1、第九节 利用空间向量求空间角和距离1.1.夹角的计算夹角的计算(1)(1)直线间的夹角直线间的夹角两直线的夹角两直线的夹角当两条直线当两条直线l1 1与与l2 2共面时，我们把两条直线交角中共面时，我们把两条直线交角中,范围在范围在_内的角叫作两直线的夹角内的角叫作两直线的夹角.异面直线的夹角异面直线的夹角当直线当直线l1 1与与l2 2是异面直线时，在直线是异面直线时，在直线l1 1上任取一点上任取一点A A作作ABABl2 2 ，我们把我们把_的夹角叫作异面直线的夹角叫作异面直线l1 1与与l2 2的夹角的夹角.0,2直线直线l1 1和直线和直线ABAB设设s1 1，s2 2分别是两异面直
2、线分别是两异面直线l1 1，l2 2的方向向量，则的方向向量，则l1 1与与l2 2的夹角的夹角s1 1与与s2 2的夹角的夹角s1 1，s2 2范围范围_求法求法coscos=coscoss1 1，s2 2=_=_coscoss1 1，s2 2=_ _关系关系当当00s1 1,s2 2 时时,=_;,=_;当当 s1 1,s2 2时，时，=_02 000b0，则则P(0P(0，0 0，2)2)，于是于是从而从而故故PCBEPCBE，PCDE.PCDE.又又BEDEBEDEE E，所以所以PCPC平面平面BED.BED.224 22E0B2b,0.33（，），2222PC2 2 02 BEb,
3、DEb,3333 ，（，），（，）PC BE 0 PC DE 0 ，(2)(2)(0(0，0 0，2)2)，(，-b,0).-b,0).设设m=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面PABPAB的法向量，则的法向量，则m =0,=0,m =0,=0,即即2z=02z=0且且 x-by=0,x-by=0,令令x=b,x=b,则则m=(b,0).=(b,0).设设n=(p,q,r)=(p,q,r)为平面为平面PBCPBC的法向量，的法向量，则则n =0,=0,n 0 0，即即AP AB 2AP AB 22PC BE 2p22 2p2r0bqr0,33且令令p=1,p=1,则则因为平面因为平面P
4、ABPAB平面平面PBCPBC，故故mn0,0,即即 于是于是n=(1,-1,),=(1,-1,),直线直线PDPD与平面与平面PBCPBC的夹角与的夹角与 互余，互余，PDPD与平面与平面PBCPBC的夹角为的夹角为3030.22r2,q,1,2.bb（）n2b0,b2,b故2DP2,2,2,DP1cos,DP,DP60,2DP ，nnnn,DP n【拓展提升】【拓展提升】利用向量求直线与平面的夹角的方法利用向量求直线与平面的夹角的方法(1)(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角
5、(或其补角或其补角).).(2)(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面的夹角取其余角就是斜线和平面的夹角.【变式训练】【变式训练】如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面为等腰梯的底面为等腰梯形，形，ABCDABCD，ACBDACBD，垂足为，垂足为H H，PHPH是四棱锥的高，是四棱锥的高，E E为为ADAD的中点的中点.(1)(1)证明：证明：PEBC.PEBC.(2)(2)若若APBAPBADBADB6060，求直线求直线PAPA与平面与平面PE
6、HPEH的夹角的的夹角的正弦值正弦值.【解析】【解析】以以H H为原点，为原点，HAHA，HBHB，HPHP所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴，线段轴，线段HAHA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则则A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，1 1，0).0).(1)(1)设设C(m,0,0)C(m,0,0)，P(0P(0，0 0，n)(m0)n)(m0)，则则D(0,m,0),D(0,m,0),可得可得因为因为所以所以PEBC.PEBC.1 mE,0.2 2（，）1 mPE,n,BCm,1,0.2 2（）mmPE BC00,22
7、 (2)(2)由已知条件可得由已知条件可得故故C(0C(0，0)0)，D(0D(0，0)0)，P(0P(0，0 0，1).1).设设n=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面PEHPEH的一个法向量，的一个法向量，因此可以取因此可以取n=(1,0).=(1,0).由由 =(1,0,-1),=(1,0,-1),可得可得所以直线所以直线PAPA与平面与平面PEHPEH的夹角的正弦值为的夹角的正弦值为3m,n1,3 33，33，13E026（，），13HE0,xy0,26HP0z0.则即，nn3PA 2cosPA,4 n2.4考向考向3 3 平面与平面的夹角的求法平面与平面的夹角的求法【典例【典
8、例3 3】(2012(2012新课标全国卷新课标全国卷)如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACACBCBC AAAA1 1，D D是棱是棱AAAA1 1的中点，的中点，DCDC1 1BD.BD.(1)(1)证明：证明：DCDC1 1BC.BC.(2)(2)求平面求平面A A1 1BDBD与平面与平面C C1 1BDBD的夹角的大小的夹角的大小.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)可证明可证明DCDC1 1平面平面BCD.BCD.(2)(2)可以可以CACA，CBCB，CCCC1 1为坐标轴建立空间为坐标轴建立空间直角坐标系求解直角坐标系求解
9、.12【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于由于D D为为AAAA1 1的中点，故的中点，故DCDCDCDC1 1.又又ACAC 可得可得所以所以DCDC1 1DC.DC.而而DCDC1 1BDBD，DCBDDCBDD D，所以所以DCDC1 1平面平面BCD.BCD.又又BCBC平面平面BCDBCD，故，故DCDC1 1BC.BC.11AA2，22211DCDCCC，(2)(2)由由(1)(1)知知BCDCBCDC1 1，且，且BCCCBCCC1 1，则，则BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以，所以CACA，CBCB
10、，CCCC1 1两两互相垂直两两互相垂直.以以C C为坐标原点，为坐标原点，的方向为的方向为x x轴的正方向，轴的正方向，为单位长，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.CA|CA|由题意知由题意知A A1 1(1(1，0 0，2)2)，B(0B(0，1 1，0)0)，D(1D(1，0 0，1)1)，C C1 1(0(0，0 0，2).2).则则 (0(0，0 0，-1)-1)，(1(1，-1-1，1)1)，(-1(-1，0 0，1).1).设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面A A1 1B B1 1BDBD的一个法向量，的一个法向量，则则即即可取可
11、取n=(1,1,0).=(1,1,0).1A D BD 1DC 1BD 0A D 0 ，nnxyz0,z0.同理，设同理，设m是平面是平面C C1 1BDBD的一个法向量，的一个法向量，则则可取可取m=(1=(1，2 2，1).1).从而从而coscosn,m故平面故平面A A1 1BDBD与平面与平面C C1 1BDBD的夹角的大小为的夹角的大小为3030.1BD0,DC0.mm3.2n mn m【拓展提升】【拓展提升】求平面与平面的夹角大小的常用方法求平面与平面的夹角大小的常用方法(1)(1)分别求出两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面分别求出两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的
12、法向量的夹角得到平面与平面的夹角的大小，但要注意的法向量的夹角得到平面与平面的夹角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小结合实际图形判断所求角的大小.(2)(2)分别在两个半平面内找到与两平面的交线垂直且以垂足分别在两个半平面内找到与两平面的交线垂直且以垂足为起点的两个向量为起点的两个向量,则这两个向量的夹角或其补角就是两个则这两个向量的夹角或其补角就是两个平面的夹角的大小平面的夹角的大小.【变式训练】【变式训练】(2012(2012江西高考江西高考)在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，已中，已知知ABABACACAAAA1 1 BCBC4 4，点，点A
13、 A1 1在底面在底面ABCABC的投影是线段的投影是线段BCBC的中点的中点O.O.(1)(1)证明在侧棱证明在侧棱AAAA1 1上存在一点上存在一点E E，使得，使得OEOE平面平面BBBB1 1C C1 1C C，并，并求出求出AEAE的长的长.(2)(2)求平面求平面A A1 1B B1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C夹角夹角的余弦值的余弦值.5，【解析】【解析】(1)(1)连接连接AOAO，在，在AOAAOA1 1中，作中，作OEAAOEAA1 1于点于点E E，因为因为AAAA1 1BBBB1 1，得，得OEBBOEBB1 1.因为因为A A1 1OO平面平面
14、ABCABC，所以，所以A A1 1OBC.OBC.因为因为ABABACAC，OBOBOCOC，所以，所以AOBCAOBC，所以所以BCBC平面平面AAAA1 1O O，所以，所以BCOEBCOE，所以所以OEOE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.又又AOAO22211AO5ABBO1 AA5AE.AA5，得(2)(2)如图，以如图，以O O为原点，为原点，OAOA，OBOB，OAOA1 1所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则则A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，2 2，0)0)，C(0C(0，-2-2，0)0)，
15、A A1 1(0(0，0 0，2).2).由由 得点得点E E的坐标是的坐标是由由(1)(1)得平面得平面BBBB1 1C C1 1C C的一个法向量是的一个法向量是11AEAA5 420.55（，）42OE0.55（，）设平面设平面A A1 1B B1 1C C的法向量为的法向量为n=(x,y,z)=(x,y,z)，令令y=1,y=1,得得x=2,z=-1,x=2,z=-1,即即n=(2=(2，1 1，-1).-1).所以所以即平面即平面A A1 1B B1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C的夹角的余弦值是的夹角的余弦值是111A BAB0,x2y0,yz0.A C0,由
16、得nnnOE30cosOE,10OE ，nnn30.10考向考向4 4 求空间距离求空间距离【典例【典例4 4】(1)(1)在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为为BBBB1 1的中点，则点的中点，则点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离是的距离是_._.(2)(2)已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a a求点求点C C1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离；的距离；求平面求平面CDDCDD1 1C C1 1与平面与
17、平面ABAB1 1D D1 1的夹角的余弦值的夹角的余弦值【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解离公式求解.(2)(2)建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解；利用点到平面的距离公式求解；求得平面求得平面CDDCDD1 1C C1 1与平面与平面ABAB1 1D D1 1的法向量，进而求得平面与平的法向量，进而求得平面与平面的夹角的余弦值面的夹角的余弦值.【规范解答】【规范解答】(1)(1)以以A A为原点为原点建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系如图所示.则则A A1 1(0,
18、0,1)(0,0,1)，E(1,0E(1,0，)，D(0,1,0)D(0,1,0)，C C1 1(1,1,1).(1,1,1).=(0,1,-1),=(0,1,-1),设平面设平面A A1 1EDED的法向量为的法向量为n1 1=(x,y,z)=(x,y,z)，121A D 11A E1,0,.2（）1111yzA Dyz011xz.A Exz022 ，由得，nn令令z=2z=2，则，则n1 1=(1,2,2).=(1,2,2).又又 =(-1,-1,0)=(-1,-1,0)，点点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离的距离答案：答案：1 111C A1111|C A|3d1.3n
19、n(2)(2)建立空间直角坐标系如图所示，则建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)A(0,0,0)，D D1 1(0,a,a),B(0,a,a),B1 1(a,0,a),C(a,0,a),C1 1(a,a,a),(a,a,a),=(-a,-a,-a)=(-a,-a,-a)，=(0,a,a)=(0,a,a)，=(a,0,a)=(a,0,a)设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面ABAB1 1D D1 1的一个法向量，的一个法向量，1C A 1AD 1AB 11AD0ayaz0axaz0AB0 ，由得，nn令令z=-1,z=-1,得得x=1,y=1x=1,y=1，可得，可得n=
20、(1,1,-1)=(1,1,-1)因此因此C C1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离为的距离为由由知，平面知，平面ABAB1 1D D1 1的一个法向量是的一个法向量是n=(1,1,-1)=(1,1,-1)又因又因ADAD平面平面CDDCDD1 1C C1 1，故平面故平面CDDCDD1 1C C1 1的一个法向量是的一个法向量是n1 1=(0,1,0)=(0,1,0)设平面设平面CDDCDD1 1C C1 1与平面与平面ABAB1 1D D1 1的夹角为的夹角为，则，则故所求夹角的余弦值为故所求夹角的余弦值为1|C A|3da.3 nn11|3cos|3 n nn n3.3【互
21、动探究】【互动探究】在本例题在本例题(1)(1)中，若条件不变，结论改为中，若条件不变，结论改为“则则直线直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED的夹角的大小为的夹角的大小为_”_”，如何求解？，如何求解？【解析】【解析】由题由题(1)(1)的解法知，平面的解法知，平面A A1 1EDED的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(1,2,2)=(1,2,2)，=(-1,-1,0).=(-1,-1,0).设所求角为设所求角为，则，则sin=|cossin=|cosn1 1,|故直线故直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED的夹角的大小为的夹角的大小为4545
22、.11C A11C A111111|C A|32.2|C A|32 nn【拓展提升】【拓展提升】向量法求点到平面的距离的步骤向量法求点到平面的距离的步骤(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n.(2)(2)在平面在平面内取一点内取一点A A，确定向量，确定向量 的坐标的坐标.(3)(3)代入公式代入公式 求解求解.PA|PA|d|nn【变式备选】【变式备选】如图，如图，BCDBCD与与MCDMCD都是边长为都是边长为2 2的正三角形，的正三角形，平面平面MCDMCD平面平面BCDBCD，ABAB平面平面BCDBCD，ABAB(1)(1)求点求点A A到平面到平面MBCMBC的距离的距离.(2
23、)(2)求平面求平面ACMACM与平面与平面BCDBCD的夹角的正弦值的夹角的正弦值.2 3.【解析】【解析】取取CDCD中点中点O O，连接，连接OBOB，OMOM，则则OBCDOBCD，OMCD.OMCD.又平面又平面MCDMCD平面平面BCDBCD，则则MOMO平面平面BCD.BCD.取取O O为原点，直线为原点，直线OCOC，BOBO，OMOM为为x x轴，轴，y y轴轴,z,z轴，建立轴，建立空间直角坐标系如图空间直角坐标系如图,则则OBOBOMOM 各点坐标分别为各点坐标分别为C(1C(1，0 0，0)0)，M(0M(0，0 0，)，B(0B(0，-，0)0)，A(0A(0，-，2
24、 ).2 ).(1)(1)设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面MBCMBC的一个法向量，的一个法向量，则则 =(1,0),=(0,).=(1,0),=(0,).由由n 得得x+y=0.x+y=0.由由n 得得 y+z=0.y+z=0.取取n=(,-1,1),=(,-1,1),又又 =(0,0,2 ),=(0,0,2 ),则点则点A A到平面到平面MBCMBC的距离为的距离为3，3333BC 3BM33BC 3BM333BA 3|BA|2 32 15d.55 nn(2)(2)(-1(-1，0 0，)，(-1(-1，-，2 ).2 ).设平面设平面ACMACM的一个法向量为的一个法向
25、量为n1 1=(x,y,z),=(x,y,z),由由n1 1 ,n1 1 得得解得解得x=z,y=z,x=z,y=z,取取n1 1=(,1,1).=(,1,1).又平面又平面BCDBCD的一个法向量为的一个法向量为n2 2=(0,0,1),=(0,0,1),所以所以coscosn1 1,n2 2=设所求两平面的夹角为设所求两平面的夹角为,则则sin=sin=CM3CA 33CMCA x3z0,x3y2 3z0,3312121.5n nn n2 5.5【满分指导】【满分指导】用空间向量解立体几何问题的规范解答用空间向量解立体几何问题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2012)(201
26、2北京高考改编北京高考改编)如图如图1 1，在，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,BC=3,AC=6,D,E,BC=3,AC=6,D,E分别是分别是ACAC，ABAB上的点，且上的点，且DEBCDEBC，DEDE2.2.将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到A A1 1DEDE的位置，使的位置，使A A1 1CCDCCD，如图，如图2.2.(1)(1)求证：求证：A A1 1CC平面平面BCDE.BCDE.(2)(2)若若M M是是A A1 1D D的中点，求的中点，求CMCM与平面与平面A A1 1BEBE的夹角的大小的夹角的大小.(3)(3)线段线段BCBC上是否存在点上是
27、否存在点P P，使平面，使平面A A1 1DPDP与平面与平面A A1 1BEBE垂直？说明垂直？说明理由理由.【思路点拨】【思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析C C9090,DE,DEBCBCDEDEA A1 1D,DED,DECD,CD,即即DEDE平平面面A A1 1DCDCA A1 1C CCDCDA A1 1C C平面平面BCDEBCDEM M为为A A1 1D D的中点的中点可求可求 与平面与平面A A1 1BEBE的法向的法向量的夹角量的夹角平面平面A A1 1DPDP平面平面A A1 1BEBE法向量垂直法向量垂直 CM【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为ACB
28、CACBC，DEBCDEBC，所以所以DEAC.DEAC.所以所以DEADEA1 1D D，DECDDECD，所以所以DEDE平面平面A A1 1DC.DC.2 2分分所以所以DEADEA1 1C.C.又因为又因为A A1 1CCDCCD，所以所以A A1 1CC平面平面BCDE.BCDE.3 3分分(2)(2)如图，以如图，以C C为坐标原点，建立空间直角坐标系，则为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A A1 1(0(0，0 0，2 )2 )，D(0D(0，2 2，0)0)，M(0M(0，1 1，)，B(3B(3，0 0，0)0)，E(2E(2，2 2，0).0).5 5分分设平面设平面A A
29、1 1BEBE的法向量为的法向量为n=(x,y,z)=(x,y,z)，则，则又又 =(3,0,-2 ),=(-1,2,0),=(3,0,-2 ),=(-1,2,0),所以所以令令y=1,y=1,则则x=2,z=x=2,z=所以所以n=(2,1,).=(2,1,).6 6分分331A B0,BE0.nn1A B 3BE 3x2 3z0,x2y0.3,3设设CMCM与平面与平面A A1 1BEBE的夹角为的夹角为.因为因为 (0(0，1 1，)，所以所以 所以所以CMCM与平面与平面A A1 1BEBE的夹角的大小为的夹角的大小为7 7分分CM3CM42sin|cos,CM|.284CM nnn.
30、4(3)(3)线段线段BCBC上不存在点上不存在点P P，使平面，使平面A A1 1DPDP与平面与平面A A1 1BEBE垂直垂直.8 8分分理由如下：理由如下：假设这样的点假设这样的点P P存在，设其坐标为存在，设其坐标为(p,0,0)(p,0,0)，其中其中pp0,30,3.设平面设平面A A1 1DPDP的法向量为的法向量为m=(x,y,z),=(x,y,z),则则1A D 0DP0.，mm又又 (0(0，2 2，(p,-2,0),(p,-2,0),所以所以令令x=2,x=2,则则y=p,y=p,所以所以m=(2,p,).=(2,p,).1010分分平面平面A A1 1DPDP平面平面
31、A A1 1BEBE，当且仅当，当且仅当mn=0,=0,即即4+p+p=0.4+p+p=0.解得解得p=-2p=-2，与，与pp0 0，3 3矛盾矛盾.所以线段所以线段BCBC上不存在点上不存在点P P，使平面，使平面A A1 1DPDP与平面与平面A A1 1BEBE垂直垂直.1212分分1A D 2 3)，DP 2y2 3z0,px2y0.3pz.33p3【失分警示】【失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20121.(2012陕西高考陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1，CACA
32、CCCC1 12CB2CB，则直线，则直线BCBC1 1与直线与直线ABAB1 1夹角的余弦夹角的余弦值为值为()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)55532 5535【解析】【解析】选选A.A.设设CA=2CA=2，则，则C(0C(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(0B(0，0 0，1)1)，C C1 1(0(0，2 2，0)0)，B B1 1(0(0，2 2，1)1)，可得向量，可得向量 (-2(-2，2 2，1)1)，=(0=(0，2 2，-1)-1)，由向量的夹角公式得，由向量的夹角公式得1AB 1BC 112 02 2 1115cosAB,B
33、C.544 104 15 2.(20122.(2012大纲版全国卷大纲版全国卷)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB2 2，CCCC1 1 E E为为CCCC1 1的中点，则直线的中点，则直线ACAC1 1与平面与平面BEDBED的距离为的距离为 ()()(A)2 (B)(C)(D)1(A)2 (B)(C)(D)1【解析】【解析】选选D.D.连接连接ACAC交交BDBD于于O O，连接，连接OEOE，由题意得，由题意得ACAC1 1OEOE，ACAC1 1平面平面BEDBED，直线，直线ACAC1 1与平面与平面BEDBED
34、的距离等于点的距离等于点A A到平面到平面BEDBED的距离，也等于点的距离，也等于点C C到平面到平面BEDBED的距离，作的距离，作CHOECHOE于于H H，则，则CHCH OEOE1 1为所求，故选为所求，故选D.D.2 2，32123.(20133.(2013长春模拟长春模拟)在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=2AB=2，BC=AABC=AA1 1=1=1，则，则D D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1的夹角的正弦值为的夹角的正弦值为_._.【解析】【解析】如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐
35、标系,则则D D1 1(0,0,1),C(0,0,1),C1 1(0,2,1),A(0,2,1),A1 1(1,0,1),B(1,2,0),(1,0,1),B(1,2,0),=(0,2,0),=(-1,2,0),=(0,2,0),=(-1,2,0),=(0,2,-1).=(0,2,-1).11D C11A C1A B 设平面设平面A A1 1BCBC1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),由由得得令令y=1y=1，得，得n=(2,1,2).=(2,1,2).设设D D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1的夹角为的夹角为，则，则即直线即直线D
36、D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1的夹角的正弦值为的夹角的正弦值为答案：答案：111A C(x,y,z)1,2,0 x2y0A B(x,y,z)0,2,12yz0 ，nnx2yz2y.，111111|D C21sin|cosD C,|,2 33D C|=n|nn1.3134.(20124.(2012安徽高考安徽高考)平面图形平面图形ABBABB1 1A A1 1C C1 1C C如图如图1 1所示，其中所示，其中BBBB1 1C C1 1C C是矩形是矩形.BC.BC2 2，BBBB1 14 4，ABABACAC A A1 1B B1 1A A1 1C C1 1现将该平
37、面图形分别沿现将该平面图形分别沿BCBC和和B B1 1C C1 1折叠，使折叠，使ABCABC与与A A1 1B B1 1C C1 1所在所在平面都与平面平面都与平面BBBB1 1C C1 1C C垂直，再分别连接垂直，再分别连接A A1 1A A，A A1 1B B，A A1 1C C，得到如，得到如图图2 2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题:(1)(1)证明：证明：AAAA1 1BC.BC.(2)(2)求求AAAA1 1的长的长.(3)(3)求平面求平面ABCABC与平面与平面A A1 1BCBC的夹角的余弦值的夹角的余弦值.2，5.【解析
38、】【解析】方法一方法一(向量法向量法)：(1)(1)取取BCBC，B B1 1C C1 1的中点分别为的中点分别为D D和和D D1 1，连接，连接A A1 1D D1 1,DD,DD1 1,AD.,AD.由由BBBB1 1C C1 1C C为矩形知，为矩形知，DDDD1 1BB1 1C C1 1.因为平面因为平面BBBB1 1C C1 1CC平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，所以所以DDDD1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1.又由又由A A1 1B B1 1A A1 1C C1 1知，知，A A1 1D D1 1BB1 1C C1 1.故以故以D D1 1为坐标原
39、点，可建立如图为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系所示的空间直角坐标系.由题设，可得由题设，可得A A1 1D D1 12 2，ADAD1.1.由以上可知由以上可知ADAD平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1D D1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，于是，于是ADAADA1 1D D1 1.所以所以A(0A(0，-1-1，4)4)，B(1B(1，0 0，4)4)，A A1 1(0(0，2 2，0)0)，C(-1C(-1，0 0，4)4)，D(0D(0，0 0，4).4).故故 (0(0，3 3，-4)-4)，(-2(-2，0 0，0)0)，=0=0，因此，因
40、此 即即AAAA1 1BC.BC.(2)(2)因为因为 (0(0，3 3，-4)-4)，所以，所以|5 5，即，即AAAA1 15.5.1AA BC 1AA BC 1AABC ，1AA 1AA(3)(3)连接连接A A1 1D.D.由由BCADBCAD，BCAABCAA1 1，可知，可知BCBC平面平面A A1 1ADAD，BCABCA1 1D D，所以所以ADAADA1 1为平面为平面ABCABC与平面与平面A A1 1BCBC的夹角或其补角的夹角或其补角.因为因为 (0(0，-1-1，0)0)，(0(0，2 2，-4)-4)，所以所以coscos ,即平面即平面ABCABC与平面与平面A
41、A1 1BCBC的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为DA1DA DA1DA 22255124 ，5.5方法二方法二(综合法综合法)：(1)(1)取取BCBC，B B1 1C C1 1的中点分别为的中点分别为D D和和D D1 1，连接，连接A A1 1D D1 1，DDDD1 1，ADAD，A A1 1D.D.由条件可知，由条件可知，BCADBCAD，B B1 1C C1 1AA1 1D D1 1.由上可得由上可得ADAD平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1D D1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，因此因此ADAADA1 1D D1 1，即，即ADAD，A A1 1D
42、 D1 1确定平面确定平面ADAD1 1A A1 1D.D.又因为又因为DDDD1 1BBBB1 1，BBBB1 1BCBC，所以所以DDDD1 1BC.BC.又又ADBCADBC，所以所以BCBC平面平面ADAD1 1A A1 1D D，故，故AAAA1 1BC.BC.(2)(2)延长延长A A1 1D D1 1到到G G点，使点，使GDGD1 1AD.AD.连接连接AG.AG.因为因为AD GDAD GD1 1，所以，所以AG DDAG DD1 1 BB BB1 1.由于由于BBBB1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，所以，所以AGAAGA1 1G.G.由条件可知，由条件可
43、知，A A1 1G GA A1 1D D1 1+D+D1 1G G3 3，AGAG4.4.所以所以AAAA1 15.5.(3)(3)因为因为BCBC平面平面ADAD1 1A A1 1D D，所以所以ADAADA1 1为平面为平面ABCABC与平面与平面A A1 1BCBC的夹角或其补角的夹角或其补角.在在RtRtA A1 1DDDD1 1中，中，DDDD1 14 4，A A1 1D D1 12 2，解得解得sinDsinD1 1DADA1 1=cosADAcosADA1 1=cos(+D=cos(+D1 1DADA1 1)=)=即平面即平面ABCABC与平面与平面A A1 1BCBC的夹角的余
44、弦的夹角的余弦值为值为5,525,55.51.1.如图，三棱柱如图，三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，底面中，底面ABCABC为正三角形，为正三角形，侧面侧面ACCACC1 1A A1 1是是AA1 1ACAC 的菱形，且侧面的菱形，且侧面ACCACC1 1A A1 1底面底面ABCABC，D D为为ACAC的中点的中点.(1)(1)求证：平面求证：平面A A1 1BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1.(2)(2)若点若点E E为为AAAA1 1上的一点，当上的一点，当CEBBCEBB1 1时，求平面时，求平面AECAEC与平面与平面BECBEC的夹角的正的
45、夹角的正切值切值.3【解析】【解析】方法一：方法一：(1)A(1)A1 1ACAC AAAA1 1=AC,D=AC,D为为ACAC的中点，的中点，ABCABC为正三角形，为正三角形，ACAACA1 1D D，ACBD,ACBD,ACAC平面平面A A1 1BD.BD.而而ACAC平面平面ACCACC1 1A A1 1，平面平面A A1 1BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1.(2)AA(2)AA1 1BBBB1 1，CEBBCEBB1 1，CEAACEAA1 1.点点E E为为AAAA1 1的中点的中点.BDACBDAC，BDABDA1 1D D，BDBD平面平面ACE.ACE.,3
46、过点过点D D作作DFCEDFCE，垂足为，垂足为F F，连接，连接BFBF，如图，如图(1)(1)，则则BFCEBFCE，BFDBFD为平面为平面AECAEC与平面与平面BECBEC的的夹角或其补角夹角或其补角.DFCE,DFCE,易得易得DFDF AE.AE.设设ABABa,a,则则BDBDDFDF AEAE AAAA1 1 a,a,tanBFD=tanBFD=故平面故平面AECAEC与平面与平面BECBEC的夹角的正切值为的夹角的正切值为123a,2121414BD2 3.DF2 3.方法二：方法二：(1)(1)依题意有依题意有ACAC，BDBD，A A1 1D D两两垂直且相交于点两两
47、垂直且相交于点D D，故建立如图故建立如图(2)(2)所示的空间直角坐标系，所示的空间直角坐标系，设设ABAB2a,2a,则则A(0A(0，-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,0),-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A A1 1(0,0,a).(0,0,a).(1)=(0,2a,0),=(a,0,0),(1)=(0,2a,0),=(a,0,0),33AC DB 31DA0,0,3a,1AC DB03a2a00 00,AC DA0 02a003a0.ACDB,ACDAACDB,ACDA1 1.AC.AC平面平面A A1 1BD.BD.而而A
48、CAC平面平面ACCACC1 1A A1 1，平面平面A A1 1BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1.1ACDB,ACDA.(2)AA(2)AA1 1BBBB1 1,CEBB,CEBB1 1,CEAA,CEAA1 1.点点E E为为AAAA1 1的中点的中点.BDAC,BDABDAC,BDA1 1D,BDD,BD平面平面AEC.AEC.(a,0,0)(a,0,0)为平面为平面AECAEC的一个法向量的一个法向量.设设n(x,y,z)(x,y,z)为平面为平面BECBEC的一个法向量，的一个法向量，则有则有n 0 0，n =0,=0,又又 =(a=(a，-a-a，0)0)，所以所以a
49、3aE(0,).22，DB 3CB CE CB 3CE 330aa22(，)，3axay0,33ayaz022，令令x=a,x=a,则则y=ay=a，z=3a,z=3a,n=(a,a,3a),=(a,a,3a),nn而而平面平面AECAEC与平面与平面BECBEC的夹角的正切值为的夹角的正切值为332DB3a.DB3a,13a,n2DB3a1cosDB,3a13a13DB ，nnn2 3.2.2.在棱长为在棱长为a a的正方体的正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，中，E,FE,F分别是分别是BC,ADBC,AD的中点，的中点，(1)(1)求直线求直线ACAC与与DEDE夹角的余弦值夹
50、角的余弦值.(2)(2)求直线求直线ADAD与平面与平面BEDFBEDF夹角的余弦值夹角的余弦值.(3)(3)求平面求平面BEDFBEDF与平面与平面ABCDABCD夹角的余弦值夹角的余弦值.【解析】【解析】(1)(1)如图建立空间直角坐标系，则如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,0)A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,0)，=(a,a,-a)=(a,a,-a)，=(a,-,0),=(a,-,0),故故ACAC与与DEDE夹角的余弦值为夹角的余弦值为a2A C DE a2cosA C,DE A C DE15,15|A
