1、第二部分 典型习题.抛物线yx22x2的顶点坐标是 （ ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 第,题图 第4题图.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ）.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 6.已知二次函数与x轴交点的横
2、坐标为、（），则对于下列结论：当x2时，y1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是（只需填写序号）7.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BCAB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.解： 8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围. 解：
3、9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第9题第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式10.已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由11.已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别
4、在原点的两侧，并且AB，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.解: 12.已知：抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13.已知二次函数的图象如图
5、所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）14.已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数
6、图象与x轴的交点的个数15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点A
7、、B，与y轴相交于点C（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b4，求a、c的值第二部分 典型习题.抛物线yx22x2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 第,题图 第4题图.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点
8、，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ）.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 6.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：当x2时，y1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是（只需填写序号）7.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BCAB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.解：（1）或 将代入，得.顶点坐标为，由题意得，解得.（2）
9、8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为,yOx则,即 ,解得故所求的解析式为:.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时，输入值的取值范围是或第9题9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内
10、这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式解：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是39 10.已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点C的坐标为（0，4） 设点A、B的坐标分别为（，0），（，0）， 由，解得， 点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0） ， ，当时，ACB90 由，
11、 得 解得 当时，点B的坐标为（，0）， 于是 当时，ABC为直角三角形当时，ABC90由，得解得当时，点B（-3，0）与点A重合，不合题意当时，BAC90由，得解得不合题意综合、，当时，ABC为直角三角形11.已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2mxm20的两根.x1 x2 m , x1x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m
12、3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(a，b) . M、N是抛物线上的两点, 得：2a22m40 . a2m2 .当m2时，才存在满足条件中的两点M、N. .这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为（0，2m）,而SM N C = 27 ,2（2m）=27 .解得m=7 . 12.已知：抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点
13、E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x2 抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）， 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2） 抛物线与x轴的一个交点为A（1， 0）， t3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线 上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面积为9， a1 所求抛物线的解析式为或（3）设点E坐标为（，）.依题意， 且 设点E在抛物线上，解方程组 得 点E与点A在
14、对称轴x2的同侧， 点E坐标为（，）设在抛物线的对称轴x2上存在一点P，使APE的周长最小 AE长为定值， 要使APE的周长最小，只须PAPE最小 点A关于对称轴x2的对称点是B（3，0）， 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x2的交点设过点E、B的直线的解析式为， 解得 直线BE的解析式为 把x2代入上式，得 点P坐标为（2，）设点E在抛物线上， 解方程组 消去，得 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P（2，），使APE的周长最小解法二：（1） 抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）， t3a 令 y0，即解得 ， 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2）由，得D
15、（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面积为9， 解得OD3 a1 所求抛物线的解析式为或（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x2的交点 如图，过点E作EQx轴于点Q设对称轴与x轴的交点为F由PFEQ，可得 点P坐标为（2，）以下同解法一13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称
16、轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式， 其顶点M的坐标是 （2）设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为N（t，h）， 解得， 线段BM所在的直线的解析式为 ，其中 s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是（3）存在符合条件的点P，且坐标是，设点P的坐标为P，则，分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则 解得：，（舍去） 点ii）若PCA9
17、0，则 解得：（舍去） 点iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，所以边AC的对角APC不可能是直角（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（1，2）， 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F 图a 图b14.已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数解：根据题意，得a21. a1 这个二次函数解析式是因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与x轴有两个交点15.
18、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 因为点A（，0）（或B（，0）在抛物线上， 所以，得因此所求函数解析式为 （2）
19、因为点D、E的纵坐标为， 所以，得 所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）所以因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b4，求a、c的值解:（1）a、c同号 或当a0时，c0；当a0时，c0（2）证明：设点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），则 ， 据题意，、是方程的两个根 由题意，得，即 所以当线段OC长是线段
20、OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数（3）当时，由（2）知， a0解法一：ABOBOA， ， 得 c2. 解法二：由求根公式， ， ， ，得 c217.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，E经过原点O及A、B两点（1）C是E上一点，连结BC交OA于点D，若CODCBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC到P，使DP2，连结AP，试判断直线PA与E的位置关系，并说明理由 解：（1）连结EC交x轴于点N（如图） A、B是直线分别与x轴、y轴的交点 A（3，0），B又CODCBO CBOABC C是的中点 ECOA 连结OE C点的坐标为（） （2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为 C（） 为所求（3） ， BAO30，ABO50由（1）知OBDABD ODOBtan301 DA2 ADCBDO60，PDAD2 ADP是等边三角形 DAP60 BAPBAODAP306090即PAAB即直线PA是E的切线- 18 -
