0)(C0)的准线L与X轴相交于点A,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OPO Q = 0,求直线PQ的方程;(3)设 A P = AQ(1),过点P且平行与准线L的直线与椭圆相交于另一点M,证明 FM = - FQ 。分析:(1)要求椭圆的方程及离心率,很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解:(1)根据已知条件“椭圆的中心

8、是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(C,0)(C0)的准线L与X轴相交于点A。” 可设椭圆的方程为 (a),从而有;又因可以有,联系以上这两个关于a、c的方程组并解得a=,c=2,所以椭圆的方程为,离心率e=。(2)根据已知条件 “O PO Q = 0” ,我们可设 P ,Q,把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式,再根据直线 PQ 经过 A(3,0),只须求出直线PQ的斜率K即可求出直线PQ的方程。而P、Q两点又在椭圆上,因此,我们容易想到通过直线y=k(x-3)与椭圆,联系方程组消去一个未知数y(或x)得,并利用一元二次方程的根与系数关系结合及不难求出k=,这里应特别注意K的值要保

9、证0成立,否则无法保证直线PQ与椭圆有两个交点。(3)要证F M =- F Q ,我们容易想到通过式中两个向量FM、FQ的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点P且平行为准线L的直线与椭圆相交于另一点M”,求得点M坐标为。又因AP=AQ,易知FM、FQ的两个纵坐标已经满足,所以现在要考虑的问题是如何证明FM、FQ的两个横坐标应该满足,事实上,注意到1,解得 因F(2,0),M,故FM=。 =又FQ=,因此FM=-FQ。7. 已知,记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程; (2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点. (i)无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点,使

10、恒成立,求实数m的值. (ii)过P、Q作直线的垂线PA、OB,垂足分别为A、B,记,求的取值范围.解析:答案:解:(1)由知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由,故轨迹E的方程为 (2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为,与双曲线方程联立消y得, 解得k2 3 (i) , 故得对任意的 恒成立, 当m =1时,MPMQ. 当直线l的斜率不存在时,由知结论也成立, 综上,当m =1时,MPMQ. (ii)是双曲线的右准线, 由双曲线定义得:, 方法一: , 注意到直线的斜率不存在时, 综上, 方法二:设直线PQ的倾斜角为,由于直线PQ与双曲线右支有二个交点, ,过Q作QCPA,垂

11、足为C,则 由 故: 8如图,P是抛物线C:上一点,直线L过点P且与抛物线C交于另一点Q。()若直线L与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;()若直线L不过原点且与X轴交于S,与Y轴交于点T,试求分析:(1)要求线段PQ的中点M的轨迹方程,我们常把M的坐标转化为线段PQ的两个端点坐标之间的关系。而P、Q两点又是直线L与抛物线的交点,容易想到直线L的方程与抛物线C的方程相联立消去y(或x),转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外,求过抛物线P的切线的斜率问题,我们自然会想到求出数的导数。解:(1)事实上,这样过P的斜率为,由于直线L与过点P的切线垂直,因此直线L的斜率为(0),所以可设直线L的方程为,结合,消去y并化简得。若设Q,M,因M为PQ的中点,故有消去得M的轨迹方程为。即M的轨迹方程为。(2)根据式子的特点,我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求S、T两点的坐标,易知:,从而有=又因2、可取一切不相等的正数。的取值范围是(2,)。 点亮心灯 /(v) 照亮人生

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