1、2007中考复习知识点归纳点拨（七）圆与中考中考要求及命题趋势 1、理解圆的基本概念与性质。2、求线段与角和弧的度数。3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。4、直线和圆的位置关系。5、圆的切线的性质 和判定 。6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。7、圆和圆的五种位置关系。8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。9、掌握弧长、扇形面积计算公式。10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。2007年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，
2、其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。应试对策 圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。就是说几何所有的东西都是通的，你学后面的就自然牵扯到前面的，前面的忘掉了，简单的东西忘掉了，后面要用就不会用了，所以几何前面学到的知识、常用知识，后面随时都在用。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。圆这一章，特别是
3、有关圆的性质这两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。掌握之后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。都是哪些思路呢？我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。有几个分析题目的
4、思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。例题精讲 例1、如图，A、B、C、D是O上的三点，BAC=30，则BOC的大小是 ( A )A、60 B、45 C、30 D、15例2.一如图，方格纸上一圆经过(2，5)、(-2，2)、(2，-3，)、(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为 (C ) A(2，-1) B(2，2) C(2，1) D(3，1)例3.O的半径为10 cm，如果一条直线和圆心O的距离为10 cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为( B )A相离 B.相切 C相交 D相交或相离例4.已知：如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径
5、，BCD=130，过D点的切线PD与直线AB交于P点，则ADP的度数为(A ) A40 B45 C50 D65例5.如图，以O为圆心的两个同心圆的半径分别为11cm和9 cm，若P与这两个圆都相切，则下列说法中正确的是( B、C ) (A)P的半径可以为2cm (B)P的半径可以为10 cm (C)符合条件的P有无数个且P点运动的路线是曲线(D)符合条件的P有无数个且P点运动的路线是直线例6、如图4，O的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为_8_cm；例7：边长为6的正六边形外接圆半径是_6_；例8.如图，三个同心扇形的圆心角AOB为120，半径OA为6 cm，C、D是的三
6、等分点，则阴影部分的面积等于 4 cm2例9.(1)如图8，OA、OB是O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切O于点D，连结AD交DC于点E求证：CD=CE (2)若将图8中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交O于B，其他条件不变(如图9)，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)若将图8中的半径OB所在直线向上平行移动到O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变(如图10)，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么分析：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力 解答：(1)证明：连结OD 则ODCD，CDE+OD
7、A=90 在RtAOE中，AEO+A=90 在O中，OA=ODA=ODA， CDE=AEO 又AEO=CED，CDE=CED CD=CE (2)CE=CD仍然成立 原来的半径OB所在直线向上平行移动CFAO于F， 在RtAFE中，A+AEF=90 连结OD，有ODA+CDE=90，且OA=OD A=ODA AEF=CDE 又AEF=CED CED=CDECD=CE (3)CE=CD仍然成立 原来的半径OB所在直线向上平行移动AOCF 延长OA交CF于G，在RtAEG中，AEG+GAE=90 连结OD，有CDA+ODA=90，且OA=ODADO=OAD=GAECDE=CED CD=CE例10.如
8、图1，已知AB是O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD2=AEAF成立(不要求证明) (1)若将弦CD向下平移至与O相切于B点时，如图2，则AEAF是否等于AG2?如果不相等，请探求AEAF等于哪两条线段的积?并给出证明 (2)当CD继续向下平移至与O相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由(1)解：A EAF不等于AG2，应该有结论AEAF=AGAH证明：连结BG，EGAB是O的直径，CD是O的切线，ABF=AGB=90，BAF+BFA=90，AGE+BGE=90，BAF+BFA=AGE+BGE，而BAF=BGE，BFA=AGE，又FAH=G
9、AE，FAHGAE，AEAF=AGAH； (2)中探求的结论还成立证明：连结EG，BG，AB是O的直径，AMCD，AMF=AGB=90，AFM+FAM=AGE+BGE=90，而FAM=BGE，AFM=AGE，又FAH=GAE，FAHGAE，A EA F=AGA H 例11.已知半径为R的O经过半径为r的O的圆心，O与O交于E、F两点 (1)如图(1)，连结00交O于点C，并延长交O于点D，过点C作O的切线交O于A、B两点，求OAOB的值； (2)若点C为O上一动点，当点C运动到O时，如图(2)，过点C作O的切线交O，于A、B两点，则OAOB的值与(1)中的结论相比较有无变化?请说明理由当点C运
10、动到O外时，过点C作O的切线，若能交O于A、B两点，如图(3)，则OAOB的值与(1)中的结论相比较有无变化?请说明理由解。(1)连结DB，则DBO=90 AB切O于点CABOD，又OD是O直径，即OA=OB 得OA2=OCOD=r2R=2Rr即OAOB=2rR (也可证明OBDOCA) (2)无变化 连结00，并延长交O于D点，连结DB、OC 证明OCAOBD，得OAOB=OCOD=r2R=2Rr (3)无变化 连结00，并延长交O于B点，连结DB、OC 证出OCAOBD，得OAOB=OCOD：r2R=2Rr例12已知：如图1，O1与O内切于P点，过P点作直线O1于A点，交O2于B点，C为O
11、1上一点，过B点作O2的切线交直线AC于Q点(1)求证：ACAQ=APAB；(2)若将两圆内切改为外切，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?请你画出图形，并证明你的结论 解答：(1)证明：过点P作01、O2的外公切线PT，连PC(如图)则3=C BQ为0Q的切线，1=31=C 又1=2，2=C ABQACP ACAQ=APAB (2)答：(1)中的结论仍然成立，(如图14) 证明：过点P作O1、O2的内公切线PT 则3=4 BQ为O2的切线，1=2 又2=3，1=4 APCAQBAP/AC=AQ/ABAPAB=ACAQ圆（1）复习教学目标：1、 知道圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基
12、本概念；认识圆的对称性；了解圆锥的侧面展开图是扇形。2、 能用垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，弧长公式等进行简单的运算和推理；会通过作图的方法理解确定圆的条件。3、 会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。复习过程设计一、【唤醒】1、填空基本概念： 弧、弦、圆心角、圆周角 确定圆的条件： 对称性： 垂径定理及逆定理 圆 基本性质： 圆心角、弧、弦的关系定理： 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的 推论： （1）同弧或等弧所的圆周角 （2）90的圆周角所对弦是 ， 与圆有
13、关的计算公式 ： （1） ； （2） ； （3） ； (4 ) ；2、判断：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径； （ ）（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； （ ） （3）过任意三点可确定一个圆； （ ） （4）任何三角形只有一个外接圆，一个圆也只有一个内接三角形；（ ）（5）一条弦所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍。 （ ）3、选择题：（1）O的直径为10，圆心O到弦AB的中点M的长为3，则弦AB的长是（ ）（A）4； （B）6； （C）7； （D）8（2）ABC内接于O，AB=AC，A=50，D是O上一点，则ADB的度数为（ ）（A）50 ； （B）65 ；（C）65
14、或50 ； （D）115或65（3）如图所示，A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心，得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）（A）； （B）1.5 ; （C）2 ; （D）2.5(4)如果圆锥的侧面展开图的面积是15cm 2, 母线长是5cm，那么圆锥的底面半径为（ ） （A）3cm； （B）1.5cm； （C）6 cm； （D）4 cm (5)已知ABC是半径为2的圆内接三角形,若BC=2，则A的度数为（ ）（A）30； （B）60； （C）120； （D）60或120（6）图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度
15、从A点到B点甲虫沿弧ADA1、弧A1EA2、弧A2FA3、弧A3GB的路线爬行，乙虫沿弧ACB的路线爬行，则下列结论正确的是（ ）（A）甲虫先到B点； （B）乙虫先到B点； （C）甲虫、乙虫同时到达B点； （D）无法确定。二、【尝试】例1、如图，在ABC中, BAC的平分线AD交ABC 的外接圆O于点D,交BC于点G,若AG=6,DG=2,求CD的长。分析：连接DC，用相似三角形解决。解略。（DC=4）例2、 ABC中，AB=AC=10，BC=12，求ABC外接圆的半径。 分析：利用三角形外心的特殊位位置和垂径定理构造直角三角形解决。 解略。（ ABC外接圆的半径为6.25 ）。提炼：善于用数
16、学转化的思想方法，将不同情境下的数学问题转化为比较熟悉的直角三角形问题解决。例3、 1）如图，小军学完垂径定理,逆向思考得出一个结论：“弦的垂直平分线一定经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小军的猜测正确吗？为什么？（2）你能用上面的结论，帮助考古学家用尺规作图的方法确定古圆盘的半径吗？分析：（1）根据圆上的点到圆心的距离相等进行说理（2）圆心可有两条不同的直径相交确定，因此要确定圆心，只要确定出两条不同的直径就可，由两条不同的弦，作其垂直平分线，则 交点就是圆心。解：（1）圆心O到A和B的距离相等，点O一定在AB中垂线上。即AB的中垂线过圆心。（2）略提炼：能将学圆性质时的探究方法灵活
17、运用到探索新的有关结论，并能应用。例4、 如图：把直角三角形ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A2B2C2的位置，设BC=1，AC=，则点A运动到点A2的位置时，点A经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线l所围成的面积是多少？ 分析：点A经过的路线长就是以B为圆心，以AB为半径的圆弧和以C2为圆心，以AC为半径的圆弧的长度。面积就是两个扇形面积与一个直角三角形的面积和。 解：点A经过的路线长为； 点A经过的路线与直线l所围成的面积是+ 提炼：在理解旋转性质的基础上将问题转化为所学的有关圆的计算公式解决。 三、【小结】1、知识结构：见上表2、基本数学思想方法：转
18、化的思想；分类讨论的思想；数形结合的思想等。3、解题注意点：（1）在解决问题的过程中，注意归纳总结出解决问题的一些基本规律，提高学习效率；（2）注意解决问题的严密性，充分考虑各种情况。四、【实践】教师自行设计作业；复习指导用书第107109页第1、2、5、6、9、12、21题。圆（2）复习教学目标：4、 知道圆与点、圆与直线、圆与圆的不同位置关系；知道切线的概念。5、 会用圆心到点的距离大小判断圆与点的位置情况，圆心到直线的距离大小判断圆与点直线的位置情况；圆心到圆心的距离大小判断圆与圆的位置情况；会用圆的切线的判定定理和性质定理及两圆相切的性质与判定进行简单的推理与计算；会作三角形的外接圆、
19、内切圆，会过圆上点作圆的切线。6、 能从运动的观点与分类讨论的思想方法探索图形之间的关系和有关性质。 复习过程设计一、【唤醒】 1、 填空 （1）点在圆外 点到圆心的距离d r 圆与点的位置关系： （2） 点到圆心的距离d r （3） 点到圆心的距离d r （1）相离 圆心到直线的距离d r 圆与直线的位置关系 （2） 圆心到直线的距离d r 圆 （3） 圆心到直线的距离d r （1）相离 圆与圆的位置关系： （2）相交 （3）相切 2、判断：（1）若圆经过A、B两点，则圆心一定可能是线段AB的中点； （ ） （2）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交； （ ） （3）圆的切线垂直于圆的直径；
20、（ ） （4）垂直于直径的直线是圆的切线； （ ）（5）垂直于圆的切线的直线一定过切点； （ ）（6）若两圆无公共点，则这两圆外离； （ ）（7）直线l上一点P到圆心O的距离等于半径R，则直线l 与圆O 相切。（ ）3、选择题：（1）A、B两点到点O的距离等于4cm ，则点A、B在（ ）（A）O上； （B）O内； （C）O外； （D）无法确定。（2）如图所示：已知等边ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是（ ）（A） ；（B） ； （C） ； （D）（3）点P到ABC各边的距离相等，则点P是ABC的（ ）（A）内心； （B）1.外心 ; （C）中心 ; （D）垂心。(
21、4) 已知ABC的三边分别是6、8、10，则此三角形外接圆的半径为（ ）（A）10； （B）6； （C）4； （D）5 (5)两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相交于点C、D两点，若AB=6，CD=2，则两圆组成的圆环面积是（ ）（A）32 （B）16 （C）8； （D）无法确定二、【尝试】例1、已知RtABC的斜边AB=13，AC=5，CD是AB边上的高。（1）以C为圆心，当半径为多少时，AB与 C相切？（2）此时C与点A、B、C、D之间是怎样的位置关系？分析：判断点与圆的位置关系关键是利用圆心到点的距离与半径的大小关系；判断直线与圆的位置关系关键是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，而不是直
22、线上任意一点到圆心的距离。解略。（答案：R=60/13；点A、B在圆外，点D在圆上，点C在圆内。）提炼：让学生通过具体问题的解决进一步体会分类思想是研究图形的一种。 重要的数学方法。例2、已知，如图AB=8，AC=6，以AC和BC为直径作半圆，过AB的延长线上一点D作直线，分别与O1和O2 相切于点M、N，求BD的长。（答案：BD=1）分析：正确理解圆的切线的性质定理，由切线想 过切点作半径，可得到垂线段，然后利用三角形相似求得线段BD的长。提炼：能利用方程的思想，根据切线的性质结合相似三角形的知识，通过设未知数列方程加以计算。 例3、读句画图：O和任意一点P，连接OP，以OP为直径作Q。（1
23、）、在所画的图形中，O与Q有怎样的位置关系？ （2）、当O与Q相交时，交点为A、B，分别作直线PA与PB，则PA、PB与O是什么位置关系？并说明理由。（3）、在题（2）下，连接AB、OA、OB，请根据所画图形尽可能多地写出你认为正确的结论。分析：画图时要能想到点P与O的不同位置，从而O与Q也就有不同的位置情况。利用切线的判别定理说明直线与圆的位置关系。正确画图的基础上，寻找线段之间、三角形之间的数量与位置关系。 解：两圆有内切、相交、内含这三种位置关系；直线PA与PB是O的切线；在一般情况下，线段OQ垂直平分AB，在特殊情况下，除了具有一般情况下的结论，线段OQ与AB互相垂直平分。 提炼：在画图时通常需要分类讨论，并且用特殊到一般的思想方法解决具体问题 三、【小结】1、知识结构：见上表2、基本数学思想方法：转化的思想；分类讨论的思想；由特殊到一般的思想等。3、解题注意点：在解决问题的过程中，注意解决问题的严密性，充分考虑各种情况。四、【实践】（1）教师自行设计作业；（2）复习指导用书第107109页第3、4、16、18、22题。
