1、数学数学专题5折叠问题折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果折叠的问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点
2、连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题1以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是()A如图1，展开后测得12B如图2，展开后测得12且34C如图3，测得12D如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OAOB，OCOD解析：根据折叠后图形的不变性得出等量关系，对每一选项逐一进行判断C2如图，矩形ABCD中，AB3，BC5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不重合)，现将PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作B
3、PF的角平分线交AB于点E.设BPx，BEy，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()解析：利用折叠的性质，说明BEP与CPD相似，得出y与x的关系式C 4如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将ABE沿AE折叠到AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若AEB55，求DAF的度数解析：由ABE沿AE折叠到AEF，得出BAEFAE，由AEB55，ABE90，求出BAE.解：ABE沿AE折叠到AEF，BAEFAE.AEB55，ABE90，BAE905535，DAFBADBAEFAE903535205如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至
4、AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.(1)求证：ABG AFG；(2)求tanEGC的值解析：(1)根据正方形和折叠对称的性质，应用HL即可证明ABG AFG(HL)；(2)根据全等三角形的性质，得到BGFG，设BGFGx，将GC和EG用x的代数式表示，从而在RtCEG中应用勾股定理列方程求解即可8(2017预测)如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，点M是AD边的中点，连结MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，求线段EC的长解析：过点M作MFDC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，A60，M为AD中点，得到2MDADCD2，从而得到FDM60，
5、FMD30，进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可9(原创题)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE EC2 1，求线段CH的长解析：根据折叠的性质可得DHEH，在直角CEH中，若设CHx，则DHEH9x，CE3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长10(2016绍兴)如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，求DF的长12将一张宽为4 cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠
6、部分是一个三角形(1)判断该三角形的类型，并证明你的结论；(2)求这个三角形面积的最小值解析：当ACAB时，重叠三角形面积最小，此时ABC是等腰直角三角形13如图，已知正方形ABCD的边长为12，BEEC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连结DG，求BEF的面积解析：由折叠和正方形的性质，在RtBEG中，由勾股定理求出AG后再求BGE的面积，最后由BEF与BGE的面积关系求BEF的面积15如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)若AEP是等
7、边三角形，连结BP，求证：APB EPC；(3)若矩形ABCD的边AB6，BC4，求CPF的面积解析：(1)由折叠的性质得到BEPE，EC与PB垂直，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得证；(2)由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由APEB，利用AAS即可得证；(3)过P作PMCD，分别求出高PM和底边FC，利用三角形面积公式求解16如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连结DE.(1)求证：DEC EDA；(2)求DF的值；(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M，N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的量和不变的量，发现图形中的数量关系；二是要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中基本的数量关系用方程的形式表达出来
